Q"VO"B°, V = 0"M" × Q′′V, D"= B°V x a"). Die Ebene, welche in BD senkrecht auf der bezüglichen Meridianebene steht, schneidet das Hyperboloid in seiner Lichtgrenze w, da diese B enthält. Die Ellipse w hat aber mit u in B vier unendlich nahe Punkte gemein; denn das in einem beliebigen Parallelkreise i oskulierende Hyperboloid besitzt eine Lichtgrenze v, die u in seinen beiden Schnittpunkten mit berührt, diese beiden Berührungspunkte fallen für den Parallelkreis b zusammen. Die Ebene von w ist zugleich die Schmiegungsebene von u im Punkte B und der Krümmungskreis in diesem Punkte, der für u und w der gleiche ist, liegt auf der Kugel mit dem Mittelpunkte Q, welche die Ringfläche längs b berührt. Denn in der That schneidet die Schmiegungsebene den Kreis b und den ihm unendlich nahen Parallelkreis in je zwei unendlich nahen Punkten; diese vier unendlich nahen Punkte gehören aber ebenso, wie die bezüglichen Parallelkreise, zugleich der Ringfläche, dem oskulierenden Hyperboloide und der soeben genannten Kugel an, so daß der in der Schmiegungsebene liegende Kugelkreis mit u in B vier unendlich nahe Punkte gemein hat. Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist also der Fußpunkt C des von Q auf BD gefällten Lotes; in der zum Aufrisse parallel gedrehten Ebene ist QC B°V und CoBo der Radius des Krümmungskreises von u in B. Dieser Kreis projiziert sich in П, als Ellipse mit der kleinen Achse B'C', deren Krümmungsradius in B' zugleich der von u' ist. 1 Ganz in der gleichen Weise bestimmen sich die Radien der Krümmungskreise von u in B, und von u' in B, an Stelle des oskulierenden Hyperboloides tritt indessen hier ein oskulierendes Ellipsoid (Q"Co¦ B1°V). Das Hyperboloid, das die Ringfläche längs des kleinsten Parallelkreises m oskuliert, hat vier unendlich nahe Kreise mit ihr gemein, seine Lichtgrenze - eine Hyperbel y hat in ihrem Schnittpunkte E mit m drei benachbarte Punkte mit u gemein, y und u besitzen in E den gleichen Krümmungskreis (E'M' 7'). Die Schmiegungsebene von u in E, oder, was dasselbe ist, die Ebene von y, enthält die Mantellinien des Asymptotenkegels des Hyperboloides, deren Tangentialebenen durch 7 gehen. FM ist nun eine Mantellinie dieses Kegels in der Ebene des Hauptmeridians (Eo = k x m, E°Fo 0′′M", FoƠ′′ | FoM"), denn es ist nach 413 F°M" eine Asymptote der Hyperbel, die E° zum Scheitel und k zum Krümmungskreise besitzt. Die Parallelebene durch Fo schneidet den Asymptotenkegel in einem Kreise, dessen erste Projektion m' ist, und den Lichtstrahl im Punkte R (R°F° || O'M", R° = 1o × FRo, R'M' = (Ro — a")); die Projektion y' hat also M'S' zur Asymptote, wenn R'S' den Kreis m' in S berührt. Der Krümmungsradius T'E für y' und zugleich für u' im Scheitel E' wird erhalten, indem man die Normale zu E'M' in E mit der Asymptote M'S' schneidet und hier auf dieser eine Senkrechte errichtet, dieselbe geht dann durch T. 0 Geht man von dem Ellipsoide aus, das die Ringfläche längs des größten Kreises m, oskuliert, so muß seine Lichtgrenze eine Ellipse z - in ihrem Schnittpunkte E, mit m1 drei benachbarte Punkte mit u gemein haben und also dort den gleichen Krümmungskreis aufweisen. Der Hauptmeridian des Ellipsoides ist eine Ellipse mit den Halbachsen M′′E,° und M"F1, wenn (M"F1)2 = E1°M” · E2°0′′ ist, denn sie hat k zum Krümmungskreise (vergl. 