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zugleich Schmiegungsebenen dieser Knrve sind (711). Die Schmiegungsebenen einer Haupttangentenkurve berühren in den zugehörigen Punkten die gegebene Fläche. Die Haupttangentenkurven einer Fläche überdecken nur ihre hyperbolisch gekrümmten Teile, indem durch jeden Punkt zwei dieser Kurven gehen. Die parabolische Kurve trennt diese Flächenteile von den elliptisch gekrümmten; für ihre Punkte fallen die beiden Haupttangenten in eine einzige zusammen, die im allgemeinen keine Tangente von ihr ist. Die Haupttangentenkurven besitzen deshalb dort, wo sie auf die parabolische Kurve auftreffen, Spitzen.

Bei den Regelflächen bilden die Erzeugenden das eine System von Haupttangentenkurven; beim Plücker'schen Konoid haben wir auch das andere angegeben (735). Bei der geschlossenen, geraden Schraubenfläche sind die Schraubenlinien Haupttangentenkurven; jede ihrer Schmiegungsebenen enthält die bezügliche Erzeugende, berührt also wirklich die Fläche.

Die Krümmungslinien der Flächen 2. Grades.

803. Wir legen unserer Betrachtung ein Ellipsoid d mit dem Mittelpunkt O und den Achsen x, y, z zu Grunde. Jeder Ebene entspricht ein bestimmter Punkt als Pol in Bezug auf CD; das vom Pol auf die Ebene gefällte Lot wollen wir kurz als die konjugierte Normale der Ebene bezeichnen. So gehört zu jeder Ebene eine bestimmte konjugierte Normale, zu den Tangentialebenen von CD sind die zugehörigen Flächennormalen konjugiert. Sei nun A eine beliebige Ebene, a die konjugierte Normale und P= A × a ihr Schnittpunkt, so giebt es durch Po zwei zu einander rechtwinklige Geraden b und c, die zugleich konjugierte Polaren der Schnittkurve s, von A mit der Fläche 2. Grades sind, mag s, reell oder imaginär sein. Denn die konjugierten (harmonischen) Polaren von s, durch P bilden eine Involution, deren Rechtwinkelstrahlen b und c sind. Dann ist auch b die konjugierte Normale der Ebene B = ac und c die konjugierte Normale der Ebene T = ab. Da nämlich b und c konjugierte Polaren von s, sind, so liegt der Pol B von c in Bezug auf s, auf der Geraden b; die Polarebene B des Punktes B in Bezug auf die Fläche geht also durch c. Sie geht aber auch durch den Pol von A, der auf a liegt, d. h. sie deckt sich mit ac; ebenso zeigt sich, daß T mit ab zusammenfällt. Drei Strahlen aus einem Punkt, von denen jeder zu der Ebene der beiden anderen konjugiert und normal ist, sollen drei konjugierte Normalen heißen. a, b, c sind solche drei konjugierte Normalen, je zwei von ihnen sind konjugierte rechtwinklige Polaren der in ihrer Ebene liegenden Schnittkurve von d. Die drei konjugierten Normalen durch einen beliebigen Punkt P sind zugleich die Achsen des Tangentialkegels, den man aus Po an die Fläche legen kann. Denn nach 391 halbieren b und c die Winkel der beiden aus P an s, gelegten Tangenten, und ähnliches gilt für c und a, resp. a und b. Die Ebenen A, B, T enthalten also je zwei reelle oder imaginäre Mantellinien des Tangentialkegels, die zu den Geraden a, b, c symmetrisch liegen, woraus sich unmittelbar folgern läßt, daß a, b, c seine Achsen sind. Die drei konjugierten Normalen in einem Punkte der Fläche werden von der Flächennormalen und den Tangenten der beiden Krümmungslinien in ihm gebildet. 804. Ordnen zwei Flächen 2. Grades CD und VP jeder Ebene die nämliche konjugierte Normale zu, und schneiden sie sich in einer reellen Kurve, so ist diese für beide eine Krümmungslinie. Denn je drei konjugierte Normalen in Bezug auf die eine Fläche sind es auch für die andere; in einem gemeinsamen Punkte beider Flächen muß demnach die Normale der ersten eine Krümmungslinie der zweiten, und die Normale der zweiten eine Krümmungslinie der ersten berühren. Die beiden noch übrigen Krümmungslinien haben also die Schnittlinie der beiden Tangentialebenen zur gemeinsamen Tangente, und da dieses für jeden ihrer Punkte eintritt, fallen sie zusammen. Wir werden weiterhin sehen, daß es Flächen giebt, die jeder Ebene die nämliche konjugierte Normale zuordnen; es wird sich nämlich zeigen, daß zwei koaxiale Flächen diese Eigenschaft besitzen, sobald sie nur einer einzigen Ebene dieselbe konjugierte Normale zuordnen. SeiA eine Ebene