alle Ebenen zu den entsprechenden Strahlen parallel. Wir erhalten so den Satz: Zu allen Ebenen mit der nämlichen Spurlinie in der Ebene xy gehören konjugierte Normalen mit dem nämlichen Spurpunkt in xy.

r

=

1

805. Sind zwei Ebenen A, B und ihre konjugierten Normalen a, b so beschaffen, daß in der Ebene ry die Spurlinie b, von B durch den Spurpunkt 1 von a geht, so geht auch die Spurlinie a1 von A durch den Spurpunkt B1 von b. Zum Beweise benutzen wir die Ebene b1a, deren Pol C in A liegt, da der Pol von A auf a, also auf sich befindet. Nun steht A auf a und somit auch auf senkrecht, das von C auf gefällte Lot, d. h. die konjugierte Normale von г, liegt deshalb in A und ihr Spurpunkt in a1. Dieser Spurpunkt ist aber zugleich der Spurpunkt B1 von b, da die Ebenen und B sich in der nämlichen Geraden b, von xy schneiden.

Einem System von parallelen Ebenen werden durch die Fläche die Punkte eines Durchmessers als Pole zugeordnet; diese Punktreihe ist projektiv zu derjenigen, die eine beliebige Gerade aus dem System der parallelen Ebenen ausschneidet. Die konjugierten Normalen dieser Ebenen laufen durch deren Pole und stehen auf ihnen senkrecht, sind also selbst parallel zu einander, ihre Spurpunkte in der Ebene xy liegen auf einer Geraden g durch O. Die Punktreihe dieser Spurpunkte ist projektiv zu der Punktreihe, in der g die parallelen Ebenen durchschneidet; diese Reihen liegen sogar involutorisch. Denn ist A eine Ebene, deren Spurlinie a1 a, die Gerade g in A, schneidet, und ist a ihre konjugierte Normale, deren Spurpunkt 4, auf g liegt, so wird einer zu A parallelen Ebene durch A eine konjugierte Normale zugeordnet, deren Spurpunkt 4, ist. Denn nach dem soeben Gesagten liegt er auf g und nach dem Voraufgehenden auf a,. Jedem System paralleler Ebenen entspricht also in der Ebene ry eine Gerade durch O und auf ihr eine Involution; zu zwei Ebenen des Systems, die je einen Punkt eines Paares der Involution enthalten, gehören zwei konjugierte Normalen, die durch die vertauschten Punkte des nämlichen Paares gehen.

Alle Ebenen und ihre in Bezug auf konjugierten Normalen schneiden die Ebene ry in Geraden und Punkten, welche die Polaren und Pole eines Kegelschnittes fg bilden. Ist nämlich wieder a, die Spur einer Ebene A und 4, der Spurpunkt ihrer konjugierten Normalen a, dann giebt es einen Kegelschnitt f mit den Achsen x und y, für den 4, der Pol von a, ist. Betrachten wir nun zwei in Bezug auf die Ebene z symmetrische Ebenen B und A, so liegen auch ihre konjugierten Normalen b und a

2

2

1

symmetrisch, und ihre Spurlinien b1 und a1, sowie die Spurpunkte B1 und 4 der Normalen liegen zur x-Axe symmetrisch. Um jetzt zu einer beliebigen Ebene Σ mit der Spur s, die konjugierte Normale s mit dem Spurpunkt S, zu finden, verfahren wir in folgender Weise. Wir schneiden, mit 04, und OB1 in C, und D1,. dann liegt auf 041 eine Involution, für die O der Mittelpunkt und ⁄1, A1 = a1 × 0, ein Punktepaar ist; der zu C1 gehörige Punkt dieser Involution mag C2 sein. Ganz ebenso liegt auf OB1 eine Involution, in ihr möge D1 einem Punkt D2 entsprechen. Zieht man durch C2 eine Parallele zu a1 und durch D, eine Parallele zu b1, so schneiden sie sich in dem gesuchten Punkte S,. Denn die Parallelebene zu A durch C, besitzt eine konjugierte Normale mit dem Spurpunkt C und die Parallelebene zu B durch D, besitzt eine konjugierte Normale mit dem Spurpunkt D1; zu jeder Ebene durch C1D1 gehört deshalb eine konjugierte Normale, deren Spurpunkt nach dem Obigen auf den beiden Geraden C2S1 und D2S1, also in S1 liegt. Nach der soeben geschilderten Konstruktion ist aber auch S1 der Pol von s1 in Bezug auf ƒ„, und damit ist unser Satz bewiesen. Hieraus folgt noch weiter, daß je drei konjugierte Normalen von durch die Ecken eines Polardreieckes von f, gehen. Die Umkehrung gilt jedoch nur für spitzwinklige Dreiecke.

