Achsen der Ellipsen speziell im Verhältnis von 12:1, so verhalten sich die genannten Stücke auf den Tangenten einer jeden Kurve ƒ' wie 1:2, d. h. die Kurven f" sind Parabeln mit A'B' als Scheiteltangente. Denn die Scheiteltangente einer Parabel halbiert das von der Achse und dem Berührungspunkte begrenzte Stück einer jeden Parabeltangente.

Es läßt sich für den allgemeinen Fall auch leicht zeigen, daß sich in dem Schnittpunkte einer Kurve h' mit einer Kurve f' die Krümmungsradien dieser Kurven umgekehrt verhalten, wie die Abstände ihrer Tangenten vom Punkte G'.

784. Das Verhalten der Falllinien in der Umgebung eines Jochpunktes J der topographischen Fläche ist dem der Falllinien eines einschaligen Hyperboloides mit vertikaler reeller Achse in der Umgebung eines ihrer Endpunkte ähnlich. In Fig. 481 ist J dieser

Endpunkt, p und q sind die horizontalen Erzeugenden durch ihn, h und h, sind Horizontallinien und zwar mag h tiefer und h höher als J liegen. Durch J gehen nur zwei Falllinien, nämlich die Kammlinie k und der Thalweg t, es sind die Hauptschnitte (Hyperbel und Ellipse) durch die vertikale Achse. Die Projektionen der

anderen Falllinien nähern sich k' und ' asymptotisch und schneiden p' resp. grechtwinklig. Auch hier gilt der Satz: Die Achsen der Hyperbeln schneiden auf den Tangenten einer jeden Kurve Stücke ab, die sich umgekehrt verhalten wie die Quadrate der bezüglichen Achsen von irgend einer Hyperbel des Systems. Da die eine Achse imaginäre Endpunkte besitzt, so ist ihre Länge imaginär und das Quadrat negativ, deshalb liegen hier die genannten Stücke auf verschiedenen Seiten des Berührungspunktes.

785. Es sollen kurz die wichtigsten Aufgaben über die topo

graphische Fläche besprochen werden. Um die Schnittkurve einer Ebene mit der Fläche zu finden, hat man die Horizontalebenen der Niveaulinien mit der gegebenen Ebene zu schneiden, die so gewonnenen Hauptlinien dieser Ebene treffen die bez. Niveaulinien in Punkten der gesuchten Kurve. Ist die Schnittebene vertikal, so lege man sie um. Die Bestimmung der Tangentialebene in einem Punkte der Fläche erfordert die Kenntnis zweier Tangenten in ihm, etwa die Tangenten an die durch ihn laufende Niveaulinie und an einen durch ihn gehenden Vertikalschnitt.

Ist auf der Fläche von einem Punkte P aus eine Linie w von gegebenem, konstantem Gefälle zu legen, so müssen die Horizontallinien die Kurve

w in lauter gleiche Teile teilen und Gleiches gilt für die Projektionen auf die Grundebene. Das Gefälle mißt man durch tang a, wenn a der Winkel aller Tangenten von w gegen die Horizontalebene ist. Bedeutet a den Vertikalabstand der Ebenen von je zwei aufeinanderfolgenden Niveaulinien und

2 3

=

...

sind P, P1, P2, P3,... die Schnittpunkte von w mit den aufeinanderfolgenden Niveaulinien, so ist P'P1'= P1'P' = P¿'P ̧': =a: tanga. Hiernach kann man unmittelbar konstruieren (Fig. 482). Natürlich handelt es sich hier nur um eine näherungsweise Lösung des Problems.

Um zwei Punkte P und Q der Fläche durch eine Linie w von konstantem Gefälle zu verbinden, bestimme man zunächst näherungsweise die Größe des Gefälles. Ist die Differenz der Koten von P und Q gleich na, so teile man P'Q' in ngleiche Teile, dann wird die gesuchte Kurve zwischen P' und Q' durch die Projektionen der Niveaulinien in ngleiche Teile geteilt, die etwas größer sind als P'Q'. Durch Probieren zeichnet man nun zwei Linien von konstantem Gefälle durch P, von denen die eine die Horizontallinie durch Q vor diesem Punkte, die andere sie aber hinter ihm trifft; zwischen beiden liegt dann die gesuchte Linie w, die man daraus annäherungsweise zeichnen kann (Fig. 482).

n

DREIZEHNTES KAPITEL.

Die Krümmung der Flächen.

786. Zwei Flächen, die einen gemeinsamen Punkt P, aber verschiedene Tangentialebenen in ihm besitzen, schneiden sich in einer Kurve s durch P, deren zugehörige Tangente t jenen Tangentialebenen angehört. Wir lassen eine der beiden Flächen sich um t drehen, bis ihre Tangentialebenen in P zusammenfallen, dann erhält die Schnittkurve s in P einen wirklichen oder isolierten Doppelpunkt. Denn die zu t normale Ebene durch P schneidet die Flächen in ihrer ursprünglichen Lage in zwei durch P laufenden Kurven; eine derselben nimmt an der genannten Drehung teil, bis sie die andere in P berührt, d. h. bis einer ihrer weiteren gemeinsamen Punkte nach P hereingerückt ist. Da t auch während der Drehung Tangente der Schnittkurve s bleibt, so entsteht bei der Berührung der Flächen in P entweder ein isolierter Doppelpunkt, indem sich ein kleines Oval zu einem Punkte zusammenzieht, oder ein wirklicher Doppelpunkt, indem zwei getrennte Kurvenzweige übergehen in zwei sich im Doppelpunkte durchsetzende Zweige (vergl. 472).

