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Potenzlinie k der drei Kugeln K, und für je zwei Kugeln K liegt das eine der beiden Ahnlichkeitscentren auf der gemeinsamen Potenzlinie der drei Kugeln A. Denn das eine Ähnlichkeitscentrum von K, und K, ist ein Punkt gleicher Potenz für die drei Kugeln A, liegt also auf 1, u. s. w. Die neun Berührungspunkte der Kugeln liegen zu je drei in drei Ebenen durch k und ebenso zu je drei in drei Ebenen durch 7. Denn berührt A, die Kugeln K1, K2, Kg in P1, P2, P3, so geht PP durch einen Ähnlichkeitspunkt der Kugeln K1, K2, der auf 7 liegt; ebenso treffen PP ̧ und P1P, die Gerade 7. Die Ebene PPP, geht durch 7 und schneidet A, in einem Kreise, der ihre drei Schnittkreise mit den Kugeln K berührt. Die Gerade k steht als Potenzlinie der drei Kugeln K senkrecht auf der Ebene ihrer Mittelpunkte M1, M2, M.; sie liegt in der Ebene der Mittelpunkte 01, 02, 0, der drei Kugeln A, da sie ein Ähnlichkeitscentrum für je zwei dieser Kugeln trägt. Ähnliches gilt für die Gerade 7, die in der Ebene MMM, liegt und auf der Ebene 0,0,0, senkrecht steht.

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778. Wir legen jetzt drei Kugeln K1, K2, K, mit den Mittelpunkten M1, M2, M ̧ zu Grunde und betrachten die unendlich vielen Kugeln A, die sie alle drei gleichzeitig äußerlich oder innerlich berühren. Der Mittelpunkt 0; einer solchen Kugel A, ist Schnittpunkt dreier Kugeln, die mit K1, K2, K, resp. koncentrisch und deren Radien sich von den Radien dieser Kugeln um die nämliche additive (oder subtraktive) Konstante unterscheiden. Alle Kugeln Ʌ haben. eine Linie gleicher Potenz 7 ( auf MMM), auf der die äußeren Ähnlichkeitscentren für je zwei Kugeln K liegen. Je zwei Kugeln A besitzen ein Ähnlichkeitscentrum, das auf der gemeinsamen Potenzlinie k der drei Kugeln K liegt; die Mittelpunkte aller Kugeln A liegen in der zu senkrechten Ebene durch k. Die Berührungspunkte aller Kugeln Ʌ mit der Kugel K1 liegen auf einem Kreise c1, dessen Ebene durch k geht; eine gleiche Bedeutung haben die Kreise c, und c, auf den Kugeln K2 und K. Die Berührungspunkte einer Kugel A mit den drei Kugeln K befinden sich auf den Kreisen C1, C2, C und liegen in einer Ebene durch 7.

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Werden zwei sich schneidende Kugeln von einer dritten gleichartig berührt, so liegen die Berührungspunkte zu verschiedenen Seiten der Ebene des Schnittkreises, wie leicht einzusehen. Zwei benachbarte Kugeln A berühren K, in zwei benachharten Punkten von c1, die von der durch gehenden Ebene ihres Schnittkreises getrennt werden. Läßt man beide Kugeln A zusammenfallen, SO wird ihr Schnittkreis zum Kreis durch den Berührungspunkt von

A und K1; ebenso geht dieser Kreis durch die Berührungspunkte von A mit K und K. Die Kugeln A bilden eine stetige Folge; sie besitzen also eine gemeinsame Hüllfläche die Dupin'sche Cyklide. Auf ihr liegen die Charakteristiken der eingehüllten Kugeln; es sind das Kreise, deren Ebenen durch 7 gehen und die die Kugeln K1, K2, K, gleichartig berühren; sie schneiden die Kreise C1, C2, C3 in je einem Punkte.

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Wählen wir weiter aus den Kugeln A irgend drei A, A2, A3 aus, die alle drei Kugeln K äußerlich berühren. Dann bilden die unendlich vielen Kugeln K, welche A1, A2, A gleichzeitig äußerlich (oder innerlich) berühren, eine stetige Folge, die ebenfalls eine Cyklide zur gemeinsamen Hüllfläche haben. Auf ihr liegen die Kreise, deren Ebenen durch k gehen und die die Kugeln ^, ^, ^3 gleichartig berühren; zu ihnen gehören auch die Kreise c1, c, C. Die Berührungspunkte der Kugeln K mit A, liegen auf einem Kreise d1, dessen Ebene durch 7 geht; eine ähnliche Bedeutung haben die Kreise d2 und d。 auf den Kugeln Ʌ, und Ʌ. Diese Kreise d1, d2, dз gehören zu den Charakteristiken auf der Hüllfläche der Kugeln A. Wir werden nun zeigen, daß jede Kugel K von allen Kugeln A und jede Kugel A von allen Kugeln K berührt wird. Daraus folgt dann weiter, daß auf jeder Kugel K, ein Kreis c, liegt, der ihre Berührungspunkte mit den Kugeln A trägt; die Ebenen aller dieser Kreise gehen durch k. Ebenso folgt, daß auf jeder Kugel Am ein Kreis d liegt, der ihre Berührungspunkte mit den Kugeln K trägt; die Ebenen dieser Kreise gehen durch 7. Das bedingt weiter, daß jeder Kreis c jeden Kreis d schneidet, daß also die Kugeln K und die Kugeln ▲ die nämliche Hüllfläche besitzen.

