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lichen Hyperbeln sind unter sich und zu den Haupttangenten im Punkte P der Fläche dd (oder zu den durch P gehenden Erzeugenden von WI) parallel. Jedes Paar konjugierter Tangenten wird von den beiden Haupttangenten harmonisch getrennt. Die Krümmungsradien für die Normalschnitte durch P ergeben sich nun in folgender Weise. Ist q der Kegelschnitt mit den Halbachsen MA und MB und wird er von der Ebene eines Normalschnittes c im Punkte C getroffen, so ist nach 409 im Punkte P von c der Krümmungsradius r = (MC)“: MP. Die beiden Normalschnitte a und b, deren Ebenen durch MA resp. MB gehen, haben die Krümmungsradien: r =(MA)“: MP, resp. – r,=(MB)“: MP. Dabei ist das positive oder negative Zeichen zu nehmen, je nachdem r, und r, die gleiche oder entgegengesetzte Richtung besitzen, d. h. je nachdem die Fläche in Pelliptische oder hyperbolische Krümmung aufweist. Die Gleichung von q ist (414):

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wenn p = z. CMA ist; demnach ergiebt sich durch Einsetzen unter Beachtung der Relation (MA)“: (MB)“:(MC)“ = r,: + r.,: r die Gleichung: + cos“ + 1 sin“ p = 1 r "2 pr

Diese Formel rührt von Euler her und gestattet aus r, r“, und p jeden anderen Krümmungsradius zu konstruieren.

Die Größen r, und r, heißen die Hauptkrümmungsradien von P, die zugehörigen Normalschnitte heißen die Hauptschnitte; ihre Ebenen sind zu einander senkrecht. Je zwei Normalschnitte, die zu einem Hauptschnitt symmetrisch liegen, besitzen gleiche Krümmungsradien. Nach der Euler'schen Formel ergiebt sich für sie die folgende Konstruktion (Fig. 487). Man trage auf die Normale in die Strecken PR, =r, und PR, =r, auf, errichte in R, und R, die Senkrechten auf in und schneide sie mit zwei Strahlen aus P, die mit PR, und PR, dieselben Winkel bilden, wie der Normalschnitt mit den bezüglichen

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Fig. 487.

