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endlich klein sind. Hat nun s in Po einen wirklichen Doppelpunkt, so schneiden sich c, und c, in zwei Punkten Q und R von s und es ist QR von der 1. Ord. unendlich klein. Da die Abstände dieser Punkte von T und also auch ihre Differenz unendlich klein von der 2. Ord. sind, so ist der Neigungswinkel von QR gegen m unendlich klein 1. Ord. Die zu QR parallelen Tangenten an c, und c, berühren dieselben in zwei Punkten C und C, deren Abstände vom Mittelpunkte der Strecke QR und also auch voneinander unendlich klein von der 2. Ord. sind. Da zu den Kurvenbogen C, B und C, B, gleiche Kontingenzwinkel gehören, so verhalten sich diese Bogen wie die zugehörigen Krümmungsradien: CB, : C„B, = 0, : 0, (442).

Fig. 483.

Nun haben o, und g, verschiedene Werte, denn c, und c, haben nur die beiden Nachbarpunkte Q und R gemein, deshalb ist B„B, von der 1. Ord. unendlich klein, nämlich ebenso wie C, B und C. B. Daraus folgt aber, daß PB, und PB, oder die Kurven b, und b, in P einen endlichen Winkel einschließen. Besitzt s in Po einen isolierten Doppelpunkt, so giebt es für die Kurven c, und c, keine gemeinsame reelle Sehne QR mehr, jedoch bleibt ihre Richtung reell und giebt es nach wie vor zwei zu ihr parallele Tangenten, deren Berührungspunkte C und C+, einen unendlich kleinen Abstand 2. Ord. aufweisen, so daß der Beweis im übrigen der frühere bleibt (Fig. 483b). 787. Berühren sich zwei Flächen d, und O, in einem Punkte Po und besitzt ihre Schnittkurve s in Po einen dreifachen Punkt (von dessen drei Ästen auch zwei konjugiert imaginär sein können), so sagt man, daß sich die Flächen daselbst oskulieren; jede Ebene durch Poschneidet die beiden Flächen in Kurven, die sich in P oskulieren. In der That müssen diese Kurven drei benachbarte Punkte gemein haben, wie man sofort einsieht, wenn man die sie enthaltende Ebene etwas verschiebt. Man erkennt das auch direkt an der gegenseitigen Lage der Flächen in der Umgebung von P. Die Flächen durchsetzen sich in den Ästen von s, so daß in den von s gebildeten sechs (oder zwei) Winkeln abwechselnd die eine und die andere oben liegt, während die zweite verdeckt wird. In Fig. 484 a und b ist die eine Fläche durch Schraffierung kenntlich gemacht; es sind die beiden Fälle mit drei, resp. einem reellen Aste von s gezeichnet. Einem schraffierten Felde liegt im Scheitelwinkel ein unschraffiertes

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Fig. 484.

gegenüber, d. h. in jeder Ebene durch Po berühren sich die Schnittkurven und durchsetzen sich im Berührungspunkte, was einer Oskulation der Kurven entspricht. Berühren sich zwei Flächen d, und O, in einem Punkte Po und giebt es durch diesen drei Ebenen, welche sie in je zwei sich oskulierenden Kurven schneiden, so ist P ein Oskulationspunkt der Flächen, d. h. ihre Schnittkurve s hat in Po einen dreifachen Punkt. Dabei ist vorausgesetzt, daß die genannten Ebenen die Tangentialebene von Po in drei getrennten Geraden schneiden. In einem gewöhnlichen Berührungspunkte P schneiden die durch ihn gelegten Ebenen die Flächen im allgemeinen in je zwei sich berührenden Kurven, die sich nicht durchsetzen; ein Durchsetzen der Kurven tritt nur für die Ebenen ein, welche in P einen der beiden Äste der Schnittkurve s berühren (Fig. 484c). Demnach kann unter der obigen Annahme P kein gewöhnlicher Berührungspunkt sein. 788. Aus unseren Darlegungen geht hervor, daß man noch dreifach unendlich viele Flächen 2. Grades konstruieren kann, die eine gegebene Fläche CD in einem gegebenen Punkte P oskulieren. Man wähle nämlich drei Punkte X, X, X, ganz beliebig aus und schneide die Ebenen XXP, X, XP, X, XP mit d in den Kurven c, c, c, respektive. Dann giebt es drei Kegelschnitte kl, k, k“, die bezüglich c, c, c, in P oskulieren und durch X, Ä% resp. X, X, resp. X, X, gehen; sie liegen auf einer Fläche 2. Grades und diese oskuliert cd in P.

