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die Einbuchtung ist; die Berührungspunkte fallen für die Grenzkurve, bei der die Einbuchtung gerade verschwindet, zusammen. Die Falllinie, die von diesem Flachpunkte F ausgeht, ist hier der Thalweg (siehe Figur). Ganz ähnliche Betrachtungen lassen sich für die Kammlinie des Bergrückens zwischen zwei ineinander einmündenden Thälern anstellen. Auch hier giebt es eine Horizontallinie mit Flachpunkt, der den tiefsten Punkt des Rückens darstellt, und von dem die Kammlinie (eine Falllinie) aufsteigt (in der Figur ist eine solche von einem Flachpunkte F aufsteigende Kammlinie eingezeichnet). Die hier erwähnte Kammlinie, sowie der Thalweg sind in der Figur bis zum Gipfel G fortgesetzt und ebenso auch noch nach unten über F hinaus. In der Figur sind die Punkte F" auf den verzeichneten Horizontallinien angenommen, im allgemeinen werden sie zwischen zwei derartigen Kurven liegen; Gleiches gilt auch für die Jochpunkte. 783. Um das Verhalten der Falllinien in einem Gipfelpunkt G (oder Muldenpunkt) zu untersuchen, müssen wir die Horizontallinie, die dem Punkt G unendlich nahe liegt, in Betracht ziehen. Diese ist, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, eine unendlich kleine Ellipse und heißt die Indikatrix des Punktes G, die Projektion von G auf ihre Ebene ist ihr Mittelpunkt; auch auf der Indikatrix müssen die Falllinien senkrecht stehen. Wir bestimmen nun ein Ellipsoid, dessen eine Achse die Vertikale durch G ist, und dessen andere Achsen zu den Achsen der Indikatrix parallel laufen, also horizontal sind; zugleich soll G. ein Endpunkt seiner vertikalen Achse sein und ihre horizontalen Achsen sollen sich verhalten wie die dazu parallelen Achsen der Indikatrix. Alle Horizontalschnitte des Ellipsoides sind dann ähnliche und ähnlich liegende Ellipsen, die auch zu jener Indikatrix ähnlich sind; ihre ersten Projektionen haben den nämlichen Mittelpunkt. Das Ellipsoid besitzt in der zu G unendlich nahen Ebene eine Indikatrix, die zu jener Indikatrix ähnlich ist und bei geeigneter Länge der horizontalen Achsen des Ellipsoides mit ihr zusammenfällt. Wir untersuchen nun die Falllinien des Ellipsoides; ihr Verhalten im höchsten Punkte G, einem Endpunkte seiner vertikalen Achse, muß das gleiche sein, wie das der Falllinien einer topographischen Fläche in einem Gipfelpunkt. In Fig. 480 stellen die koncentrischen ähnlichen Ellipsen mit dem Mittelpunkt G" die ersten Projektionen der Horizontalschnitte des Ellipsoides dar; die Projektionen seiner Falllinien müssen alle diese Ellipsen rechtwinklig durchschneiden und sind hierdurch definiert. Die Projektionen der Falllinien des Ellipsoides sind ähnliche und ähnlich liegende Kurven mit G" als Ahnlichkeitscentrum, sie berühren sich also in G" und ihre gemeinsame Tangente ist die große Achse der Ellipsen. In der That, geht bei einer ähnlichen Veränderung (Vergrößerung oder Verkleinerung) jede der unendlich vielen ähnlichen Ellipsen in eine andere Ellipse dieses Systems über, und jede Kurve, die die Ellipsen rechtwinklig durchschneidet, geht in eine gleich- Z" – artige Kurve über; damit ist aber der erste Teil des Satzes bewiesen. Diese letzteren Kurven müssen alle durch G' laufen und sich daselbst be- Fig. 480. rühren, da Go“ das Ahnlichkeitscentrum ist. Ist f” eine solche Kurve und schneidet sie die Ellipse h' in Po, so liegt das Kurvenstück GP“ in dem spitzen Winkel Z - PG'A', wo A“ einen Endpunkt der großen Achse von h' bedeutet, wie das unmittelbar ersichtlich ist. Die Tangente von f“ in G" kann aber mit G'A' keinen endlichen spitzen Winkel einschließen, denn sonst könnte sie nicht zugleich Tangente der in diesem letzteren Winkel liegenden Falllinien sein. Somit berührt f” die Achse G'A'. Außer den Falllinien, deren Projektionen die große Achse der Ellipsen berühren, tritt noch eine weitere auf, deren Projektion auf ihre kleine Achse fällt. Für das System der Kurven f” gilt der Satz: Die Achsen der Ellipsen schneiden auf den Tangenten einer jeden Kurve f' Stücke ab, die sich umgekehrt verhalten wie die Quadrate der bezüglichen Achsen von irgend einer Ellipse des Systems. Die Tangenten der Kurven f' sind die Normalen der Ellipsen und für diese folgt der Satz aus der Affinität von Kreis und Ellipse. Ist nämlich G/P% = G/A“ und PP, LG"A“, so schneidet die zu G'A“ parallele Gerade PP, den Strahl GP, in einem Punkte P%, für den GP = G/C“ (der kleinen Halbachse von h) ist, und die Normale PP, von h' schneidet diesen Strahl in einem Punkte P, für den GP, der Summe der Halbachsen von h' gleich ist (415). Dann ist: PP, : PN = PP, : P„G“ und PP : PM = PP, : PG“, daraus folgt durch Division: PM: PN –(GC)“: (6/4). Stehen die Achsen der Ellipsen speziell im Verhältnis von J/2:1, so verhalten sich die genannten Stücke auf den Tangenten einer jeden Kurve f” wie 1 : 2, d. h. die Kurven f” sind Parabeln mit A"B“ als Scheiteltangente. Denn die Scheiteltangente einer Parabel halbiert das von der Achse und dem Berührungspunkte begrenzte Stück einer jeden Parabeltangente. Es läßt sich für den allgemeinen Fall auch leicht zeigen, daß sich in dem Schnittpunkte einer Kurve h' mit einer Kurve f” die Krümmungsradien dieser Kurven umgekehrt verhalten, wie die Abstände ihrer Tangenten vom Punkte G". 784. Das Verhalten der Falllinien in der Umgebung eines Jochpunktes J der topographischen Fläche ist dem der Falllinien eines einschaligen Hyperboloides mit vertikaler reeller Achse in der Umgebung eines ihrer Endpunkte ähnlich. In Fig. 481 ist J dieser Endpunkt, p und q W sind die horizontalen Erzeugenden durch --- ihn, h und h, sind y Horizontallinien und zwar mag h tiefer