409). Die zu 7 konjugierte Diametralebene in Bezug auf das Ellipsoid enthält z und ist Schmiegungsebene von u in E1, sie steht auf der Meridianebene durch 7 senkrecht und schneidet diese in dem Durchmesser der Meridianellipse, der zu konjugiert ist. Diese Meridianebene dreht man parallel zu П, und hat dann zu 7° den konjugierten Durchmesser in Bezug auf die Ellipse mit den Halbachsen M'E2° und M'F zu suchen. Dazu benütze man den zur Ellipse affinen Kreis mit dem Radius M"E° und dem Mittelpunkte M", dann ist F2 affin zu F1 (M”F,= M'E1), R, affin zu R1 auf 1o (RF1|| R„F2|| O′′M′′). Ist nun WM" R2M" und W2M" E,°M", so ist die affine Gerade WM" der zu konjugierte Durchmesser, sein Endpunkt W1 liegt senkrecht über W. Die Halbachsen der Ellipse z' sind deshalb M'E' und M'X' = (W。 − a′′), daraus folgt der Krümmungsradius E'T'= (M'X')': M'E, für u' in E. 1 1 2 2 2 In der Fig. 352 ist nicht selbst eingezeichnet, man vergleiche hierzu Fig. 345, die eingezeichneten Krümmungskreise lassen den Verlauf von u klar erkennen. 553. Es soll noch kurz die Tangente der Lichtgrenze z einer Rotationsfläche bei centraler Beleuchtung besprochen werden. In Fig. 353 sei a die Rotationsachse, i ein Parallelkreis der Fläche, J sein Schnittpunkt mit dem Hauptmeridian, k dessen Krümmungskreis in J, O der Mittelpunkt von k und L der leuchtende Punkt; als Aufrißebene benutzen wir die Hauptmeridianebene. Das längs i oskulierende Hyperboloid hat seinen Mittelpunkt in N (OJ × a = K, KU | OJ, UO | a, JU × a = N), seine Lichtgrenze v schneidet in zwei Punkten A und B, in denen v die Kurve u berührt. Die Kurve v liegt in einer Ebene E; schneiden wir also E mit i, so erhalten wir zwei Punkte A und B von u; schneiden wir ferner E mit den Tangentialebenen der Rotationsfläche in A resp. B, so gewinnen wir die Tangenten von u in diesen Punkten. Es kommt also alles darauf an E zu bestimmen. Wählen wir aber auf dem Durchmesser LN des Hyperboloides einen weiteren Punkt M und legen von ihm aus den in einer zu E paral- " وه messer LN konjugiert ist, zu E parallel läuft. Nun enthält ▲ alle Punkte des Hyperboloides, deren Tangentialebenen zu LN parallel sind. Auf i finden wir die beiden Punkte von ▲ mit Hilfe der Kugel, die die Rotationsfläche längs i berührt, d. h. sie liegen in der zu LN senkrechten Ebene durch K. Ist y der in der Hauptmeridianebene liegende Durchmesser von i, so gehört also der Punkt R von y der Ebene ▲ an, wenn RK L'N ist; die Ebene ▲ hat somit RN zur zweiten Spur und steht auf der Meridianebene durch L senkrecht. Die beiden Schnittpunkte A und B von E und liegen auch auf einem Kreise der obengenannten Kugel, der die Berührungspunkte der von L an sie gelegten Tangenten enthält; der Punkt S = AB × y liegt demnach auf der Polaren des Punktes L' in Bezug auf den Kreis um K mit dem Radius KJ. Hierdurch ist S und somit A und B bekannt (A'B' L'N', A'B' x x = S'). AB ist die Spur von E in der Ebene von i. Die Spur e, von E geht durch S und ist zu RN parallel; wir verzeichnen außerdem die Spur e, von E in × einer beliebigen Horizontalebene, etwa der Ebene durch O (e,'|| A'B'). Die Tangentialebene in A besitzt in dieser Horizontalebene die Spur HC (H'C' \ A'N'H', H'N' = (V − a), JV Tangente von k in J), demnach ist A'C' die Tangente von u′ in A' (C′ = H'C' × e1'), woraus auch die Tangente "C" von u" folgt. Gehört der Kreis i dem elliptisch gekrümmten Teile der Rotationsfläche an, so tritt an Stelle des oskulierenden Hyperboloides ein Ellipsoid, was jedoch die Konstruktion nirgends verändert. 