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Oskulieren sich zwei Flächen d, und d, in einem Punkte Po und legt man aus einem beliebigen Punkte L ihrer gemeinsamen Tangentialebene T die beiden Tangentialkegel an sie, so haben deren Berührungskurven b, und b, in P die nämliche Tangente. Stellen wir hier ganz die gleiche Betrachtung wie in Nr. 786 an und beachten, daß jetzt die Kurven c, und c, in C und C+, gleiche Krümmungsradien besitzen, so folgt aus C, B, = C„B, daß B, B, von der 2. Ord. unendlich klein wird, daß also PB, und PB, einen unendlich kleinen Winkel einschließen, d. h. daß sich b, und b, in Po berühren.

789. Nach 645 sind die Tangenten in einem Punkte einer Fläche 2. Grades einander paarweise zugeordnet, derart, daß jede von ihnen die Achse eines Büschels von Ebenen ist, deren Pole auf der anderen liegen. Diesem Satze kann man auch die folgende Form geben. In jedem Punkte einer Fläche 2. Grades sind die Tangenten einander paarweise so zugeordnet, daß jede Tangente eines Paares von den Berührungskurven aller Tangentialkegel berührt wird, deren Scheitel auf der anderen liegen; die Tangentenpaare bilden eine Involution. Mit Rücksicht auf die beiden voranstehenden Sätze läßt sich dieses Resultat auf alle Flächen ausdehnen und folgendermaßen aussprechen. Bei jeder Fläche ordnen sich die Tangenten in einem beliebigen Punkte in Paare einer In volution an; jede Gerade eines Paares tangiert die Berührungskurven aller Tangentialkegel, deren Scheitel auf der anderen liegen. Je zwei derartige Tangenten heißen konjugiert.

Nach dem soeben Gesagten schneiden sich zwei benachbarte Tangentialebenen einer Fläche in einer Tangente, die zur Verbindungslinie ihrer Berührungspunkte kongugiert ist. Zieht man also auf einer Fläche eine beliebige Kurve und legt in jedem ihrer Punkte die zugehörige Tangentialebene an die Fläche, so umhüllen dieselben eine abwickelbare Fläche, deren Erzeugende zu den Tangenten jener Kurve konjugiert sind.

790. In einem Punkte Po einer Fläche bilden die konjugierten Tangenten die Strahlenpaare einer Involution, und es giebt in der zugehörigen Tangentialebene ein System ähnlicher und ähnlich liegender koncentrischer Kegelschnitte, für welche diese konjugierten Tangenten die konjugierten Durchmesser bilden (692). Durch irgend einen Kegelschnitt dieses Systems ist die Involution der konjugierten Tangenten, welche die Fläche in seinem Mittelpunkte Po berühren, bestimmt; ein solcher Kegelschnitt heißt Indikatrix" des Punktes P, seine konjugierten Durchmesser sind zugleich konjugierte Tangenten der Fläche.

Bei einer Fläche 2. Grades sind die Paare konjugierter Tangenten in einem beliebigen Punkte Po parallel zu den Paaren konjugierter Durchmesser eines jeden zur Tangentialebene von Po parallelen Schnittes. Denn die Parallelschnitte einer Fläche 2. Grades sind ähnlich und ähnlich gelegen. Verschiebt man eine solche Schnittkurve parallel zu sich selbst in der Richtung des durch P gehenden Durchmessers, bis sie in die Tangentialebene von Po gelangt, so wird sie eine Indikatrix des Punktes P. Die konjugierten Tangenten in einem Punkte Po einer Fläche CD können hiernach mit Hilfe einer Fläche 2. Grades VP, die jene in P oskuliert, bestimmt werden; sie sind nämlich paarweise parallel zu den konjugierten Durchmessern des zur Tangentialebene in Po parallelen Diametralschnittes von V".