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Ä; - und 4, höher als 7 ZSC-, / liegen. Durch J. - z gehen nur zwei Fall

linien, nämlich die Kammlinie k und Z, der Thalweg t, es sind die Hauptschnitte (Hyperbel und Ellipse) durch Fig. 481. die vertikale Achse. Die Projektionen der anderen Falllinien nähern sich k“ und t“ asymptotisch und schneiden p" resp. q/ rechtwinklig. Auch hier gilt der Satz: Die Achsen der Hyperbeln schneiden auf den Tangenten einer jeden Kurve f” Stücke ab, die sich umgekehrt verhalten wie die Quadrate der bezüglichen Achsen von irgend einer Hyperbel des Systems. Da die eine Achse imaginäre Endpunkte besitzt, so ist ihre Länge imaginär und das Quadrat negativ, deshalb liegen hier die genannten Stücke auf verschiedenen Seiten des Berührungspunktes. 785. Es sollen kurz die wichtigsten Aufgaben über die topographische Fläche besprochen werden. Um die Schnittkurve einer Ebene mit der Fläche zu finden, hat man die Horizontalebenen der Niveaulinien mit der gegebenen Ebene zu schneiden, die so gewonnenen Hauptlinien dieser Ebene treffen die bez. Niveaulinien in Punkten der gesuchten Kurve. Ist die Schnittebene vertikal, so lege man sie um. Die Bestimmung der Tangentialebene in einem Punkte der Fläche erfordert die Kenntnis zweier Tangenten in ihm, etwa die Tangenten an die durch ihn laufende Niveaulinie und an einen durch ihn gehenden Vertikalschnitt. Ist auf der Fläche von einem Punkte Po aus eine Linie w von gegebenem, konstantem Gefälle zu legen, so müssen die Horizontallinien die Kurve w, in lauter gleiche Teile teilen und Gleiches gilt für die Projektionen auf die Grundebene. Das Gefälle mißt man durch tanga, wenn an der Winkel aller Tangenten von w gegen die Horizontalebene ist. Bedeutet a den Vertikalabstand der Ebenen

