einzelnen Punkten desselben nicht merklich verschieden ist. Legt man dann eine beliebige Horizontalebene zu Grunde, so kann man die Lage eines jeden Punktes der Fläche durch seine Horizontalprojektion und seinen Abstand von dieser bestimmen. Diese Art der Darstellung von Raumpunkten nennt man kotierte Projektion. Als horizontale Grundebene, von der die Abstände der einzelnen Punkte gemessen werden, wählt man meist ein Stück der hypothetischen Meeresfläche, von der die wirkliche Meeresoberfläche ein. Teil ist und die man sich unter dem Festland fortgesetzt denkt. Man nimmt nun, von der Grundebene ausgehend, ein System horizontaler Ebenen von gleichen Abständen an, welche man einem Meter, oder dem ganzzahligen Vielfachen des Meters gleich macht. Diese Ebenen schneiden die topographische Fläche in Horizontal- oder Niveaulinien, die durch ihre Horizontalprojektionen und ihre Abstände von der Grundebene festgelegt werden. Jeder Horizontallinie fügt man in der Zeichnung ihre Höhenzahl, oder Kote bei (Fig. 479). Diese Horizontallinien werden gewöhnlich direkt in dem betreffenden Terrain durch Vermessen bestimmt. Bei dem Betrachten einer topographischen Fläche fallen sofort die drei verschiedenen Arten von Punkten mit horizontalen Tangentialebenen in die Augen. Erstens: die Gipfelpunkte, sie liegen höher als alle Punkte ihrer nächsten Umgebung. Zweitens: die Muldenpunkte, sie liegen tiefer als alle Punkte ihrer nächsten Umgebung. Drittens: die Sattel- oder Jochpunkte, eine durch einen solchen Punkt gezogene Horizontallinie hat in ihm einen Doppelpunkt. Während die Fläche in den Gipfel- und Muldenpunkten eine elliptische Krümmung besitzt, besitzt sie in den Jochpunkten eine hyperbolische Krümmung. Die Horizontallinien sind in sich geschlossene Kurven mit sich stetig ändernder Tangente, nur wo sie einen scharfen Grat oder eine scharfe Rinne passieren, besitzen sie einen Knick. 782. Von besonderer Wichtigkeit sind bei einer topographischen Fläche die Falllinien oder Linien größter Neigung. In jedem Punkte der Falllinie ist ihre Tangente normal zur horizontalen Flächentangente, oder normal zu der in der Grundebene liegenden Spur der bezw. Tangentialebene. Fall- und Niveaulinien durchschneiden sich rechtwinklig, ebenso ihre Projektionen auf die horizontale Grunde bene. Durch jeden Punkt der Fläche geht im allgemeinen eine Falllinie; in den Punkten eines scharfen Grates giebt es deren zwei. Die Punkte mit horizontaler Tangentialebene bedürfen einer beGipfel-, Mulden- und Jochpunkte sonderen Untersuchung. Die Falllinien beginnen und endigen in den Gipfel- und Muldenpunkten der Fläche. Zwei Falllinien können sich von scharfen Graten abgesehen nur in Gipfeloder Muldenpunkten treffen oder berühren. betrachten wir die Projektionen f und f zweier Falllinien auf die Grundebene, welche die Projektion h einer Horizontallinie in zwei benachbarten Punkten P und P, treffen, dann schneiden sich die zugehörigen Tangenten von f und f1 in dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkt von h. Geht man von h kontinuierlich zu anderen und anderen Horizontallinien fort, so werden immer die Tangenten von f und f in ihren auf der nämlichen Horizontalen liegenden Punkten Zum Beweise sich im Krümmungsmittelpunkt dieser Kurve schneiden, so daß die beiden Schnittpunkte von f und f1 mit den Horizontalen zwar einander näher rücken aber nicht zusammenfallen können. Eine Berührung oder ein Schneiden zweier Falllinien in einem Punkte Q