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Wir wollen annehmen, daß die Kreise c, c, sich gegenseitig ausschließen, daß also durch L. zwei gemeinsame Tangenten derselben gehen. Jede der beiden Ebenen durch l, die c, und c, gleichzeitig berühren, berührt die Cyklide längs eines Kreises, sie seien r und s. Die Kreise d. und da schneiden sich entweder oder der eine liegt innerhalb des anderen, denn sie haben mit c, und c, je einen Punkt gemein. Es möge d innerhalb d. liegen. K liegt dann innerhalb d, und jede Ebene durch k schneidet die Fläche in zwei getrennten Kreisen. Der erste Umriß der Fläche besteht aus d. und da, der zweite Umriß aus c, c, r und s. Das eine System von Kreisen hat k zur gemeinsamen Potenzlinie, d. h. es schneidet k in den nämlichen beiden imaginären Punkten; durch je zwei Kreise dieses Systems läßt sich eine Kugel legen. Ebenso läßt sich durch je zwei Kreise des anderen Systems eine Kugel legen, da sie l in den nämlichen beiden imaginären Punkten treffen. Die beiden imaginären Punkte auf k, sowie die beiden auf l sind Doppelpunkte unserer Fläche. Jede Kugel, welche die Cyklide zweimal berührt, schneidet sie in zwei Kreisen. Alle diese Kreise bilden zwei Systeme; das eine derselben ist zum anderen symmetrisch in Bezug auf die horizontale Symmetrieebene. Es braucht nur bewiesen zu werden, daß eine Kugel die Cyklide in zwei symmetrischen Kreisen schneidet, wenn sie dieselbe in je einem Punkte von d., und von d., berührt. Denn zwei Kreise des gleichen Systems treffen sich nicht, dagegen schneiden sich zwei Kreise aus verschiedenen Systemen in zwei Punkten, liegen also auf einer Kugel; jede solche Kugel berührt die Cyklide in den Schnittpunkten der beiden Kreise. 780. In der horizontalen Symmetrieebene wählen wir einen beliebigen Kreis h, der d in einem Punkte F. und da in einem Punkte F, berührt; die Tangenten in diesen Punkten mögen sich in H schneiden; dabei soll h innerhalb d. und d innerhalb h liegen. Ferner zeichnen wir einen beliebigen Kreis i, der d in E und d. in E, berührt; J sei der Schnittpunkt der zugehörigen Tangenten; dabei soll i innerhalb d. und außerhalb d. liegen. E„E, und FF, gehen durch die Ahnlichkeitscentren K resp. N der beiden Kreise d und d... ST" sei die gemeinsame Sehne (Potenzlinie) von und h, ihre Schnittpunkte mit E„E, und FF', seien Po und Q. Es soll nun gezeigt werden, daß die Sehne ST" durch Po und Q harmonisch geteilt wird. Bei diesem Beweise benutzen wir den gemeinsamen Potenzpunkt R, der Kreise i, h und d, in dem sich die Potenzlinien ST, JE, HF von je zweien dieser Kreise schneiden, und ebenso den Potenzpunkt R, der Kreise i, h und d, (R, = STx JE, × HF, in der Figur ist er nicht verzeichnet)

Wir nehmen zunächst an, daß ST" durch Po und einen Punkt X harmonisch geteilt werde, dann ist JX die Polare von P in Bezug auf i; denn sie muß durch den Pol J von E„E, gehen und mit P zusammen die Sehne ST" harmonisch teilen. Demnach sind JP und JY harmonische Polaren und teilen den Winkel der Tangenten JE und JE, harmonisch (289); es liegen also auch die Punkte R, R„PX harmonisch. Wir nehmen ferner an, daß ST" durch Q und einen Punkt Y harmonisch geteilt werde, dann ist HY die Polare von Qin Bezug auf h. Demnach sind HQ und HX harmonische Polaren und teilen den Winkel der Tangenten HF- und HF, harmonisch, so daß auch die Punkte R„R, KO harmonisch liegen. Nun giebt es aber nur ein Punktepaar, das die beiden Punktepaare ST" und R„R, harmonisch trennt, es sind die Doppelpunkte der Involution, der die beiden Paare angehören. Deshalb müssen die Punktepaare PX und MQ identisch sein und da Po und Q verschieden sind, so werden sowohl ST" wie R, R., durch P, Q harmonisch getrennt.

