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die Projektion h' der anderen trennt zusammen mit e” die Strahlen P“L und PQ harmonisch. Zieht man also eine Parallele zu e” und schneidet diese die Strahlen PL und PQ in R und Q, so geht h' durch den Mittelpunkt // von RQ. Auch der Strahl PJ (l) und die Tangente t“ von u“ werden als Projektionen konjugierter Tangenten von e” von PH harmonisch getrennt; ihre Schnittpunkte J und K mit QR sind mithin von H gleichweit entfernt und es ist: KQ = RJ. Die Konstruktion von t“ erfordert also nur die Schnittpunkte von EL, PQ (L PS) und PJ (| 1) mit einer Parallelen zu e, dann ergiebt sich t“=P“K aus KQ= RJ. Man kann nach 365 auch ohne Zirkel t“ finden, indem man auf PJ einen beliebigen Punkt D annimmt, die Linien DQ und DL zieht und mit e’ resp. in G und Po schneidet, dann ist M = LG × FQ ein Punkt von t“; denn QD, QP, LD, LG sind die vier Seiten eines Vierseits. Die Änderungen, welche die Konstruktion erfährt, wenn wir es mit einer offenen geraden, oder mit einer geschlossenen schiefen Regelschraubenfläche zu thun haben, sind leicht anzugeben. Bei der geschlossenen geraden Schraubenfläche bildet in jedem Punkte der Lichtgrenze die Erzeugende mit dem Lichtstrahle und der Tangente der Lichtgrenze gleiche Winkel. Gleiches gilt natürlich auch für die Projektionen dieser Geraden auf eine Normalebene zur Schraubenachse. Der Beweis für das Gesagte liegt darin, daß in jedem Punkte dieser Schraubenfläche die zweite Haupttangente die durch den Punkt verlaufende Schraubenlinie berührt, denn diese Gerade ist nach dem obigen Satze zu sich selbst konjugiert. Bei dieser Schraubenfläche sind also die Schraubenlinien Haupttangentenkurven, da ihre Tangenten für die Fläche Haupttangenten sind. 799. Die Lichtgrenze u einer offenen, schiefen Regelschraubenfläche und ihre Tangenten bei Central beleuchtung. Wir legen durch den leuchtenden Punkt L eine Normalebene zur Schraubenachse a, die sie in A trifft, und führen die Konstruktion in dieser Ebene aus, die wir zur Horizontalebene wählen (Fig. 489). Sei e eine Erzeugende, E, ihr Spurpunkt und e“ ihre Projektion, so zeichne man den Parameterkreis p mit dem Radius h, cotge, wo h, die reduzierte Ganghöhe und so den Neigungswinkel der Erzeugenden mit der Horizontalebene bedeutet. Dann ist LE, die erste Spur der Lichtebene durch e und ihr Berührungspunkt P auf e ergiebt sich aus 602 und 630, indem man den Radius AE von p senkrecht zu e” zieht und das von B auf LE gefällte Lot mit e” in P“ schneidet. Welcher der beiden Endpunkte des zu e” senkrechten Durchmessers von p als Punkt E zu nehmen ist, hängt von dem Sinne der aufwärtsgehenden Schraubenbewegung

Fig. 489.

ab; E hat die in der Figur angegebene Lage, wenn der Pfeil den gemeinten Sinn angiebt und das von e gezeichnete Stück über der Horizontalebene liegt. Die Bestimmung der Tangente t“ von u“ in P” geschieht ganz wie vorher; man schneidet die Strahlen PR (L LE), PQ ( L P“A) und PL mit einer Parallelen zu e” in den Punkten R, Q und J, dann ist PK = t“, wenn KQ = RJ ist.

800. Ist die gleiche Aufgabe bei der offenen geraden Schraubenfläche zu lösen, so ist die voranstehende Konstruktion unbrauchbar und wir ersetzen sie durch die folgende. L, A, a und e

Fig. 490.