kann nur eintreten, wenn ihre Tangenten in den zu Q benachbarten Punkten P und P1, die auf der gleichen Horizontallinie h liegen, sich in einem Punkte schneiden, der nur unendlich wenig von P und P, entfernt ist, d. h. der Krümmungsradius von h in P muß unendlich klein sein. Dann muß entweder h in P eine Spitze besitzen, was wir nach der Natur der Kurve h ausschließen, oder h muß aus einem unendlich kleinen Oval durch P bestehen (wozu dann noch weitere Kurvenzweige von h treten können). Hiermit ist aber unsere Behauptung erwiesen denn das unendlich keine Oval schließt entweder einen Gipfel- oder Muldenpunkt ein. Die Falllinien, die von den beiden Hängen eines Thales herabkommen, berühren sich also nicht in der Thalsohle; sie laufen vielmehr beinahe parallel nebeneinander das Thal hinab, wobei sie allerdings einander immer näher rücken. Setzt sich das Thal bis zum Kamm eines Bergrückens fort, so daß es in einem Joche oder Sattel endigt, so scheidet die Falllinie, die sich vom Jochpunkt herab durch das Thal hinzieht, die Falllinien der beiden Hänge voneinander und führt die Bezeichnung Thalweg (t in der Figur). Ganz ebenso wie im Thale rücken auch auf einem Bergkamm die Falllinien, die seine beiden Hänge überdecken, immer näher zusammen, ohne sich jedoch zu berühren; erst im Gipfelpunkt berühren sich alle die Hänge überdeckenden Falllinien, wie wir weiterhin sehen werden. Die Falllinie, die von einem Jochpunkt aus auf dem Kamm hinaufläuft bis zu einem Gipfel, heißt Kammlinie (k in der Figur), sie scheidet die Falllinien beider im Kamme sich vereinigender Hänge. Zieht sich ein Thal an einem Berghang hinauf, ohne dessen Kamm zu erreichen, so bestimmt sich sein höchster Punkt in folgender Weise. Das Thal bewirkt bei jeder Niveaulinie, die von ihm überschritten wird, eine Einbuchtung, die um so kleiner wird, je höher die Niveaulinie liegt. Die Niveaulinien, die höher liegen, als das Thal hinaufreicht, zeigen diese Einbuchtung nicht. Es muß nun eine Niveaulinie geben, welche die Grenze zwischen den eingebuchteten und den anderen bildet; sie besitzt einen Flachpunkt, in dem die Tangente vier benachbarte Punkte mit ihr gemein hat. Denn die eingebuchteten Niveaulinien besitzen eine Doppeltangente, deren Berührungspunkte einander um so näher liegen, je geringer die Einbuchtung ist; die Berührungspunkte fallen für die Grenzkurve, bei der die Einbuchtung gerade verschwindet, zusammen. Die Falllinie, die von diesem Flachpunkte F ausgeht, ist hier der Thalweg (siehe Figur). Ganz ähnliche Betrachtungen lassen sich für die Kammlinie des Bergrückens zwischen zwei ineinander einmündenden Thälern anstellen. Auch hier giebt es eine Horizontallinie mit Flachpunkt, der den tiefsten Punkt des Rückens darstellt, und von dem die Kammlinie (eine Falllinie) aufsteigt (in der Figur ist eine solche von einem Flachpunkte F aufsteigende Kammlinie eingezeichnet). Die hier erwähnte Kammlinie, sowie der Thalweg sind in der Figur bis zum Gipfel G fortgesetzt und ebenso auch noch nach unten über F hinaus. In der Figur sind die Punkte F auf den verzeichneten Horizontallinien angenommen, im allgemeinen werden sie zwischen zwei derartigen Kurven liegen; Gleiches gilt auch für die Jochpunkte. 