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ihm eine Tangente besitzen, deren Spurpunkt Q auf LG liegt. Nun besitzen die Schraubenlinien q und k die gleiche Ganghöhe und die Punkte P und B auf ihnen den gleichen Horizontalabstand, deshalb haben wir die Relation QP' : AP' = JB': AB'. Mithin ist ▲ AB'¿ ~AAP'Q und C auf BJ und F auf P'Q sind homologe Punkte dieser Dreiecke, wenn AF e' und AC|| GJ ist (G = AB′ × LG), denn beide teilen die betreffenden Seiten in dem Verhältnis AG: AB'. Daraus folgt, daß ▲ B'AC = P'AF, also auch B'AP' = LCAF = ▲ GJB' = ▲ KB'J ist (JK 1 é', K auf LG), d. h. AP' steht auf B'K senkrecht. Um also auf e' den Punkt P' der Lichtgrenze u zu finden, ziehe man durch L eine Parallele zu e', fälle von Je v auf dieselbe ein Lot, verbinde seinen Fußpunkt K mit dem Fußpunkt B' des von A auf e' gefällten Lotes, dann steht AP' auf B'K senkrecht. Die Tangente von u bestimmt sich wie in den. früheren Fällen; ist P'R das Lot auf LG und macht man QT = LR, so ist P'T die gesuchte Tangente.

=

801. Haupttangenten und Tangenten der Lichtgrenze u bei einer cyklischen Schraubenfläche. Wir betrachten die Fläche, die durch Verschrau

bung eines horizontalen Kreises

R

k um eine vertikale Achse a entsteht. Die Figur 491 giebt die Projektion auf eine Horizontalebene durch den Punkt A der Achse a. In jedem Punkte P einer solchen Fläche lassen sich unmittelbar zwei Paare konjugierter Tangenten angeben. Ist k der erzeugende Kreis durch P und M sein Mittelpunkt, so bilden nach 797 die zu AP' senkrechte Gerade P'N und der Durchmesser P'Q' von k' die Grundrisse eines Paares konjugierter Tangenten. Die Grundrisse eines zweiten solchen Paares fallen in die Tangente p' von k' und in die Normale der Geraden, die M' mit dem ersten Spurpunkt A der Achse a verbindet, wie wir alsbald zeigen werden. Durch zwei Paare konjugierter Tangenten in P ist eine Involution bestimmt, deren Doppelstrahlen die Haupttangenten sind. Ist P ein Punkt der Lichtgrenze, so findet man die zugehörige Tangente als den dem Lichtstrahl durch P entsprechenden Strahl der Involution.

Fig. 491.

Die Richtigkeit der voranstehenden Behauptung erweisen wir durch folgende Überlegung. Die Gerade, welche zu der Tangente p im Punkte P von k 'konjugiert ist, trifft den zu k benachbarten Kreis k1 der Fläche in demjenigen Punkte P2, dessen Tangente zu p parallel ist (789). Geht nun bei der Verschraubung von k in k1 der Punkt P in den Punkt P1 über und ist & der dazu gehörige unendlich kleine Winkel, also = P'AP', so schließen auch die Tangenten von k in P und von k1 in P1 den ▲ ɛ ein, und somit thun dies auch die Tangenten von k, in P1 und P. Demnach ist: P'P1' = AP' und P'P' = M'P' ε, also P'P': PP2 AP': P'M'; da aber P'P' ¦ AP' und P1'P1⁄2' ■ P'M' ist (von einem unendlich kleineren Winkel abgesehen), so ist ▲ P'P'P' und folglich P'P senkrecht auf AM', w. z. b. w.

=

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1

1 2

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1 2

2

~AAP'M'

Ist eine allgemeine Schraubenfläche mit dem Normalschnitt c gegeben und ist k der Krümmungskreis im Punkte P von c, so entstehen durch Verschraubung von e und k zwei Schraubenflächen, die sich längs der von P beschriebenen Schraubenlinie oskulieren. Im Punkte P besitzen dann beide Flächen die gleiche Involution konjugierter Tangenten, so daß man das soeben bewiesene Resultat auf jede beliebige Schraubenfläche ausdehnen kann. Bestimmt man zu irgend einem Punkte P einer beliebigen Schraubenfläche den Krümmungsmittelpunkt M des zur Schraubenachse normalen Schnittes c, so ist die Tangente von c zu derjenigen Tangente in P konjugiert, deren Richtung zu dem von M auf die Schraubenachse gefällten Lote normal ist.