sollen die frühere Bedeutung und die Horizontalebene die frühere Lage haben (Fig. 490). Sei ferner k die Kehlschraubenlinie, S ihr erster Spurpunkt und B ein beliebiger Punkt auf ihr; sei endlich v die von S ausgehende Evolvente des Kreises k, sie trägt die Spurpunkte aller Tangenten der Kehlschraubenlinie. Die Tangente e” im Punkte B“ von k“ schneidet v in J, so daß BJ eine Tangente

von k ist. Die Erzeugende e ist horizontal, die Lichtebene durch sie besitzt also eine zu e parallele Spur LG durch L, und wir wollen annehmen, daß sie die Schraubenfläche im Punkte P von e berühre. Dann muß die durch Po verlaufende Schraubenlinie q, in ihm eine Tangente besitzen, deren Spurpunkt Q auf LG liegt. Nun besitzen die Schraubenlinien q und k die gleiche Ganghöhe und die Punkte Po und B auf ihnen den gleichen Horizontalabstand, deshalb haben wir die Relation QP“: AP“ = JB': AB". Mithin ist A AB“, -A APQ und C auf BoJ und F" auf P'9 sind homologe Punkte dieser Dreiecke, wenn AFI e’ und AC |GJ ist (G = AB“ × LG), denn beide teilen die betreffenden Seiten in dem Verhältnis AG: AB“. Daraus folgt, daß z. B“AC = z. PAF, also auch z. B"AP" = Z CAF = 4 GJB = 4 KBV ist (JK Le, K auf LG), d. h. AP“ steht auf B“K senkrecht. Um also auf e” den Punkt Po" der Lichtgrenze zu zu finden, ziehe man durch L eine Parallele zu e”, fälle von J= e‘ X v auf dieselbe ein Lot, verbinde seinen Fußpunkt K mit dem Fußpunkt B“ des von A auf e’ gefällten Lotes, dann steht AP" auf BK senkrecht. Die Tangente von u bestimmt sich wie in den früheren Fällen; ist PR das Lot auf LG und macht man QT" = LR, so ist PT" die gesuchte Tangente. 801. Haupttangenten und Tangenten der Lichtgrenze u bei einer cyklischen Schraubenfläche. Wir betrachten die Fläche, die durch Verschraubung eines horizontalen Kreises k, um eine vertikale Achse a entsteht. Die Figur 491 giebt die Projektion auf eine Horizontalebene durch den Punkt A der Achse a. In jedem Punkte Po einer solchen Fläche lassen sich unmittelbar zwei Paare konjugierter Tangenten angeben. Ist k der erzeugende Kreis durch Po und M sein Mittelpunkt, so bilden nach 797 die zu AP“ senkrechte Gerade P"N Fig. 491. und der Durchmesser PQ" von k“ die Grundrisse eines Paares konjugierter Tangenten. Die Grundrisse eines zweiten solchen Paares fallen in die Tangente p" von k“ und in die Normale der Geraden, die M" mit dem ersten Spurpunkt A der Achse a verbindet, wie wir alsbald zeigen werden. Durch zwei Paare konjugierter Tangenten in P ist eine Involution bestimmt, deren Doppelstrahlen die Haupttangenten sind. Ist Po ein Punkt der Lichtgrenze, so findet man die zugehörige Tangente als den dem Lichtstrahl durch Po entsprechenden Strahl der Involution.

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Die Richtigkeit der voranstehenden Behauptung erweisen wir durch folgende Überlegung. Die Gerade, welche zu der Tangentep im Punkte P von k konjugiert ist, trifft den zu k benachbarten Kreis k, der Fläche in demjenigen Punkte P., dessen Tangente zu p parallel ist (789). Geht nun bei der Verschraubung von “k in k, der Punkt P in den Punkt P% über und ist - der dazu gehörige unendlich kleine Winkel, also s = A PAP“, so schließen auch die Tangenten von k in P und von k., in Po, den Z 8 ein, und somit thun dies auch die Tangenten von k., in P% und P. Demnach ist: PoP“ = AP“- 8 und Po"P" = M'P' - , also PoP“: PP" = AP“: PM"; da aber PP“ L AP und PP, LP"M" ist (von einem unendlich kleineren Winkel abgesehen), so ist A PP"P" - A APM" und folglich PP" senkrecht auf AM“, w. z. b. w.

Ist eine allgemeine Schraubenfläche mit dem Normalschnitt c gegeben und ist k der Krümmungskreis im Punkte P von c, so entstehen durch Verschraubung von c und k zwei Schraubenflächen, die sich längs der von Po beschriebenen Schraubenlinie oskulieren. Im Punkte P besitzen dann beide Flächen die gleiche Involution konjugierter Tangenten, so daß man das soeben bewiesene Resultat auf jede beliebige Schraubenfläche ausdehnen kann. Bestimmt man zu irgend einem Punkte Peiner beliebigen Schraubenfläche den Krümmungsmittelpunkt M des zur Schraubenachse normalen Schnittes c, so ist die Tangente von c zu der jenigen Tangente in P konjugiert, deren Richtung zu dem von M auf die Schraubenachse gefällten Lote normal ist.