554. Auf der Kurve der Lichtgrenze haben nach 529 die Punkte eine besondere Bedeutung, in denen die Tangente dem Lichtstrahle parallel ist bei parallelem Lichte, oder in denen die Tangente durch den leuchtenden Punkt geht bei centralem Lichte. Es soll nun bei der Ringfläche noch etwas näher auf die Punkte von u mit zum Lichtstrahle 7 parallelen Tangenten eingegangen werden. Ist P ein solcher Punkt und || eine Gerade durch ihn, so ist t eine Haupttangente der Ringfläche. Läßt man t um die Rotationsachse a sich drehen, so entsteht ein Rotationshyperboloid, das die Ringfläche längs des Parallelkreises i oskuliert, der den Punkt P trägt. Der Hauptmeridian des Hyperboloides sei die Hyperbel h, derjenige der Ringfläche der Kreis k, k oskuliert h im Punkte J von i. Der Asymptotenkegel des Hyperboloides wird a k H T erhalten, wenn man durch seinen Mittelpunkt N eine Parallele zu zieht und diese um a rotieren läßt, die Asymptoten der Hyperbel h schließen also mit a den gleichen Winkel ein wie Z. Um also einen Parallelkreis i zu finden, der zwei Punkte von der gesuchten Art trägt, haben wir folgende Aufgabe zu lösen. Es ist eine Hyperbel h zu suchen mit der Achse a, deren Asymptoten mit a einen bestimmten Winkel a = la bilden, und die den Kreis k zum Krümmungskreise hat; i geht dann durch den Punkt J, in dem sich h und k oskulieren. Fig. 354. In Fig. 354 sei O der Mittelpunkt von k und M der Mittelpunkt der Ringfläche mit dem Hauptmeridian k (OM | u). Errichtet = man in K OJ X a eine Normale zu JO und schneidet diese mit OM in U, so geht UJ durch den Mittelpunkt N von h; die Geraden NA und NB, die mit a dena einschließen, sind die Asymptoten von h. Der zu NJ konjugierte Durchmesser ist NH (NHOJ); zieht man also durch J eine Parallele zu a, und schneidet diese NA, NB, NJ, NH resp. in A, B, J, H, so liegen diese Punkte harmonisch. Deshalb gilt für den Mittelpunkt Q von AB (NQ 1 a) die Relation: (QA)2 = QJ · QH, die nun noch weiter umzuformen ist. Zu diesem Zwecke setze man OJr, OM : = d und OR = x, wo R АВ ХОМ ist; dann ist: ▲ QHN ~ ▲ ROJ, also: QH · RJ ~A x · QN. Ferner ist: QJ: RJ = QN: RU, = = OR ergiebt sich hiernach als dritte Wurzel aus dem Werte OM · (OT)2, die man am besten durch Rechnung findet. Dann hat man unmittelbar J und den Parallelkreis i, auf dem sich die gesuchten Punkte wie früher finden lassen. Die Rotationsflächen 2. Grades. 555. Läßt man einen Kegelschnitt - Ellipse, Hyperbel, Parabel um eine seiner Achsen rotieren, so entsteht eine Fläche, die man als Rotationsfläche 2. Grades bezeichnet. Durch Rotation einer Ellipse um ihre große Achse wird das verlängerte Ellipsoid, durch Rotation um ihre kleine Achse das verkürzte Ellipsoid oder Sphäroid gewonnen. Die Rotation der Hyperbel um ihre Hauptachse ergiebt das zweischalige Hyperboloid, die Rotation um ihre Nebenachse das einschalige Hyperboloid; die Parabel bildet durch Rotation um ihre Achse das Paraboloid. Das einschalige Hyperboloid kann auch, wie wir schon gesehen haben, durch Rotation einer Geraden um eine dazu windschiefe Achse erzeugt werden. Wir werden weiterhin in Kapitel XI die allgemeinen Flächen 2. Grades kennen lernen, von denen die hier aufgezählten nur spezielle Fälle sind. Dort werden die Eigenschaften |