berührenden Normalschnittes auf die Ebene des schiefen Schnittes gleich ist. Daraus folgt dann auch, daß in einem Punkte P die Krümmungskreise aller schiefen Schnitte, deren Ebenen durch die nämliche Tangente in P gehen, auf einer Kugel liegen. Ist aber c ein Normalschnitt durch P und k sein Krümmungskreis und legen wir durch k als größten Kreis eine Kugel, so berührt sie die Fläche in P und schneidet sie in einer Kurve s mit dem Doppelpunkte P, deren einer Kurvenast in P die gleiche Tangente t besitzt wie c und k. Jede Ebene durch t schneidet aber die Fläche und die Kugel in zwei sich oskulierenden Kurven (787), woraus unsere Behauptung folgt. 794. Bei einer Rotationsfläche ist in jedem Punkte die durch ihn verlaufende Meridiankurve der eine Hauptschnitt, was sich unmittelbar aus der Symmetrie der Fläche zu jeder Meridianebene ergiebt. Die zweite Hauptebene in dem betreffenden Punkte geht durch die Normale seiner Meridiankurve und steht auf der Meridianebene senkrecht, sie enthält also die Tangente seines Parallelkreises. Nach dem Satze von Meusnier liegt der Mittelpunkt des zu diesem Hauptschnitte gehörigen Krümmungskreises auf der Achse der Rotationsfläche. Denn seine Projektion auf die Ebene des Parallelkreises muß in dessen Mittelpunkt fallen. Bei den Regelflächen fällt eine der beiden Haupttangenten in jedem Punkte mit der bezüglichen Erzeugenden zusammen (720), die Lage der anderen bestimmt sich entweder direkt oder mit Hilfe zweier konjugierter Tangenten des bezüglichen Punktes, indem dieselben durch die beiden Haupttangenten harmonisch getrennt werden. 795. Zwei sich berührende Flächen schneiden sich in einer Kurve, die im Berührungspunkte einen Doppelpunkt besitzt und deren Doppelpunktstangente sich aus folgender Überlegung ergeben. Man bestimme zwei Flächen 2. Grades, von denen jede eine der beiden Flächen im Berührungspunkte oskuliert, und für welche die gemeinsame Normale eine gleiche gemeinsame Achse ist, während ihre anderen Achsen denjenigen der bezüglichen Indikatricen parallel laufen. Die beiden Flächen 2. Grades berühren sich in den beiden Endpunkten ihrer gemeinsamen Achse und schneiden sich deshalb in zwei Kegelschnitten, deren Ebenen durch die gemeinsame Flächennormale gehen und aus der Tangentialebene die gesuchten Doppelpunktstangenten ausschneiden; denn die beiden Kegelschnitte berühren die beiden Äste der Schnittkurve der gegebenen Flächen. Die gemeinsamen Durchmesser der beiden Kegelschnitte der Flächen 2. Grades, die in der zur gemeinsamen Tangentialebene parallelen Diametralebene liegen, sind zu den genannten Tangenten parallel. 796. Mit Hilfe der oskulierenden Flächen 2. Grades und mit Hilfe der konjugierten Tangenten können nun verschiedene Fragen ihre Erledigung finden. So ist klar, daß in jedem Punkte der Eigenschattengrenze einer Fläche ihre Tangente konjugiert ist zu dem Lichtstrahle durch ihn, mag die Lichtquelle im Endlichen liegen oder unendlich fern gedacht werden. Ferner ist klar, daß bei einer Fläche mit Randkurve in den Schnittpunkten dieser Randkurve mit der Lichtgrenze, der Lichtstrahl und die Tangente der Lichtgrenze harmonisch liegen zu den Tangenten der Randkurve und ihres Schlagschattens auf die Fläche (528). Denn die Lichtgrenze einer Fläche 2. Grades, welche die Fläche in dem bezüglichen Punkte oskuliert, liegt in der Polarebene des leuchtenden Punktes, und die beiden Flächenpunkte auf jedem Lichtstrahle werden durch den leuchtenden Punkt und die Ebene der Lichtgrenze