von je zwei aufeinander- Fig. 482. folgenden Niveaulinien und sind P, P., P., P., . . . die Schnittpunkte von w mit den aufeinanderfolgenden Niveaulinien, so ist PP" = PP" = PP" = ... =a:tanga.

Hiernach kann man unmittelbar konstruieren (Fig. 482). Natürlich handelt es sich hier nur um eine näherungsweise Lösung des Problems. Um zwei Punkte Po und Q der Fläche durch eine Linie w, von konstantem Gefälle zu verbinden, bestimme man zunächst näherungsweise die Größe des Gefälles. Ist die Differenz der Koten von Po und Q gleich n . a, so teile man PQ in ngleiche Teile, dann wird die gesuchte Kurve zwischen Po und Q" durch die Projektionen der Niveaulinien in ngleiche Teile geteilt, die etwas größer sind als "Pog. Durch Probieren zeichnet man nun zwei Linien von konstantem Gefälle durch P, von denen die eine die Horizontallinie durch Q vor diesem Punkte, die andere sie aber

hinter ihm trifft; zwischen beiden liegt dann die gesuchte Linie w, die man daraus annäherungsweise zeichnen kann (Fig. 482).

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D) REIZEHNT ES KAPITEL.

Die Krümmung der Flächen.

786. Zwei Flächen, die einen gemeinsamen Punkt P, aber verschiedene Tangentialebenen in ihm besitzen, schneiden sich in einer Kurve s durch P, deren zugehörige Tangente t jenen Tangentialebenen angehört. Wir lassen eine der beiden Flächen sich um t drehen, bis ihre Tangentialebenen in Po zusammenfallen, dann erhält die Schnittkurve s in P einen wirklichen oder isolierten Doppelpunkt. Denn die zu t normale Ebene durch P schneidet die Flächen in ihrer ursprünglichen Lage in zwei durch P laufenden Kurven; eine derselben nimmt an der genannten Drehung teil, bis sie die andere in Po berührt, d. h. bis einer ihrer weiteren gemeinsamen Punkte nach Po hereingerückt ist. Da t auch während der Drehung Tangente der Schnittkurve s bleibt, so entsteht bei der Berührung der Flächen in Po entweder ein isolierter Doppelpunkt, indem sich ein kleines Oval zu einem Punkte zusammenzieht, oder ein wirklicher Doppelpunkt, indem zwei getrennte Kurvenzweige übergehen in zwei sich im Doppelpunkte durchsetzende Zweige (vergl. 472).

Besitzen zwei Flächen O, und O, in P die gleiche Tangentialebene T, und legt man aus einem Punkte L von T an dieselben zwei berührende Kegelflächen, so gehen ihre Berührungskurven b, und b, durch P, haben aber daselbst im allgemeinen verschiedene Tangenten. Um die Richtigkeit des Gesagten zu erkennen, ziehen wir in T eine zu LP benachbarte Gerade m durch L und legen durch diese eine Ebene, etwa die Normalebene zu T, welche die Flächen in den Kurven c, resp. c, und die Kurven b, und b, in den Punkten B, resp. B, schneidet (Fig. 483a stellt diese Ebene dar). Ist der Abstand des Punktes Po von dieser Ebene unendlich klein von der 1. Ord, so sind es auch die Strecken PB, und PB, dagegen sind die Abstände der Punkte B, und B, von T oder im unendlich klein von der 2. Ord, da T die Kurven b, und b, in Po berührt. Demnach schließen die Tangenten LB und LB, sowohl mit m, als auch unter sich Winkel ein, die von der 2. Ord. un

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