*

Im vorliegenden Falle der cyklischen Schraubenfläche konstruieren wir zunächst nach 634 auf dem Kreise k die beiden Punkte P und der Lichtgrenze u. Zu diesem Zwecke tragen wir auf die Schraubenachse a die Strecke AS gleich der reduzierten Ganghöhe auf, suchen deren Schatten AS, und drehen AS um A im richtigen Sinne um 90o in die Lage AL. Dann ist P'Q' der Durchmesser von k', dessen Verlängerung durch L geht. Nach Obigem sind nun P'Q, P'N und p', P'J(1 AM) zwei Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen die Projektionen der beiden Haupttangenten g und h von P sind. Der Kreis k' schneidet jene Strahlen in den Punktepaaren Q', N und P', R einer Involution mit dem Mittelpunkt J = P'R × Q'N (325). Legt man von J die beiden Tangenten an kund verbindet ihre Berührungspunkte mit P', so erhält man die gesuchten Geraden g' und h'. Verbindet man J mit dem Punkte X auf k', für den P'X' ist, und schneidet diese Gerade den Kreis noch in 7, so ist P'T die Tangente von u'. Um zu J zu gelangen, braucht man

nur durch P' eine Normale zu AM' und durch eine Parallele zu AP' zu ziehen, beide schneiden sich in J. Ganz analog findet man K(QʻK ▲ AM', P'K || AQ'′) und mit dessen Hilfe die Tangente Q'V von u'im Punkte Q' (Q'Y || !', Y auf k', YK × k' = V). Im Punkte Q ist die Schraubenfläche elliptisch gekrümmt und besitzt keine Haupttangenten. Die Punkte parabolischer Krümmung auf k gehören dem Durchmesser an, der die Achse a trifft.

802. In jedem Punkte einer krummen Oberfläche giebt es vier besondere Tangenten, nämlich die beiden Haupttangenten und die Tangenten der beiden Hauptschnitte. Dementsprechend kann

man auf einer Fläche vier Systeme von Kurven ziehen, nämlich zwei Systeme von Krümmungslinien und zwei Systeme von Haupttangentenkurven. Eine Krümmungslinie ist dadurch definiert, daß sie in jedem ihrer Punkte einen der beiden Hauptschnitte berührt. Die Flächennormalen in den Punkten einer Krümmungslinie bilden eine abwickelbare Fläche. Um dieses einzusehen, betrachten wir einen Punkt P der gegebenen Fläche und seine unendlich kleine Indikatrix. Die Flächennormalen in den Punkten dieser Indikatrix bilden eine gerade Normalenfläche (765), ihre Projektionen auf die Tangentialebene von P berühren die Evolute der Indikatrix. Daraus geht hervor, daß zwei benachbarte Flächennormalen sich im allgemeinen nicht schneiden, daß aber jede Normale von vier anderen getroffen wird, die in den vier Endpunkten der Achsen der zugehörigen Indikatrix errichtet sind. Da nun in jedem Punkte einer Krümmungslinie die eine Achse der Indikatrix dieselbe berührt, ist der obige Satz evident. Die beiden Systeme der Krümmungslinien durchschneiden sich rechtwinklig. Die Rotationsflächen bieten ein einfaches Beispiel für die beiden Systeme der Krümmungslinien, die hier nichts anderes als die Meridiankurven und Parallelkreise sind.

Eine Haupttangentenkurve ist dadurch charakterisiert, daß ihre Tangenten die Fläche oskulieren, also Haupttangenten von ihr sind. Nun hatten wir gesehen, daß die Tangentialebenen in den Punkten einer beliebigen Kurve c, die wir auf einer Fläche ziehen können, eine abwickelbare Fläche umhüllen, deren Erzeugende zu den Tangenten von c konjugiert sind (789). Da aber die Tangenten einer Haupttangentenkurve zu sich selbst konjugiert sind, so umhüllen die Tangentialebenen in den Punkten einer solchen Kurve eine abwickelbare Fläche, deren Erzeugende die genannten Tangenten sind. Die Haupttangentenkurve ist also die Rückkehrkante dieser abwickelbaren Fläche, deren Tangentialebenen somit

zugleich Schmiegungsebenen dieser Knrve sind (711). Die Schmiegungsebenen einer Haupttangenten kurve berühren in den zugehörigen Punkten die gegebene Fläche. Die Haupttangentenkurven einer Fläche überdecken nur ihre hyperbolisch gekrümmten Teile, indem durch jeden Punkt zwei dieser Kurven gehen. Die parabolische Kurve trennt diese Flächenteile von den elliptisch gekrümmten; für ihre Punkte fallen die beiden Haupttangenten in eine einzige zusammen, die im allgemeinen keine Tangente von ihr ist. Die Haupttangentenkurven besitzen deshalb dort, wo sie auf die parabolische Kurve auftreffen, Spitzen.

Bei den Regelflächen bilden die Erzeugenden das eine System von Haupttangentenkurven; beim Plücker'schen Konoid haben wir auch das andere angegeben (735). Bei der geschlossenen, geraden Schraubenfläche sind die Schraubenlinien Haupttangentenkurven; jede ihrer Schmiegungsebenen enthält die bezügliche Erzeugende, berührt also wirklich die Fläche.