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Hauptschnitten. Die Verbindungslinie dieser Schnittpunkte S, und S, trifft die Normale im Endpunkte R des gesuchten Krümmungsradius r (z. S„PR, = q, z. S„PS = R). Offenbar ist: RR : RR, = S„R, : S„R,, oder: (r, – r): (r– r.)=r, tgq: r., cotgqp, oder: (r, r)r, cos“ p=(r – r.)r, sin“ q, woraus wieder die Euler'sche Formel folgt. Die Figur giebt die Konstruktion für einen elliptisch und einen hyperbolisch gekrümmten Punkt. 792. Wir haben hier zunächst nur die elliptisch und hyperbolisch gekrümmten Teile einer Fläche in Betracht gezogen und wenden uns jetzt den Punkten mit parabolischer Krümmung zu. Diese liegen auf einer Kurve, welche die Gebiete einer Fläche mit elliptischer und die mit hyperbolischer Krümmung voneinander trennt. In einem parabolischen Punkte einer Fläche fallen die beiden Haupttangenten in eine einzige zusammen, durch sie geht der eine Hauptschnitt, sein Krümmungsradius ist unendlich groß; die Ebene des zweiten Hauptschnittes steht natürlich auf der des ersten senkrecht. Unter den Flächen 2. Grades besitzen nur die Cylinder- und Kegelflächen parabolische Punkte, bei diesen ist allerdings die Krümmung in jedem Punkte parabolisch. Als oskulierende Fläche 2. Grades in einem parabolischen Punkte einer beliebigen Fläche können wir den geraden Kreiscylinder wählen, der den Krümmungskreis des einen Hauptschnittes enthält. Er bildet den Übergang zwischen dem oskulierenden Ellipsoid in einem elliptischen Punkte und dem oskulierenden Hyperboloid in einem hyperbolischen Punkte. Wird nämlich die imaginäre Achse dieses Hyperboloides, oder die eine Achse jenes Ellipsoides unendlich groß, so gehen diese Flächen in den Cylinder über. In einem parabolischen Punkte besteht die Indikatrix aus zwei parallelen Geraden, d. h. eine zu seiner Tangentialebene unendlich nahe Ebene schneidet die Fläche in einer Kurve, deren dem parabolischen Punkte benachbarter Teil sich mit zwei unendlich nahen Geraden deckt. Zu jeder Tangente in einem parabolischen Punkte ist immer dieselbe Gerade, nämlich seine Haupttangente, konjugiert. Die Konstruktion der Krümmungsradien der Normalschnitte geschieht wie vorher, nur wird hier R, und somit auch S, unendlich fern, so daß S„RL S„P wird. - 793. Zur Bestimmung der Krümmungskreise der durch einen Flächenpunkt P gelegten schiefen Schnitte dient der Satz von Meusnier, wonach der Krümmungsradius eines schiefen Schnittes der Projektion des Krümmungsradius des ihn berührenden Normalschnittes auf die Ebene des schiefen Schnittes gleich ist. Daraus folgt dann auch, daß in einem Punkte P die Krümmungskreise aller schiefen Schnitte, deren Ebenen durch die nämliche Tangente in P gehen, auf einer Kugel liegen. Ist aber c ein Normalschnitt durch Po und k sein Krümmungskreis und legen wir durch k als größten Kreis eine Kugel, so berührt sie die Fläche in Po und schneidet sie in einer Kurve s mit dem Doppelpunkte P, deren einer Kurvenast in P die gleiche Tangente t besitzt wie c und k. Jede Ebene durch t schneidet aber die Fläche und die Kugel in zwei sich oskulierenden Kurven (787), woraus unsere Behauptung folgt. 794. Bei einer Rotationsfläche ist in jedem Punkte die durch ihn verlaufende Meridiankurve der eine Hauptschnitt, was sich unmittelbar aus der Symmetrie der Fläche zu jeder Meridianebene ergiebt. Die zweite Hauptebene in dem betreffenden Punkte geht durch die Normale seiner Meridiankurve und steht auf der Meridianebene senkrecht, sie enthält also die Tangente seines Parallelkreises. Nach dem Satze von Meusnier liegt der Mittelpunkt des zu diesem Hauptschnitte gehörigen Krümmungskreises auf der Achse der Rotationsfläche. Denn seine Projektion auf die Ebene des Parallelkreises muß in dessen Mittelpunkt fallen. Bei den Regelflächen fällt eine der beiden Haupttangenten in jedem Punkte mit der bezüglichen Erzeugenden zusammen (720), die Lage der anderen bestimmt sich entweder direkt oder mit Hilfe zweier konjugierter Tangenten des bezüglichen Punktes, indem dieselben durch die beiden Haupttangenten harmonisch getrennt werden. 795. Zwei sich berührende Flächen schneiden sich in einer Kurve, die im Berührungspunkte einen Doppelpunkt besitzt und deren Doppelpunktstangente sich aus folgender Überlegung ergeben. Man bestimme zwei Flächen 2. Grades, von denen jede eine der beiden Flächen im Berührungspunkte oskuliert, und für welche die gemeinsame Normale eine gleiche gemeinsame Achse ist, während ihre anderen Achsen denjenigen der bezüglichen Indikatricen parallel laufen. Die beiden Flächen 2. Grades berühren sich in den beiden Endpunkten ihrer gemeinsamen Achse und schneiden sich deshalb in zwei Kegelschnitten, deren Ebenen durch die gemeinsame Flächennormale gehen und aus der Tangentialebene die gesuchten Doppelpunktstangenten ausschneiden; denn die beiden Kegelschnitte berühren die beiden Äste der Schnittkurve der gegebenen Flächen. Die gemeinsamen Durchmesser der beiden Kegelschnitte der Flächen 2. Grades, die in der zur gemeinsamen Tangentialebene parallelen Diametralebene liegen, sind zu den genannten Tangenten parallel. 796. Mit Hilfe der oskulierenden Flächen 2. Grades und mit Hilfe der konjugierten Tangenten können nun verschiedene Fragen ihre Erledigung finden. So ist klar, daß in jedem Punkte der Eigenschattengrenze einer Fläche ihre Tangente konjugiert ist zu dem Lichtstrahle durch ihn, mag die Lichtquelle im Endlichen liegen oder unendlich fern gedacht werden. Ferner ist klar, daß bei einer Fläche mit Randkurve in den Schnittpunkten dieser Randkurve mit der Lichtgrenze, der Lichtstrahl und die Tangente der Lichtgrenze harmonisch liegen zu den Tangenten der Randkurve und ihres Schlagschattens auf die Fläche (528). Denn die Lichtgrenze einer Fläche 2. Grades, welche die Fläche in dem bezüglichen Punkte oskuliert, liegt in der Polarebene des leuchtenden Punktes, und die beiden Flächenpunkte auf jedem Lichtstrahle werden durch den leuchtenden Punkt und die Ebene der Lichtgrenze harmonisch getrennt. Auf den hyperbolischen Flächenteilen liegen in jedem Punkte der Lichtgrenze die Tangente und der Lichtstrahl, und in jedem Punkte des wahren Umrisses die Tangente und der projizierende Strahl harmonisch zu den beiden Haupttangenten. Von den oskulierenden Flächen 2. Grades wurde im achten Kapitel bei den Rotationsflächen Gebrauch gemacht, um die Tangenten ihrer Lichtgrenzen und in deren Scheitelpunkten die Krümmungskreise zu bestimmen. Hier wollen wir noch Anwendungen auf die Haupttangenten und die Tangenten der Lichtgrenzen bei einigen Schraubenflächen machen.