harmonisch getrennt. Auf den hyperbolischen Flächenteilen liegen in jedem Punkte der Lichtgrenze die Tangente und der Lichtstrahl, und in jedem Punkte des wahren Umrisses die Tangente und der projizierende Strahl harmonisch zu den beiden Haupttangenten. Von den oskulierenden Flächen 2. Grades wurde im achten Kapitel bei den Rotationsflächen Gebrauch gemacht, um die Tangenten ihrer Lichtgrenzen und in deren Scheitelpunkten die Krümmungskreise zu bestimmen. Hier wollen wir noch Anwendungen auf die Haupttangenten und die Tangenten der Lichtgrenzen bei einigen Schraubenflächen machen. 797. Bei den Regelschraubenflächen ist in jedem Punkte die Involution der konjugierten Tangenten leicht anzugeben. Ist nämlich P ein Punkt der Fläche und T seine Tangentialebene, so ist der Tangente der durch P verlaufenden Schraubenlinie die Gerade konjugiert, in der sich T und die Tangentialebene in dem zu P benachbarten Punkte der Schraubenlinie schneiden. Diese Gerade ist aber nichts anderes als diejenige Flächentangente in P, die zu der zur Schraubenachse normalen Tangente in P senkrecht steht. Denn diese letztere Tangente ist die Spur der Ebene T in der zur Achse normalen Ebene durch P; deshalb ist die Schnittlinie von T mit der aus ihr durch Verschraubung entstandenen benachbarten Tangentialebene zu dieser Tangente senkrecht. Die Richtung der gesuchten Geraden ist nämlich parallel zu der Schnittlinie von T mit einer benachbarten Ebene, die aus ihr durch eine unendlich kleine Rotation um die Schraubenachse hervorgegangen ist. In jedem Punkte einer Schraubenfläche ist die Tangente der ihn enthaltenden Schraubenlinie konjugiert zu der Tangente der kleinsten Neigung gegen die Schraubenachse. Ist diese vertikal, so ist die genannte Tangente eine Falllinie der Tangentialebene. Bei den Regelschraubenflächen ist die Erzeugende durch P eine der beiden Haupttangenten; beide Haupttangenten liegen zu je zwei konjugierten Tangenten harmonisch (791), woraus sich die zweite bestimmt. Ist P ein Punkt der Lichtgrenze, so bilden deren Tangente und der Lichtstrahl durch P ein Paar konjugierter Tangenten der Fläche. Sie bilden also ein Strahlenpaar der Involution konjugierter Tangenten, von der nach Obigem ein Strahlenpaar und ein Doppelstrahl (die Erzeugende) bekannt sind; aus ihnen kann nach 365 nur mit Hilfe des Lineals die Tangente der Lichtgrenze als konjugierte Gerade zum Lichtstrahle gezeichnet werden. K 798. Die Tangenten der Lichtgrenze u einer offenen Regelschraubenfläche bei Parallelbeleuchtung. Die Lichtstrahlen mögen parallel sein und es soll im Anschluß an 602 die Konstruktion im Grundriß durchgeführt werden (Fig. 488). Die vertikale Schraubenachse a Ꮖ treffe TT, in S; von S aus trage man auf a die reduzierte Gang D Fig. 488. * auf, wobei h die Ganghöhe ist. Ferner sei e eine Erzeugende, & ihr Neigungswinkel gegen * П1, Е1 der erste Spurpunkt einer Parallelen zu e durch S (SE,S' = ε) und S der Schatten von S auf П1. Dann besitzt die zum Lichtstrahle parallele Ebene durch e eine zu ES parallele erste Spur, sie berührt die Fläche in einem Punkte P der Lichtgrenze, der nach 602 und 630 gefunden wird. Man drehe S'S und S'E um S' in dem Sinne der Verschraubung um 90° in die Lage S'L und S'E, dann geht LE durch P'. Nun sind nach dem obigen Satze die Gerade EL und die zu P'S' normale Gerade P'Q die Projektionen zweier konjugierter Tangenten von P, denn die erste Spur der Tangentialebene von P ist zu ES parallel und zu EL senkrecht. Die eine