und a ihre konjugierte Normale, seien ferner a, und A, Spurlinie und Spurpunkt derselben in der Ebene xy. Dann legen wir durch a, einen Büschel von Ebenen, ihre Pole bilden eine dazu projektive Reihe und liegen auf einer Parallelen zu z. Verbinden wir jetzt die Punkte dieser Reihe mit A, so ist auch dieser Strahlbüschel mit jenem Ebenenbüschel projektiv und drei seiner Strahlen stehen auf den entsprechenden Ebenen senkrecht. Der Ebene A entspricht nämlich hierbei der Strahl a, der Ebene B der Strahl b, wenn sowohl A und B, als auch a und b zur Ebene ay symmetrisch liegen, und der Ebene, die in a, auf xy senkrecht steht, das von A, auf a, gefällte Lot. Demnach steht jeder Strahl auf seiner entsprechenden Ebene senkrecht, denn dreht man den Ebenenbüschel um seine Achse um 90%, so werden drei, und folglich alle Ebenen zu den entsprechenden Strahlen parallel. Wir erhalten so den Satz: Zu allen Ebenen mit der nämlichen Spurlinie in der Ebene zy gehören konjugierte Normalen mit dem nämlichen Spurpunkt in xy. 805. Sind zwei Ebenen A, B und ihre konjugierten Normalen a, b so beschaffen, daß in der Ebene zy die Spurlinie b, von B durch den Spurpunkt A., von a geht, so geht auch die Spurlinie a, von A durch den Spurpunkt B, von b. Zum Beweise benutzen wir die Ebene T =b, a, deren Pol C in A liegt, da der Pol von A auf a, also auf T sich befindet. Nun steht A auf a und somit auch auf T senkrecht, das von C auf T gefällte Lot, d. h. die konjugierte Normale von T, liegt deshalb in A und ihr Spurpunkt in a,. Dieser Spurpunkt ist aber zugleich der Spurpunkt B, von b, da die Ebenen T und B sich in der nämlichen Geraden b, von xy schneiden. Einem System von parallelen Ebenen werden durch die Fläche CD die Punkte eines Durchmessers als Pole zugeordnet; diese Punktreihe ist projektiv zu derjenigen, die eine beliebige Gerade aus dem System der parallelen Ebenen ausschneidet. Die konjugierten Normalen dieser Ebenen laufen durch deren Pole und stehen auf ihnen senkrecht, sind also selbst parallel zu einander, ihre Spurpunkte in der Ebene xy liegen auf einer Geraden g durch O. Die Punktreihe dieser Spurpunkte ist projektiv zu der Punktreihe, in der g die parallelen Ebenen durchschneidet; diese Reihen liegen sogar involutorisch. Denn ist A eine Ebene, deren Spurlinie a, die Gerade g in A, schneidet, und ist a ihre konjugierte Normale, deren Spurpunkt A, auf g liegt, so wird einer zu A parallelen Ebene durch A, eine konjugierte Normale zugeordnet, deren Spurpunkt A, ist. Denn nach dem soeben Gesagten liegt er auf g und nach dem Voraufgehenden auf a. Jedem System paralleler Ebenen entspricht also in der Ebene xy eine Gerade durch O und auf ihr eine Involution; zu zwei Ebenen des Systems, die je einen Punkt eines Paares der Involution enthalten, gehören zwei konjugierte Normalen, die durch die vertauschten Punkte des nämlichen Paares gehen. Alle Ebenen und ihre in Bezug auf CD konjugierten Normalen schneiden die Ebene xy in Geraden und Punkten, welche die Polaren und Pole eines Kegelschnittes f bilden. Ist nämlich wieder a, die Spur einer Ebene A und A, der Spurpunkt ihrer konjugierten Normalen a, dann giebt es einen Kegelschnitt f mit den Achsen x- und y, für den A, der Pol von a, ist. Betrachten wir nun zwei in Bezug auf die Ebene arz symmetrische Ebenen B und A, so liegen auch ihre konjugierten Normalen b und a symmetrisch, und ihre Spurlinien b, und a, sowie die Spurpunkte B, und A, der Normalen liegen zur x-Axe symmetrisch. Um jetzt zu einer beliebigen Ebene X mit der Spur s, die konjugierte Normale s mit dem Spurpunkt S, zu finden, verfahren wir in folgender Weise. Wir schneiden s, mit 04, und OB, in C und D, dann liegt auf OA, eine Involution, für die O der Mittelpunkt und A, A, = a, × OA, ein Punktepaar ist; der zu C gehörige Punkt dieser Involution mag C, sein. Ganz ebenso liegt auf OB, eine Involution, in ihr möge D, einem Punkt D, entsprechen. Zieht man durch C. eine Parallele zu a, und durch D, eine Parallele zu b, so schneiden sie sich in dem gesuchten Punkte S. Denn die Parallelebene zu A durch C, besitzt eine konjugierte Normale mit dem Spurpunkt C. und die Parallelebene zu B durch D, besitzt eine konjugierte Normale mit dem Spurpunkt D); zu jeder Ebene durch CD, gehört deshalb eine konjugierte Normale, deren Spurpunkt nach dem Obigen auf den beiden Geraden C„S, und D„S, also in S, liegt. Nach der soeben geschilderten Konstruktion ist aber auch S, der Pol von s, in Bezug auff, und damit ist unser Satz bewiesen. Hieraus folgt noch weiter, daß je drei konjugierte Normalen von CD durch die Ecken eines Polardreieckes von f gehen. Die Umkehrung gilt jedoch nur für spitzwinklige Dreiecke. 