Legen wir jetzt durch i als größten Kreis eine Kugel, so berührt sie die Cyklide in einem vertikal gestellten Kreis c mit dem Durchmesser E, E. Die Kugel, die h zum größten Kreise hat, schneidet die Cyklide in einer Kurve v, die natürlich aus zwei symmetrischen Teilen besteht. Sie schneidet c in zwei, der Kurve v angehörigen Punkten Po und P, die auf einer Vertikalen durch Po und zu Po symmetrisch liegen; denn die Kugeln durch i resp. h schneiden sich in einem vertikalen Kreis m mit dem Durchmesser ST. Da aber STPQ harmonisch liegen, so ist Q der Pol von PP, in Bezug auf m, d. h. die Tangenten von m in P% und Po, gehen durch Q. PQ und P„Q berühren in diesen Punkten auch die Schnittkurve v, denn die Cyklide und die Kugel durch i berühren sich längs c. Hält man also die schneidende Kugel (durch h) fest und läßt die berührende Kugel sich ändern, so wird sich der Punkt Q auf F„F, bewegen. Alle Tangenten der Kurve v treffen somit die Gerade FF; die Kurve v ist deshalb keine wirkliche Raumkurve, sondern sie zerfällt in zwei ebene Kurven und zwar in zwei Kreise, denn sie liegen ja auf der schneidenden Kugel.

Topographische Flächen.

781. Jeder begrenzte Teil der Erdoberfläche bildet eine topographische oder Terrain fläche. Der begrenzte Teil wird so klein genommen, daß die Richtung der Schwerkraft in den einzelnen Punkten desselben nicht merklich verschieden ist. Legt man dann eine beliebige Horizontalebene zu Grunde, so kann man die Lage eines jeden Punktes der Fläche durch seine Horizontalprojektion und seinen Abstand von dieser bestimmen. Diese Art der Darstellung von Raumpunkten nennt man kotierte Projektion.

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Als horizontale Grundebene, von der die Abstände der einzelnen Punkte gemessen werden, wählt man meist ein Stück der hypothetischen Meeresfläche, von der die wirkliche Meeresoberfläche ein Teil ist und die man sich unter dem Festland fortgesetzt denkt. Man nimmt nun, von der Grundebene ausgehend, ein System horizontaler Ebenen von gleichen Abständen an, welche man einem