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Es bleibt nur noch zu beweisen, daß die Kugeln K, und Am sich berühren. Das eine Ahnlichkeitscentrum der Kugeln K1 und K., das wir A nennen wollen, liegt auf der gemeinsamen Potenzlinie der Kugeln A; A ist somit ein Punkt gleicher Potenz für diese Kugeln. Zu ihnen gehört die Kugel 1, die K, und K¡ in B1 resp. B; berühren mag (B1B; durch 4). Berührt A die Kugel K1 in C1, und schneidet AC1 die Kugel K; in dem Punkte C; (MC; nicht parallel zu M1C1), so giebt es eine Kugel M, die K1 in C1 und K; in C; berührt; M hat in Bezug auf die gleiche Potenz, wie die Kugeln A. Die Kugeln A und M berühren sich aber in C1, alle Punkte ihrer gemeinsamen Tangentialebene sind also für sie Punkte gleicher Potenz; da aber auch A in Bezug auf beide die gleiche Potenz aufweist, so müssen die Kugeln A und M identisch sein. Am berührt K; in C.

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ROHN u. PAPPERITZ. II.

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779. Zur Darstellung der Cyklide ist noch folgendes zu bemerken (Fig. 478). Die Mittelpunkte aller Kugeln K liegen in einer Ebene durch 7, sie ist eine Symmetrieebene der Cyklide; zu ihr parallel wählen wir die Grundrißebene. Die Mittelpunkte aller Kugeln A liegen in einer Ebene durch k, die auf 7 senkrecht steht, sie ist ebenfalls eine Symmetrieebene der Cyklide; zu ihr parallel sei die Aufriẞebene gewählt (l' 1 x, k′′ 1 x). Die Schnittlinie beider Symmetrieebenen sei a (a' || x || a"), ihre Schnittpunkte mit k und 7

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Fig. 478.

Fläche von den

Kugeln K resp. A berührt. Da zwei Kreise aus verschiedenen Systemen nur einen Punkt gemein haben, liegen in jeder Ebene durch k zwei Kreise des einen, in jeder Ebene durch 7 zwei Kreise des anderen Systems. Insbesondere liegen in der horizontalen Symmetrieebene zwei Kreise d und d2, die zur Potenzlinie und K zum

Ähnlichkeitscentrum haben; in ihnen wird die Fläche von zwei Kugeln A, und Ʌ, berührt, deren Mittelpunkte auf a liegen. Ebenso liegen in der vertikalen Symmetrieebene zwei Kreise C1 und C21 für die k Potenzlinie und L Ähnlichkeitscentrum ist; in ihnen wird die Fläche von zwei Kugeln K1 und K, berührt, deren Mittelpunkte ebenfalls auf a liegen. liegen. a trifft die Fläche in den Punkten c1 × d1 = A, c1 × d2 = B, c2 × d1 = C und c2 × d2 = D.

Wir wollen annehmen, daß die Kreise c1, c2 sich gegenseitig ausschließen, daß also durch Z zwei gemeinsame Tangenten derselben gehen. Jede der beiden Ebenen durch 7,.die c, und c, gleichzeitig berühren, berührt die Cyklide längs eines Kreises, sie seien r und s. Die Kreise d1 und d2 schneiden sich entweder oder der eine liegt innerhalb des anderen, denn sie haben mit c, und c je einen Punkt gemein. Es möge d, innerhalb d, liegen. K liegt dann innerhalb d, und jede Ebene durch k schneidet die Fläche in zwei getrennten Kreisen. Der erste Umriß der Fläche besteht aus d1 und d2, der zweite Umriß aus c1, c2, r und s.