806. Wir können jetzt unmittelbar den Satz aussprechen: Alle koaxialen Flächen 2. Grades, die einer Ebene die nämliche konjugierte Normale zuordnen, ordnen auch jeder anderen Ebene die nämliche konjugierte Normale zu; solche Flächen heißen konfokal. Von ihnen gelten folgende Sätze. Durch jeden Punkt des Raumes gehen drei zu der Fläche CD konfokale Flächen, die sich in ihm rechtwinklig durchschneiden. Sind nämlich a, b, c die drei konjugierten Normalen durch den gegebenen Punkt P, so sind die drei Flächen, die in P je eine der drei Ebenen ab, bc, ca berühren und mit d die gleichen Achsen aufweisen, zu der Fläche CD konfokal. Als spezielle Fälle gehören dem System konfokaler Flächen auch drei Kegelschnitte fi, fi,f an, die bezüglich in den Ebenen yz, zae, ry liegen, sie werden die Fokalkurven des Systems genannt. Ist t eine Tangente eines solchen Kegelschnittes und T" ihr Berührungspunkt, so besitzt jede Ebene durch t eine konjugierte Normale durch To; demnach müssen in der Ebene, die in T' auf t senkrecht steht, je zwei rechtwinklige Strahlen durch T' zu einander konjugiert sein in Bezug auf jede ihrer Schnittkurven mit den konfokalen Flächen. Mit anderen Worten: Jede Ebene, die eine Fokalkurve in einem Punkte rechtwinklig schneidet, schneidet die konfokalen Flächen in Kurven mit einem gemeinsamen Brennpunkte in ihm. Speziell werden die Schnittpunkte der Fokalkurven mit den konfokalen Flächen Nabelpunkte, oder Punkte mit kreisförmiger Indikatrix sein, da in ihnen je zwei konjugierte Tangenten aufeinander senkrecht stehen. Bedenkt man die Beziehung der konjugierten Normalen zu den Tangentialkegeln der konfokalen Flächen, so erkennt man, daß die Tangentialkegel, die man aus einem beliebigen Punkte einer Fokalkurve an die konfokalen Flächen legen kann, Rotationskegel sind, und daß die zugehörige Tangente ihre gemeinsame Achse ist. Daraus folgt insbesondere, daß jeder Punkt einer Fokalkurve der Scheitel und seine Tangente die Achse einer Rotationsfläche ist, die durch eine der beiden übrigen Fokalkurven hindurchgeht. Man hätte bei der Ableitung aller dieser Resultate auch von einer Flächenschar ausgehen können, die durch zwei der konfokalen Flächen bestimmt wird. Die vier speziellen Flächen der Schar (713) werden von fi, fi, f, und der unendlich fernen, allen Kugeln gemeinsamen imaginären Kurve gebildet. Die gemeinsame abwickelbare Hüllfläche der Schar, die diese vier Kurven zu Doppelkurven hat, ist imaginär. 807. Die konfokalen Flächen schneiden jede der drei Ebenen xy, yz und zur in konfokalen Kegelschnitten. Wir nehmen nun an, daß er die große, y die mittlere und z die kleine Achse des Ellipsoides CD sei, und bezeichnen seine in den Ebenen zyz, zx und xy liegenden Schnittkurven mit s, s, und s, und die zugehörigen reellen Brennpunkte (399) mit F, G, resp. F, G, resp. F, G. Die beiden ersten liegen auf der y-Achse, die anderen auf der x-Achse. Der Fokalkegelschnitt f in der Ebene xy besitzt die Brennpunkte F, G, und geht durch die Punkte F, G, F, G, hindurch, ist also eine Ellipse. Denn die Ebene xz steht auf der Fokalkurve f, in ihren beiden auf r liegenden Schnittpunkten senkrecht, diese sind also Brennpunkte für alle in der Ebene xz liegenden Schnittkurven der konfokalen Flächen. Ganz ähnlich findet man, daß der Fokalkegelschnitt f eine Hyperbel mit den Brennpunkten F, G, und den Scheiteln F, G, und der Fokalkegelschnitt f, eine imaginäre Kurve mit den Brennpunkten F., G. ist. Ahnliche Resultate könnte man für die imaginären Brennpunkte aussprechen. 808. Um uns eine Vorstellung von der Gesamtheit aller konfokalen Flächen zu machen, gehen wir von dem Ellipsoide CD aus

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