797. Bei den Regelschraubenflächen ist in jedem Punkte die Involution der konjugierten Tangenten leicht anzugeben. Ist nämlich P ein Punkt der Fläche und T seine Tangentialebene, so ist der Tangente der durch Po verlaufenden Schraubenlinie die Gerade konjugiert, in der sich T und die Tangentialebene in dem zu P benachbarten Punkte der Schraubenlinie schneiden. Diese Gerade ist aber nichts anderes als diejenige Flächentangente in Po, die zu der zur Schraubenachse normalen Tangente in P senkrecht steht. Denn diese letztere Tangente ist die Spur der Ebene T in der zur Achse normalen Ebene durch P; deshalb ist die Schnittlinie von T mit der aus ihr durch Verschraubung entstandenen benachbarten Tangentialebene zu dieser Tangente senkrecht. Die Richtung der gesuchten Geraden ist nämlich parallel zu der Schnittlinie von T mit einer benachbarten Ebene, die aus ihr durch eine unendlich kleine Rotation um die Schraubenachse hervorgegangen ist. In jedem Punkte einer Schraubenfläche ist die Tangente der ihn enthaltenden Schraubenlinie konjugiert zu der Tangente der kleinsten Neigung gegen die Schrauben achse. Ist diese vertikal, so ist die genannte Tangente eine Falllinie der Tangentialebene. Bei den Regelschraubenflächen ist die Erzeugende durch P eine der beiden Haupttangenten; beide Haupttangenten liegen zu je zwei konjugierten Tangenten harmonisch (791), woraus sich die zweite bestimmt. Ist Po ein Punkt der Lichtgrenze, so bilden deren Tangente und der Lichtstrahl durch P ein Paar konjugierter Tangenten der Fläche. Sie bilden also ein Strahlenpaar der Involution konjugierter Tangenten, von der nach Obigem ein Strahlenpaar und ein Doppelstrahl (die Erzeugende) bekannt sind; aus ihnen kann nach 365 nur mit Hilfe des Lineals die Tangente der Lichtgrenze als konjugierte Gerade zum Lichtstrahle gezeichnet werden. 798. Die Tangenten der Lichtgrenze u einer offenen Regelschraubenfläche bei Parallelbeleuchtung. Die Lichtstrahlen mögen parallel sein und es soll im Anschluß an 602 die Konstruktion im Grundriß durchgeführt werden (Fig. 488). Die vertikale Schraubenachse a – treffe TT, in S; von S aus trage man auf a die reduzierte Ganghöhe S’S =h,=h: 2 x auf, wobei h die Ganghöhe ist. Ferner sei e eine Erzeugende, 8 ihr Neigungswinkel gegen TI, E, der erste Spurpunkt einer Parallelen zu e durch S (z. SES“ = 8) und S., der Schatten von S auf TT. Dann besitzt die zum Lichtstrahle parallele Ebene durch e eine zu E„S, parallele erste Spur, sie berührt die Fläche in einem Punkte Po der Lichtgrenze, der nach 602 und 630 gefunden wird. Man drehe SS, und S'E, um S“ in dem Sinne der Verschraubung um 90° in die Lage S“L und S“E, dann geht LE durch Po". Nun sind nach dem obigen Satze die Gerade EL und die zu PS“ normale Gerade PQ die Projektionen zweier konjugierter Tangenten von Po, denn die erste Spur der Tangentialebene von Po ist zu E„S, parallel und zu EL senkrecht. Die eine Haupttangente in Po ist die Erzeugende e,

Fig. 488.

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