Wir schneiden nun die Flächen d und Wl mit einer Ebene, die zur Tangentialebene von Po parallel und von ihr nur unendlich wenig entfernt ist, die bezüglichen Schnittkurven seien i, und i. Von diesen Kurven fassen wir nur ihre in der Nachbarschaft von P liegenden Teile ins Auge und nehmen an, daß die Abstände der auf ihnen liegenden Punkte von Po unendlich klein von der 1. Ord. seien. Dann ist das von Po auf die Schnittebene gefällte Lot PP" unendlich klein von der 2. Ord. Die Strahlen durch Po" treffen aber nach Früherem die Kurven i, und i in Punkten mit parallelen Tangenten, d. h. i, und i sind ähnlich und ähnlich gelegen in Bezug auf P” als Ahnlichkeitscentrum. Da aber i, und i mindestens zwei reelle Punkte gemein haben (die auf der Schnittkurve s von CD und Wo liegen), so sind sie identisch, oder vielmehr sie unterscheiden sich in ihren, in der Nachbarschaft von Po liegenden Teilen nur um unendlich kleine Größen höherer Ordnung. Legt man zur Ebene, die die Fläche CD in einem Punkte Po berührt, eine parallele unendlich nahe Ebene, so schneidet sie die Fläche in einer Kurve, deren in der Nachbarschaft von Poliegender Teil hinsichtlich seiner Punkte und Tangenten sich mit einem Kegelschnitte deckt; er wird die Indikatrix von db in Po genannt, seine Achsen sind unendlich klein und sein

Der Begriff der Indikatrix wurde von Dupin eingeführt in seinen: Développements de géométrie, Paris 1813.

Mittelpunkt liegt in Po. Diese Kurve ist es, die von Dupin als Indikatrix eingeführt wurde; da man sie nicht darstellen kann, hat man sie durch einen ähnlichen Kegelschnitt mit endlichen Achsen ersetzt, wie das oben geschehen ist, und auch diesem den Namen Indikatrix gegeben. 791. Die Indikatrix spielt eine besondere Rolle bei der Untersuchung und Konstruktion der Krümmungsradien aller ebenen Schnitte der Fläche CD in einem ihrer Punkte P. Nach dem Vorausgehenden ist es klar, daß man an Stelle der Fläche CD eine sie in P oskulierende Fläche 2. Grades VW zu Grunde legen kann. Denn zu jeder Ebene durch P giebt es einen Krümmungsradius, der den beiden in ihr liegenden Schnittkurven von CD und VP im Punkte P zugehört. Als oskulierende Fläche V" benutzt man eine Fläche 2. Grades, deren eine Achse in die Normale des Punktes P Fig. 485. fällt, während die beiden anderen zu den Achsen der Indikatrix parallel laufen. Sei M der Mittelpunkt und MP die in der Normalen liegende Halbachse von VW und seien MA und MB ihre beiden anderen Halbachsen. Ist P ein Punkt von elliptischer Krümmung (470), so ist die Indikatrix eine Ellipse; MA und MB sind die Halbachsen einer zur Indikatrix ähnlichen Ellipse und die Fläche V" ist ein Ellipsoid (Fig. 485 in schiefer Projektion). Ist Pein Punkt von hyperbolischer Krümmung, so stellen MA und MB die reelle und die imaginäre Halbachse einer Hyperbel dar und die Fläche. Wo ist ein einschaliges Hyperboloid. Man erhält Fig. 486. zwei verschiedene Hyperbeln, je nachdem MA oder MB die reelle Halbachse ist (693); sie sind zu den beiden Indikatricen ähnlich, deren Ebenen zu beiden Seiten der Tangentialebene in einem unendlich kleinen Abstande von ihr liegen. Dementsprechend liegt auch M auf der einen oder anderen Seite der Tangentialebene (Fig. 486). Die Asymptoten der beiden end

ROHN u. PAPPERITZ. II. 22

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