Haupttangente in P ist die Erzeugende e, * die Projektion h' der anderen trennt zusammen mit e die Strahlen P'L und P'Q harmonisch. Zieht man also eine Parallele zu e' und schneidet diese die Strahlen P'L und P'Q in R und Q, so geht h' durch den Mittelpunkt II von RQ. Auch der Strahl P'J (|| 7) und die Tangente ť von u werden als Projektionen konjugierter Tangenten von e' von P' harmonisch getrennt; ihre Schnittpunkte J und K mit QR sind mithin von H gleichweit entfernt und es ist: KQ = RJ. Die Konstruktion von t' erfordert also nur die Schnittpunkte von EL, P'Q (1 P'S') und P'J (') mit einer Parallelen zu e', dann ergiebt sich t'P'K aus KQ=RJ. Man kann nach 365 auch ohne Zirkel t finden, indem man auf P'J einen beliebigen Punkt D annimmt, die Linien DQ und DZ zieht und mit e' resp. in G und F schneidet, dann ist M= LG x FQ ein Punkt von ť; denn QD, QF, LD, LG sind die vier Seiten eines Vierseits. = Die Anderungen, welche die Konstruktion erfährt, wenn wir es mit einer offenen geraden, oder mit einer geschlossenen schiefen Regelschraubenfläche zu thun haben, sind leicht anzugeben. Bei der geschlossenen geraden Schraubenfläche bildet in jedem Punkte der Lichtgrenze die Erzeugende mit dem Lichtstrahle und der Tangente der Lichtgrenze gleiche Winkel. Gleiches gilt natürlich auch für die Projektionen dieser Geraden auf eine Normalebene zur Schraubenachse. Der Beweis für das Gesagte liegt darin, daß in jedem Punkte dieser Schraubenfläche die zweite Haupttangente die durch den Punkt verlaufende Schraubenlinie berührt, denn diese Gerade ist nach dem obigen Satze zu sich selbst konjugiert. Bei dieser Schraubenfläche sind also die Schraubenlinien Haupttangentenkurven, da ihre Tangenten für die Fläche Haupttangenten sind. 799. Die Lichtgrenze u einer offenen, schiefen Regelschraubenfläche und ihre Tangenten bei Centralbeleuchtung. Wir legen durch den leuchtenden Punkt Z eine Normalebene zur Schraubenachse a, die sie in A trifft, und führen die Konstruktion in dieser Ebene aus, die wir zur Horizontalebene wählen (Fig. 489). Sei e eine Erzeugende, E, ihr Spurpunkt und e' ihre Projektion, so zeichne man den Parameterkreis p mit dem Radius ho cotg &, wo h。 die reduzierte Ganghöhe und ɛ den Neigungswinkel der Erzeugenden mit der Horizontalebene bedeutet. Dann ist LE, die erste Spur der Lichtebene durch e und ihr Berührungspunkt P auf e ergiebt sich aus 602 und 630, indem man den Radius AE von p senkrecht zu e zieht und das von E auf LE, gefällte Lot mit e' in P' schneidet. Welcher der beiden Endpunkte des zu e senkrechten Durchmessers von p als Punkt E zu nehmen ist, hängt von dem Sinne der aufwärtsgehenden Schraubenbewegung 800. Ist die gleiche Aufgabe bei der offenen geraden Schraubenfläche zu lösen, so ist die voranstehende Konstruktion unbrauchbar und wir ersetzen sie durch die folgende. L, A, a und e sollen die frühere Bedeutung und die Horizontalebene die frühere Lage haben (Fig. 490). Sei ferner k die Kehlschraubenlinie, S ihr erster Spurpunkt und B ein beliebiger Punkt auf ihr; sei endlich v die von S ausgehende Evolvente des Kreises k', sie trägt die Spurpunkte aller Tangenten der Kehlschraubenlinie. Die Tangente é im Punkte B' von k' schneidet v in J, SO daß BJ eine Tangente von k ist. Die Erzeugende e ist horizontal, die Lichtebene durch sie besitzt also eine zu e' parallele Spur LG durch L, und wir wollen annehmen, daß sie die Schraubenfläche im Punkte P von e berühre. Dann muß die durch P verlaufende Schraubenlinie 9 in |