1

2

Besitzen zwei Flächen 1 und 2 in P die gleiche Tangentialebene T, und legt man aus einem Punkte L von T an dieselben zwei berührende Kegelflächen, so gehen ihre Berührungskurven b1 und b2 durch P, haben aber daselbst im allgemeinen verschiedene Tangenten. Um die Richtigkeit des Gesagten zu erkennen, ziehen wir in T eine zu LP benachbarte Gerade m durch Z und legen durch diese eine Ebene, etwa die Normalebene zu T, welche die Flächen in den Kurven c1 resp. c2 und die Kurven b1 und b2 in den Punkten B, resp. B, schneidet (Fig. 483 a stellt diese Ebene dar). Ist der Abstand des Punktes P von dieser Ebene unendlich klein von der 1. Ord., so sind es auch die Strecken PB1 und PB2, dagegen sind die Abstände der Punkte B1 und B2 von T oder m unendlich klein von der 2. Ord., da T die Kurven b1 und b2 in P berührt. Demnach schließen die Tangenten LB1 und LB, sowohl mit m, als auch unter sich Winkel ein, die von der 2. Ord. un

endlich klein sind. Hat nun s in P einen wirklichen Doppelpunkt, so schneiden sich C1 und C2 in zwei Punkten Q und R von s und es ist QR von der 1. Ord. unendlich klein. Da die Abstände dieser Punkte von T und also auch ihre Differenz unendlich klein von der 2. Ord. sind, so ist der Neigungswinkel von QR gegen m unendlich klein 1. Ord. Die zu QR parallelen Tangenten an c1 und C2 berühren dieselben in zwei Punkten C1 und C2, deren Abstände vom Mittelpunkte der Strecke QR und also auch voneinander unendlich klein von der 2. Ord. sind. Da zu den Kurvenbogen CB, und C2 B2 gleiche Kontingenzwinkel gehören, so verhalten sich diese Bogen wie die zugehörigen Krümmungsradien: CB1: C2B2 = Q1 Q2 (442).

2

:

2

C2 B

B

Fig. 483.

2

Nun haben i 91 und Q2 verschiedene Werte, denn C1 und C2 haben nur die beiden Nachbarpunkte Q und R gemein, deshalb ist BB2 von der 1. Ord. unendlich klein, nämlich ebenso wie C1B1 und CB2. Daraus folgt aber, daß PB, und PB2, oder die Kurven b, und b in P einen endlichen Winkel einschließen. Besitzt s in P einen isolierten Doppelpunkt, so giebt es für die Kurven C1 und C2 keine gemeinsame reelle Sehne QR mehr, jedoch bleibt ihre Richtung reell und giebt es nach wie vor zwei zu ihr parallele Tangenten, deren Berührungspunkte C, und C2 einen unendlich kleinen Abstand 2. Ord. aufweisen, so daß der Beweis im übrigen der frühere bleibt (Fig. 4836).

2

787. Berühren sich zwei Flächen 1 und O̟2 in einem Punkte P und besitzt ihre Schnittkurve s in P einen dreifachen Punkt (von dessen drei Ästen auch zwei konjugiert imaginär sein können), so sagt man, daß sich die Flächen daselbst oskulieren; jede Ebene durch P schneidet die beiden Flächen in Kurven, die sich in P oskulieren. In der That müssen diese Kurven drei benachbarte Punkte gemein haben, wie man sofort einsieht, wenn man die sie enthaltende Ebene etwas verschiebt. Man erkennt das auch direkt an der gegenseitigen Lage der Flächen in der Umgebung von P. Die Flächen durchsetzen sich in den Ästen von s, so daß in den von s gebildeten sechs

(oder zwei) Winkeln abwechselnd die eine und die andere oben liegt, während die zweite verdeckt wird. In Fig. 484a und bist die eine Fläche durch Schraffierung kenntlich gemacht; es sind die beiden Fälle mit drei, resp. einem reellen Aste von s gezeichnet. Einem schraffierten Felde liegt im Scheitelwinkel ein unschraffiertes

gegenüber, d. h. in jeder Ebene durch P berühren sich die Schnittkurven und durchsetzen sich im Berührungspunkte, was einer Oskulation der Kurven entspricht.

Berühren sich zwei Flächen 1 und 2 in einem Punkte P und giebt es durch diesen drei Ebenen, welche sie in je zwei sich oskulierenden Kurven schneiden, so ist P ein Oskulationspunkt der Flächen, d. h. ihre Schnittkurve s hat in P einen dreifachen Punkt. Dabei ist vorausgesetzt, daß die genannten Ebenen die Tangentialebene von P in drei getrennten Geraden schneiden. In einem gewöhnlichen Berührungspunkte P schneiden die durch ihn gelegten Ebenen die Flächen im allgemeinen in je zwei sich berührenden Kurven, die sich nicht durchsetzen; ein Durchsetzen der Kurven tritt nur für die Ebenen ein, welche in P einen der beiden Äste der Schnittkurve s berühren (Fig. 484c). Demnach kann unter der obigen Annahme P kein gewöhnlicher Berührungspunkt sein.

788. Aus unseren Darlegungen geht hervor, daß man noch dreifach unendlich viele Flächen 2. Grades konstruieren kann, die eine gegebene Fläche in einem gegebenen Punkte P oskulieren. Man wähle nämlich drei Punkte X, X2, X, ganz beliebig aus und schneide die Ebenen ÃÃ1⁄2Ђ ÂÂ3‚ ÂÂP mit in den Kurven cs, c1, c2 respektive. Dann giebt es drei Kegelschnitte k1, ką, k, die bezüglich c1, c2, c ̧ in P oskulieren und durch X, X, resp. I, I, resp. X, X, gehen; sie liegen auf einer Fläche 2. Grades und diese oskuliert in P.