Im vorliegenden Falle der cyklischen Schraubenfläche konstruieren wir zunächst nach 634 auf dem Kreise k die beiden Punkte P und Q der Lichtgrenze u. Zu diesem Zwecke tragen wir auf die Schraubenachse a die Strecke AS gleich der reduzierten Ganghöhe auf, suchen deren Schatten AS, und drehen AS, um A im richtigen Sinne um 90° in die Lage AL. Dann ist P'Q' der Durchmesser von k“, dessen Verlängerung durch L geht. Nach Obigem sind nun PQ, PAV und p, PJ (L AM") zwei Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen die Projektionen der beiden Haupttangenten g und h von Psind. Der Kreis k“ schneidet jene Strahlen in den Punktepaaren Q, N und Po, R. einer Involution mit dem Mittelpunkt J = PR × QN (325). Legt man von J die beiden Tangenten an k“ und verbindet ihre Berührungspunkte mit Po, so erhält man die gesuchten Geraden g' und h'. Verbindet man J mit dem Punkte X auf k“, für den P'X | l“ ist, und schneidet diese Gerade den Kreis noch in T', so ist PoT" die Tangente von u. Um zu J zu gelangen, braucht man nur durch Po" eine Normale zu AM" und durch Q" eine Parallele zu AP“ zu ziehen, beide schneiden sich in J. Ganz analog findet man K(QK L AM“, PK |AQ) und mit dessen Hilfe die Tangente QW von u" im Punkte Q" (Q/X | 1", K auf k“, KK X k“ = V). Im Punkte Q ist die Schraubenfläche elliptisch gekrümmt und besitzt keine Haupttangenten. Die Punkte parabolischer Krümmung auf k gehören dem Durchmesser an, der die Achse a trifft. 802. In jedem Punkte einer krummen Oberfläche giebt es vier besondere Tangenten, nämlich die beiden Haupttangenten und die Tangenten der beiden Hauptschnitte. Dementsprechend kann man auf einer Fläche vier Systeme von Kurven ziehen, nämlich zwei Systeme von Krümmungslinien und zwei Systeme von Haupttangentenkurven. Eine Krümmungslinie ist dadurch definiert, daß sie in jedem ihrer Punkte einen der beiden Hauptschnitte berührt. Die Flächen normalen in den Punkten einer Krümmungslinie bilden eine abwickelbare Fläche. Um dieses einzusehen, betrachten wir einen Punkt P der gegebenen Fläche und seine unendlich kleine Indikatrix. Die Flächennormalen in den Punkten dieser Indikatrix bilden eine gerade Normalenfläche (765), ihre Projektionen auf die Tangentialebene von Po berühren die Evolute der Indikatrix. Daraus geht hervor, daß zwei benachbarte Flächennormalen sich im allgemeinen nicht schneiden, daß aber jede Normale von vier anderen getroffen wird, die in den vier Endpunkten der Achsen der zugehörigen Indikatrix errichtet sind. Da nun in jedem Punkte einer Krümmungslinie die eine Achse der Indikatrix dieselbe berührt, ist der obige Satz evident. Die beiden Systeme der Krümmungslinien durchschneiden sich rechtwinklig. Die Rotationsflächen bieten ein einfaches Beispiel für die beiden Systeme der Krümmungslinien, die hier nichts anderes als die Meridiankurven und Parallelkreise sind. Eine Haupttangentenkurve ist dadurch charakterisiert, daß ihre Tangenten die Fläche oskulieren, also Haupttangenten von ihr sind. Nun hatten wir gesehen, daß die Tangentialebenen in den Punkten einer beliebigen Kurve c, die wir auf einer Fläche ziehen können, eine abwickelbare Fläche umhüllen, deren Erzeugende zu den Tangenten von c konjugiert sind (789). Da aber die Tangenten einer Haupttangentenkurve zu sich selbst konjugiert sind, so umhüllen die Tangentialebenen in den Punkten einer solchen Kurve eine abwickelbare Fläche, deren Erzeugende die genannten Tangenten sind. Die Haupttangentenkurve ist also die Rückkehrkante dieser abwickelbaren Fläche, deren Tangentialebenen somit

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