Das eine System von Kreisen hat k zur gemeinsamen Potenzlinie, d. h. es schneidet k in den nämlichen beiden imaginären Punkten; durch je zwei Kreise dieses Systems läßt sich eine Kugel legen. Ebenso läßt sich durch je zwei Kreise des anderen Systems eine Kugel legen, da sie in den nämlichen beiden imaginären Punkten treffen. Die beiden imaginären Punkte auf k, sowie die beiden auf 7 sind Doppelpunkte unserer Fläche. Jede Kugel, welche die Cyklide zweimal berührt, schneidet sie in zwei Kreisen. Alle diese Kreise bilden zwei Systeme; das eine derselben ist zum anderen symmetrisch in Bezug auf die horizontale Symmetrieebene. Es braucht nur bewiesen zu werden, daß eine Kugel die Cyklide in zwei symmetrischen Kreisen schneidet, wenn sie dieselbe in je einem Punkte von d und von d, berührt. Denn zwei Kreise des gleichen Systems treffen sich nicht, dagegen schneiden sich zwei Kreise aus. verschiedenen Systemen in zwei Punkten, liegen also auf einer Kugel; jede solche Kugel berührt die Cyklide in den Schnittpunkten der beiden Kreise.

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780. In der horizontalen Symmetrieebene wählen wir einen beliebigen Kreis h, der d1 in einem Punkte F1 und d2 in einem Punkte F berührt; die Tangenten in diesen Punkten mögen sich in H schneiden; dabei soll h innerhalb d, und d1 innerhalb h liegen. Ferner zeichnen wir einen beliebigen Kreis i, der d, in E, und d in E, berührt; J sei der Schnittpunkt der zugehörigen Tangenten; dabei soll innerhalb d, und außerhalb d, liegen. EE und FF gehen durch die Ähnlichkeitscentren K resp. N der beiden Kreise d1 und d. ST sei die gemeinsame Sehne (Potenzlinie) von i und h, ihre Schnittpunkte mit EE, und FF, seien P und Q. Es soll nun gezeigt werden, daß die Sehne ST durch P und Q harmonisch geteilt wird. Bei diesem Beweise benutzen wir den gemeinsamen Potenzpunkt R, der Kreise i, h und d, in dem sich die Potenzlinien ST, JE, HF von je zweien dieser Kreise schneiden,

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und ebenso den Potenzpunkt R2 der Kreise i, h und d2 (R2 = ST JE2 X HF, in der Figur ist er nicht verzeichnet).

Wir nehmen zunächst an, daß ST durch P und einen Punkt X harmonisch geteilt werde, dann ist JX die Polare von P in Bezug auf i; denn sie muß durch den Pol J von EE, gehen und mit P zusammen die Sehne ST harmonisch teilen. Demnach sind JP und JX harmonische Polaren und teilen den Winkel der Tangenten JE, und JE, harmonisch (289); es liegen also auch die Punkte RR2PX harmonisch. Wir nehmen ferner an, daß ST durch Q und einen Punkt harmonisch geteilt werde, dann ist HY die Polare von Q in Bezug auf h. Demnach sind HQ und HY harmonische Polaren und teilen den Winkel der Tangenten HF, und HF, harmonisch, so daß auch die Punkte R,R,YQ harmonisch liegen. Nun giebt es aber nur ein Punktepaar, das die beiden Punktepaare ST und R1R2 harmonisch trennt, es sind die Doppelpunkte der Involution, der die beiden Paare angehören. Deshalb müssen die Punktepaare PX und YQ identisch sein und da P und Q verschieden sind, so werden sowohl ST wie R1R, durch P, Q harmonisch getrennt.

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Legen wir jetzt durch i als größten Kreis eine Kugel, so berührt sie die Cyklide in einem vertikal gestellten Kreis c mit dem Durchmesser EE. Die Kugel, die h zum größten Kreise hat, schneidet die Cyklide in einer Kurve v, die natürlich aus zwei symmetrischen Teilen besteht. Sie schneidet c in zwei, der Kurve v angehörigen Punkten P1 und P2, die auf einer Vertikalen durch P und zu P symmetrisch liegen; denn die Kugeln durch i resp. h schneiden sich in einem vertikalen Kreis m mit dem Durchmesser ST. Da aber STPQ harmonisch liegen, so ist der Pol von PP2 in Bezug auf m, d. h. die Tangenten von m in P1 und P2 gehen durch Q. P1Q und P2Q berühren in diesen Punkten auch die Schnittkurve v, denn die Cyklide und die Kugel durch i berühren sich längs c. Hält man also die schneidende Kugel (durch h) fest und läßt die berührende Kugel sich ändern, so wird sich der Punkt Q auf FF, bewegen. Alle Tangenten der Kurve v treffen somit die Gerade F, F2; die Kurve v ist deshalb keine wirkliche Raumkurve, sondern sie zerfällt in zwei ebene Kurven und zwar in zwei Kreise, denn sie liegen ja auf der schneidenden Kugel.

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Topographische Flächen.

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781. Jeder begrenzte Teil der Erdoberfläche bildet eine topographische oder Terrainfläche. Der begrenzte Teil wird so klein genommen, daß die Richtung der Schwerkraft in den

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