806. Wir können jetzt unmittelbar den Satz aussprechen: Alle koaxialen Flächen 2. Grades, die einer Ebene die nämliche konjugierte Normale zuordnen, ordnen auch jeder anderen Ebene die nämliche konjugierte Normale zu; solche Flächen heißen konfokal. Von ihnen gelten folgende Sätze. Durch jeden Punkt des Raumes gehen drei zu der Fläche konfokale Flächen, die sich in ihm rechtwinklig durchschneiden. Sind nämlich a, b, c die drei konjugierten Normalen durch den gegebenen Punkt P, so sind die drei Flächen, die in P je eine der drei Ebenen ab, bc, ca berühren und mit die gleichen Achsen aufweisen, zu der Fläche konfokal. Als spezielle Fälle gehören dem System konfokaler Flächen auch drei Kegelschnitte f1, f1⁄2, f, an, die bezüglich in den Ebenen yz, zx, xy liegen, sie werden die Fokalkurven des Systems genannt. Ist t eine Tangente eines solchen Kegelschnittes und T ihr Berührungspunkt, so besitzt jede Ebene durch t eine konjugierte Normale durch 7; demnach müssen in der Ebene, die in T auf t senkrecht steht, je zwei rechtwinklige Strahlen durch 7 zu einander konjugiert sein in Bezug auf jede ihrer Schnittkurven mit den konfokalen Flächen. Mit anderen Worten: Jede Ebene, die eine Fokal

kurve in einem Punkte rechtwinklig schneidet, schneidet die konfokalen Flächen in Kurven mit einem gemeinsamen Brennpunkte in ihm. Speziell werden die Schnittpunkte der Fokalkurven mit den konfokalen Flächen Nabelpunkte, oder Punkte mit kreisförmiger Indikatrix sein, da in ihnen je zwei konjugierte Tangenten aufeinander senkrecht stehen.

Bedenkt man die Beziehung der konjugierten Normalen zu den Tangentialkegeln der konfokalen Flächen, so erkennt man, daß die Tangentialkegel, die man aus einem beliebigen Punkte einer Fokalkurve an die konfokalen Flächen legen kann, Rotationskegel sind, und daß die zugehörige Tangente ihre gemeinsame Achse ist. Daraus folgt insbesondere, daß jeder Punkt einer Fokalkurve der Scheitel und seine Tangente die Achse einer Rotationsfläche ist, die durch eine der beiden übrigen Fokalkurven hindurchgeht.

Man hätte bei der Ableitung aller dieser Resultate auch von einer Flächenschar ausgehen können, die durch zwei der konfokalen Flächen bestimmt wird. Die vier speziellen Flächen der Schar (713) werden von f1, f2, fз und der unendlich fernen, allen Kugeln gemeinsamen imaginären Kurve gebildet. Die gemeinsame abwickelbare Hüllfläche der Schar, die diese vier Kurven zu Doppelkurven hat, ist imaginär.

3

$2

807. Die konfokalen Flächen schneiden jede der drei Ebenen xy, yz und zæ in konfokalen Kegelschnitten. Wir nehmen nun an, daß x die große, y die mittlere und z die kleine Achse des Ellipsoides sei, und bezeichnen seine in den Ebenen yz, zx und xy liegenden Schnittkurven mit s1, s, und s, und die zugehörigen reellen Brennpunkte (399) mit F, G1, resp. F, G, resp. F, G. Die beiden ersten liegen auf der y-Achse, die anderen auf der x-Achse. Der Fokalkegelschnitt f in der Ebene xy besitzt die Brennpunkte F, G, und geht durch die Punkte F1, G1, F2, G2 hindurch, ist also eine Ellipse. Denn die Ebene zz steht auf der Fokalkurve f in ihren beiden auf z liegenden Schnittpunkten senkrecht, diese sind also Brennpunkte für alle in der Ebene xz liegenden Schnittkurven der konfokalen Flächen. Ganz ähnlich findet man, daß der Fokalkegelschnitt f2 eine Hyperbel mit den Brennpunkten F, G2 und den Scheiteln F, G, und der Fokalkegelschnitt feine imaginäre Kurve mit den Brennpunkten F1, G1 ist. Ähnliche Resultate könnte man für die imaginären Brennpunkte aussprechen.

808. Um uns eine Vorstellung von der Gesamtheit aller konfokalen Flächen zu machen, gehen wir von dem Ellipsoide aus

und passieren dann in stetigem Übergange alle Flächen der Schar. Da nun zwei konfokale Flächen sich entweder gar nicht, oder rechtwinklig durchschneiden, so ist klar, daß die zu benachbarten Flächen der Schar ebenfalls Ellipsoide sind, von denen das eine ganz innerhalb, das andere ganz außerhalb liegt. So kann man von o einerseits zu immer größeren, andererseits zu immer kleineren konfokalen Ellipsoiden gelangen. Das kleinste dieser Ellipsoide erhält man, wenn eine seiner Achsen, nämlich die z-Achse, gleich Null wird; dann reduziert sich das Ellipsoid auf den von f eingeschlossenen Teil der zy-Ebene. Durch jeden Punkt des Raumes geht ein zu konfokales Ellipsoid. Alle konfokalen Ellipsoide schneiden die yz- und die az-Ebene in der Gesamtheit aller konfokalen Ellipsen mit den Brennpunkten F, G, resp. F2, G2, dagegen die ry-Ebene nur in denjenigen konfokalen Ellipsen, die größer als f, sind.