Die Krümmungslinien der Flächen 2. Grades.

a

803. Wir legen unserer Betrachtung ein Ellipsoid mit dem Mittelpunkt O und den Achsen x, y, z zu Grunde. Jeder Ebene entspricht ein bestimmter Punkt als Pol in Bezug auf ; das vom Pol auf die Ebene gefällte Lot wollen wir kurz als die konjugierte Normale der Ebene bezeichnen. So gehört zu jeder Ebene eine bestimmte konjugierte Normale, zu den Tangentialebenen von ♣ sind die zugehörigen Flächennormalen konjugiert. Sei nun A eine beliebige Ebene, a die konjugierte Normale und P = A × a ihr Schnittpunkt, so giebt es durch P zwei zu einander rechtwinklige Geraden und c, die zugleich konjugierte Polaren der Schnittkurve sa von A mit der Fläche 2. Grades sind, mag s reell oder imaginär sein. Denn die konjugierten (harmonischen) Polaren von s durch P bilden eine Involution, deren Rechtwinkelstrahlen und c sind. Dann ist auch b die konjugierte Normale der Ebene B = ac und c die konjugierte Normale der Ebene = ab. ab. Da nämlich b und c konjugierte Polaren von s sind, so liegt der Pol B von c in Bezug auf Sa auf der Geraden b; die Polarebene B des Punktes B in Bezug auf die Fläche geht also durch c. Sie geht aber auch durch den Pol von A, der auf a liegt, d. h. sie deckt sich mit ac; ebenso zeigt sich, daß mit ab zusammenfällt. Drei Strahlen aus einem Punkt, von denen jeder zu der Ebene der beiden anderen konjugiert und normal ist, sollen drei konjugierte Normalen heißen. a, b, c sind solche drei konjugierte Normalen, je zwei von ihnen sind

α

a

konjugierte rechtwinklige Polaren der in ihrer Ebene liegenden Schnittkurve von . Die drei konjugierten Normalen durch einen beliebigen Punkt P sind zugleich die Achsen des Tangentialkegels, den man aus P an die Fläche legen kann. Denn nach 391 halbieren b und c die Winkel der beiden aus P an s gelegten Tangenten, und ähnliches gilt für c und a, resp. a und b. Die Ebenen A, B, enthalten also je zwei reelle oder imaginäre Mantellinien des Tangentialkegels, die zu den Geraden a, b, c symmetrisch liegen, woraus sich unmittelbar folgern läßt, daß a, b, c seine Achsen sind. Die drei konjugierten Normalen in einem Punkte der Fläche werden von der Flächennormalen und den Tangenten der beiden Krümmungslinien in ihm gebildet.

804. Ordnen zwei Flächen 2. Grades und jeder Ebene die nämliche konjugierte Normale zu, und schneiden sie sich in einer reellen Kurve, so ist diese für beide eine Krümmungslinie. Denn je drei konjugierte Normalen in Bezug auf die eine Fläche sind es auch für die andere; in einem gemeinsamen Punkte beider Flächen muß demnach die Normale der ersten eine Krümmungslinie der zweiten, und die Normale der zweiten eine Krümmungslinie der ersten berühren. Die beiden noch übrigen Krümmungslinien haben also die Schnittlinie der beiden Tangentialebenen zur gemeinsamen Tangente, und da dieses für jeden ihrer Punkte eintritt, fallen sie zusammen. Wir werden weiterhin sehen, daß es Flächen giebt, die jeder Ebene die nämliche konjugierte Normale zuordnen; es wird sich nämlich zeigen, daß zwei koaxiale Flächen diese Eigenschaft besitzen, sobald sie nur einer einzigen Ebene dieselbe konjugierte Normale zuordnen.

Sei A eine Ebene und a ihre konjugierte Normale, seien ferner a, und 4, Spurlinie und Spurpunkt derselben in der Ebene xy. Dann legen wir durch a1 einen Büschel von Ebenen, ihre Pole bilden eine dazu projektive Reihe und liegen auf einer Parallelen zu z. Verbinden wir jetzt die Punkte dieser Reihe mit 41, so ist auch dieser Strahlbüschel mit jenem Ebenenbüschel projektiv und drei seiner Strahlen stehen auf den entsprechenden Ebenen senkrecht. Der Ebene A entspricht nämlich hierbei der Strahl a, der Ebene B der Strahl b, wenn sowohl A und B, als auch a und b zur Ebene xy symmetrisch liegen, und der Ebene, die in a1 auf xy senkrecht steht, das von 4, auf a, gefällte Lot. Demnach steht jeder Strahl auf seiner entsprechenden Ebene senkrecht, denn dreht man den Ebenenbüschel um seine Achse um 90°, so werden drei, und folglich

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