Meter, oder dem ganzzahligen Vielfachen des Meters gleich macht. Diese Ebenen schneiden die topographische Fläche in Horizontal- oder Niveaulinien, die durch ihre Horizontalprojektionen und ihre Abstände von der Grundebene festgelegt werden. Jeder Horizontallinie fügt man in der Zeichnung ihre Höhenzahl, oder Kote bei (Fig. 479). Diese Horizontallinien werden gewöhnlich direkt in dem betreffenden Terrain durch Vermessen bestimmt. Bei dem Betrachten einer topographischen Fläche fallen sofort die drei verschiedenen Arten von Punkten mit horizontalen Tangentialebenen in die Augen. Erstens: die Gipfelpunkte, sie liegen höher als alle Punkte ihrer nächsten Umgebung. Zweitens: die Muldenpunkte, sie liegen tiefer als alle Punkte ihrer nächsten Umgebung. Drittens: die Sattel- oder Jochpunkte, eine durch einen solchen Punkt gezogene Horizontallinie hat in ihm einen Doppelpunkt. Während die Fläche in den Gipfel- und Muldenpunkten eine elliptische Krümmung besitzt, besitzt sie in den Jochpunkten eine hyperbolische Krümmung. Die Horizontallinien sind in sich geschlossene Kurven mit sich stetig ändernder Tangente, nur wo sie einen scharfen Grat oder eine scharfe Rinne passieren, besitzen sie einen Knick. 782. Von besonderer Wichtigkeit sind bei einer topographischen Fläche die Falllinien oder Linien größter Neigung. In jedem Punkte der Falllinie ist ihre Tangente normal zur horizontalen Flächentangente, oder normal zu der in der Grundebene liegenden Spur der bezw. Tangentialebene. Fall- und Niveaulinien durch schneiden sich rechtwinklig, ebenso ihre Projektionen auf die horizontale Grundebene. Durch jeden Punkt der Fläche geht im allgemeinen eine Falllinie; in den Punkten eines scharfen Grates giebt es deren zwei. Die Punkte mit horizontaler Tangentialebene – Gipfel-, Mulden- und Jochpunkte – bedürfen einer besonderen Untersuchung. Die Falllinien beginnen und endigen in den Gipfel- und Muldenpunkten der Fläche. Zwei Falllinien können sich – von scharfen Graten abgesehen – nur in Gipfeloder Muldenpunkten treffen oder berühren. Zum Beweise betrachten wir die Projektionen fund f zweier Falllinien auf die Grundebene, welche die Projektion h einer Horizontallinie in zwei benachbarten Punkten Po und P treffen, dann schneiden sich die zugehörigen Tangenten von fund f in dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkt von h. Geht man von h kontinuierlich zu anderen und anderen Horizontallinien fort, so werden immer die Tangenten von f' und f in ihren auf der nämlichen Horizontalen liegenden Punkten sich im Krümmungsmittelpunkt dieser Kurve schneiden, so daß die beiden Schnittpunkte von f und f mit den Horizontalen zwar einander näher rücken aber nicht zusammenfallen können. Eine Berührung oder ein Schneiden zweier Falllinien in einem Punkte Q kann nur eintreten, wenn ihre Tangenten in den zu Q benachbarten Punkten Po und P., die auf der gleichen Horizontallinie h liegen, sich in einem Punkte schneiden, der nur unendlich wenig von Po und P, entfernt ist, d. h. der Krümmungsradius von h in Po muß unendlich klein sein. Dann muß entweder h in Po eine Spitze besitzen, was wir nach der Natur der Kurve h ausschließen, oder h muß aus einem unendlich kleinen Oval durch Po bestehen (wozu dann noch weitere Kurvenzweige von h treten können). Hiermit ist aber unsere Behauptung erwiesen denn das unendlich keine Oval schließt entweder einen Gipfel- oder Muldenpunkt ein. Die Falllinien, die von den beiden Hängen eines Thales herabkommen, berühren sich also nicht in der Thalsohle; sie laufen vielmehr beinahe parallel nebeneinander das Thal hinab, wobei sie allerdings einander immer näher rücken. Setzt sich das Thal bis zum Kamm eines Bergrückens fort, so daß es in einem Joche oder Sattel endigt, so scheidet die Falllinie, die sich vom Jochpunkt herab durch das Thal hinzieht, die Falllinien der beiden Hänge voneinander und führt die Bezeichnung Thalweg (t in der Figur). Ganz ebenso wie im Thale rücken auch auf einem Bergkamm die Falllinien, die seine beiden Hänge überdecken, immer näher zusammen, ohne sich jedoch zu berühren; erst im Gipfelpunkt berühren sich alle die Hänge überdeckenden Falllinien, wie wir weiterhin sehen werden. Die Falllinie, die von einem Jochpunkt aus auf dem Kamm hinaufläuft bis zu einem Gipfel, heißt Kammlinie (k, in der Figur), sie scheidet die Falllinien beider im Kamme sich vereinigender Hänge. Zieht sich ein Thal an einem Berghang hinauf, ohne dessen Kamm zu erreichen, so bestimmt sich sein höchster Punkt in folgender Weise. Das Thal bewirkt bei jeder Niveaulinie, die von ihm überschritten wird, eine Einbuchtung, die um so kleiner wird, je höher die Niveaulinie liegt. Die Niveaulinien, die höher liegen, als das Thal hinaufreicht, zeigen diese Einbuchtung nicht. Es muß nun eine Niveaulinie geben, welche die Grenze zwischen den eingebuchteten und den anderen bildet; sie besitzt einen Flachpunkt, in dem die Tangente vier benachbarte Punkte mit ihr gemein hat. Denn die eingebuchteten Niveaulinien besitzen eine Doppeltangente, deren Berührungspunkte einander um so näher liegen, je geringer

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