1

Geht man jetzt zu der zu f, benachbarten konfokalen Ellipse über, die kleiner als f ist, so sind ihre Scheitel in der zz- und yz-Ebene zugleich die Scheitel zweier Hyperbeln mit den Brennpunkten F2, G, resp. F1, G1, die ganz in der Nähe der x-Achse, resp. y-Achse verlaufen. Die konfokale Fläche ist jetzt ein einschaliges Hyperboloid, das beim Grenzübergang in den außerhalb f liegenden Teil der ry- Ebene übergeht. Läßt man die konfokale Ellipse in der xy-Ebene immer kleiner werden, so bleibt die zugehörige Fläche ein einschaliges Hyperboloid; seine in der xz- und yz-Ebene liegenden Hyperbeln besitzen Asymptoten, deren Neigungswinkel gegen die x- resp. y-Achse immer größer werden. Schließlich geht die konfokale Ellipse in der ry-Ebene in die Strecke FG3 und das zugehörige, einschalige Hyperboloid in den zwischen den beiden Ästen der Hyperbel f2 liegenden Teil der xz-Ebene über. Durch jeden Punkt des Raumes geht ein zu konfokales, einschaliges Hyperboloid. Diese Flächen schneiden die xy-Ebene in den konfokalen Ellipsen, die kleiner als fg sind, die yz-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F, G, und die xz-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F2, G2, die innerhalb f2 liegen.

Wählt man weiter die zu f2 benachbarte, konfokale Hyperbel, die f2 einschließt, so sind ihre Scheitel zugleich die Scheitel einer Hyperbel in der xy-Ebene mit den Brennpunkten F, G, die in der Nähe der x-Axe verläuft. Die zugehörige, konfokale Fläche ist ein zweischaliges Hyperboloid, das von der yz-Ebene nicht geschnitten wird. Der Grenzübergang führt die beiden Teile dieser Fläche in zwei Teile der xz-Ebene über, welche je von einem Aste der Hyperbel f eingeschlossen werden. Läßt man die Scheitel der

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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konfokalen Hyperbel in der xz-Ebene immer näher gegen den Mittelpunkt O rücken, so werden ihre Asymptoten mit der x-Achse einen immer größer werdenden Winkel einschließen, und gleiches wird auch für die Hyperbeln in der ry-Ebene eintreten. Die zugehörige Fläche bleibt hierbei immer ein zweischaliges Hyperboloid. Rücken die genannten Scheitel dem Punkte unendlich nahe, so werden auch die Hyperbeln in der xz- und xy-Ebene zwei in der Nähe der z resp. y-Achse verlaufende Äste besitzen. Die beiden Schalen des Hyperboloides nähern sich der yz-Ebene immer mehr und fallen in der Grenzlage mit ihr zusammen. Durch jeden Punkt des Raumes geht auch ein zu konfokales, zweischaliges Hyperboloid. Diese Flächen schneiden die yz-Ebene nicht, die xy-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F, G, und die az-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F2, G2, die außerhalb f2 liegen.

Die konfokalen Flächen 2. Grades sind von dreierlei Art, nämlich Ellipsoide, einschalige und zweischalige Hyperboloide; durch jeden Raumpunkt geht je eine Fläche von jeder Art. Eine jede Fläche wird von den konfokalen Flächen der gleichen Art überhaupt nicht, von den Flächen der beiden andern Arten aber in ihren beiden Systemen. von Krümmungslinien geschnitten.

809. Die Projektionen der Krümmungslinien eines Ellipsoides auf seine Symetrie ebenen. Seien k und zwei Krümmungslinien des Ellipsoides, von denen die erste auf einem einschaligen Hyperboloid V, die zweite auf einem zweischaligen Hyperboloid X liegen mag. Die Kurven k und sind als Schnitt7 linien zweier Flächen 2. Grades von der 4. Ord., ihre Projektionen auf die Symmetrieebenen sind Kegelschnitte, deren Punkte die Projektionen von je zwei Kurvenpunkten darstellen. Es fragt sich nun, in welcher Beziehung die Projektionen aller Krümmungslinien auf eine Symmetrieebene zu einander stehen, und wir werden sehen, daß sie eine Kegelschnittschar mit vier gemeinsamen, reellen oder imaginären Tangenten bilden (362).

Wir wollen die Hauptschnitte des Ellipsoides in den Ebenen xy, yz, zx mit s。, S1, S2 respektive bezeichnen, dann schneiden sich s22 und der Fokalkegelschnitt f2 in den vier reellen Kreis-, oder Nabelpunkten K1, K, K ̧, K1 der Fläche (Fig. 492). In einem Kreispunkte, etwa K1, sind je zwei konjugierte Tangenten zu einander normal, zwei derartige Tangenten seien u und v, und w sei die zugehörige Normale des Ellipsoides. Der Ebene vw wird durch die Fläche