783. Um das Verhalten der Falllinien in einem Gipfelpunkt G (oder Muldenpunkt) zu untersuchen, müssen wir die Horizontallinie, die dem Punkt G unendlich nahe liegt, in Betracht ziehen. Diese ist, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, eine unendlich kleine Ellipse und heißt die Indikatrix des Punktes G, die Projektion von G auf ihre Ebene ist ihr Mittelpunkt; auch auf der Indikatrix müssen die Falllinien senkrecht stehen. Wir bestimmen nun ein Ellipsoid, dessen eine Achse die Vertikale durch G ist, und dessen andere Achsen zu den Achsen der Indikatrix parallel laufen, also horizontal sind; zugleich soll G ein Endpunkt seiner vertikalen Achse sein und ihre horizontalen Achsen sollen sich verhalten wie die dazu parallelen Achsen der Indikatrix. Alle Horizontalschnitte des Ellipsoides sind dann ähnliche und ähnlich liegende Ellipsen, die auch zu jener Indikatrix ähnlich sind; ihre ersten Projektionen haben den nämlichen Mittelpunkt. Das Ellipsoid besitzt in der zu G unendlich nahen Ebene eine Indikatrix, die zu jener Indikatrix ähnlich ist und bei geeigneter Länge der horizontalen Achsen des Ellipsoides mit ihr zusammenfällt. Wir untersuchen nun die Falllinien des Ellipsoides; ihr Verhalten im höchsten Punkte G, einem Endpunkte seiner vertikalen Achse, muß das gleiche sein, wie das der Falllinien einer topographischen Fläche in einem Gipfelpunkt. In Fig. 480 stellen die koncentrischen ähnlichen Ellipsen mit dem Mittelpunkt G' die ersten Projektionen der Horizontalschnitte des Ellipsoides dar; die Projektionen seiner Falllinien müssen alle diese Ellipsen rechtwinklig durchschneiden und sind hierdurch definiert. Die Projektionen der Falllinien des Ellipsoides sind ähnliche und ähnlich liegende Kurven mit G' als Ahnlichkeitscentrum, sie berühren sich also in G und ihre gemeinsame Tangente ist die große Achse der Ellipsen. In der That geht bei einer ähnlichen Veränderung (Ver G M größerung oder Verkleinerung) jede der unendlich vielen ähnlichen Ellipsen in eine andere Ellipse dieses Systems über, und jede Kurve, die die Ellipsen rechtwinklig durchschneidet, geht in eine gleichartige Kurve über; damit ist aber der erste Teil des Satzes bewiesen. Diese letzteren Kurven müssen alle durch G' laufen und sich daselbst berühren, da G' das Ähnlichkeitscentrum ist. Ist f' eine solche Kurve und schneidet sie die Ellipse h' in P', so liegt das Kurvenstück G'P' in dem spitzen Winkel P'G'A', wo A' einen Endpunkt der großen Achse von h' bedeutet, wie das unmittelbar ersichtlich ist. Die Tangente von f'in G' kann aber mit G'A' keinen endlichen spitzen Winkel einschließen, denn sonst könnte sie nicht zugleich Tangente der in diesem letzteren Winkel liegenden Falllinien sein. Somit berührt f" die Achse G'A'. Außer den Falllinien, deren Projektionen die große Achse der Ellipsen berühren, tritt noch eine weitere auf, deren Projektion auf ihre kleine Achse fällt. Fig. 480. Für das System der Kurven f' gilt der Satz: Die Achsen der Ellipsen schneiden auf den Tangenten einer jeden Kurve f' Stücke ab, die sich umgekehrt verhalten wie die Quadrate der bezüglichen Achsen von irgend einer Ellipse des Systems. Die Tangenten der Kurven f' sind die Normalen der Ellipsen und für diese folgt der Satz aus der Affinität von Kreis und Ellipse. Ist nämlich GP, G'A' und P'P, LG'A', so schneidet die zu G'A' parallele Gerade P'P, den Strahl G'P, in einem Punkte für den G'P, G'C' (der kleinen Halbachse von h') ist, und die Normale P'P2 von h' schneidet diesen Strahl in einem Punkte P2, für den G'P2 der Summe der Halbachsen von h' gleich ist (415). Dann ist: P'P2 : P′N = PP2 : PG′ und P'P: P'M = P1P2 : P1G', daraus folgt durch Division: P'M:P'N=(G'C')2: (G'A')2. Stehen die 19 2 2 = = 1 2 |