= liegt in der zu ihr senkrechten Meridianebene, das Lot von M' auf O'J' trifft also E,E,' in S. F1 = E' und F' E, sind die Spurpunkte einer neuen Erzeugenden, deren Projektion sich mit der von EE deckt; das Lot von M' auf O'K', wo K' der andere Schnittpunkt von EE,' und ' ist, trifft E, E = FF3' Fig. 350. also über M'O' als Durchmesser einen Kreis, so schneidet dieser aus i zwei Punkte von u' und aus k' seine Berührungspunkte mit u' aus. O'M' ist die eine Achse von u', die andere Achse enthält die Mittelpunkte der zu O'M' parallelen Sehnen von u. Bestimmt man also auf einer Tangente t' von k', die zu O'M' parallel ist, die beiden Punkte P', Q' von u nach der soeben beschriebenen Methode, so liegt der Mittelpunkt R' von P'Q' auf der zweiten Achse von u und N' ist der Mittelpunkt von u' (N'R' O'M'). Die Endpunkte A, B der Achse NR von u liegen auf einem Parallelkreise h, dessen Ebene den Mittelpunkt N von u enthält; N liegt aber nach 545 auf MO. Die Erzeugende t = TT, die i in U und k in schneidet, schneidet h im Punkte X, für den die Relation X'U': X'V' N'O': N'M' gilt; denn OU, MV und NX liegen in parallelen Ebenen. Durch diese Relation ergiebt sich X', indem sich O'U', M'V' und N'X' in einem Punkte schneiden, und es ist M'A' M'B' M'X'. = = = Im vorliegenden Falle ist u eine Hyperbel und ihre Asymptoten sind parallel zu den Mantellinien des Asymptotenkegels, deren Tangentialebenen durch O gehen. Der Asymptotenkegel schneidet die Ebene des Parallelkreises i in einem Kreise mit dem Radius U'V', die Tangenten von O an diesen Kreis berühren ihn in Punkten C, D jener Mantellinien, ihre Projektionen C, D' liegen demnach auch auf dem Kreise mit dem Durchmesser O'M'. Die Asymptoten von u' gehen durch N' und sind zu M'C' resp. M'D' parallel. 549. Ein Hyperboloid zu konstruieren, das eine Ringfläche längs eines Parallel kreises oskuliert (Fig. 351). Betrachten wir eine Meridianebene, die das Hyperboloid in einer Hyperbel h und die Ringfläche in einem Kreise k schneidet, so müssen sich h und k in einem Punkte P oskulieren, durch den jener Parallelkreis geht. Nach 406 erhält man den Mittelpunkt N von h, indem man P mit dem in Q eine Normale auf OQ errichtet und diese mit der zu a senkrechten Geraden OM in R schneidet; dann enthält RPden gesuchten Mittelpunkt N von h. Die Asymptoten von h sind dadurch definiert, daß sie zur Achse a symmetrisch liegen und den Winkel der konjugierten Durchmesser NR und NS harmonisch punkt der einen Asymptote mit OM, so ist: MR. MS = (MK)2, was eine einfache Konstruktion der Asymptoten ergiebt, die in die Zeichnung nicht eingetragen ist. 550. Die soeben behandelte Aufgabe kann nun verschiedenartige Anwendungen finden; wir wollen uns zunächst nach den Haupt tangenten in einem beliebigen Punkte A einer Rotationsfläche fragen. Bestimmen wir das Hyperboloid A, das die Rotationsfläche längs des Parallelkreises i durch A oskuliert, so sind seine Erzeugenden durch A Haupttangenten der Rotationsfläche; denn sie treffen drei unendlich nahe Parallelkreise, haben also drei benachbarte Punkte mit der Rotationsfläche gemein. Um nun in der Hauptmeridianebene die Hyperbel zu zeichnen, die den Hauptmeridian der Rotationsfläche in dem Punkte P oskuliert, der mit A auf dem Parallelkreise i liegt, haben wir zunächst im Punkte P den Krümmungskreis k des Hauptmeridians zu suchen. Der Kreis k bildet dann den Hauptmeridian einer Ringfläche, welche unsere Rotationsfläche längs des Parallelkreises i oskuliert; das gesuchte Hyperboloid oskuliert dann sowohl Rotations- wie Ringfläche längs dieses Kreises, kann demnach nach voriger Nummer gefunden werden (Fig. 351). Die Haupttangenten im Punkte A sind parallel zu den beiden Mantellinien des Asymptotenkegels von Ʌ, die in einer zur Tangentialebene in A parallelen Ebene liegen; verschieben wir also den Asymptotenkegel parallel zu sich selbst bis sein Scheitel nach A gelangt, so enthält er jene Haupttangenten. Es gilt nun den Spurkreis des verschobenen Kegels und die Spurlinie der Tangentialebene in einer zur Achse a senkrechten Ebene, etwa in der Ebene П, durch O zu finden. Wir führen diese Konstruktion zunächst für den Punkt P aus; durch Drehung um die Achse a erhalten wir dann die gesuchten Haupttangenten. Auf OM wählen wir die Punkte J und 7 so, daß PJ OM und PT OP ist, beschreiben in П über JR als Durchmesser einen Kreis und ziehen durch T die Normale zu OM, dann schneiden sich Kreis und Normale in den Spurpunkten U und V der Haupttangenten von P (in der Figur ist П, um OM umgelegt). In der That ist nach der Konstruktion (JU)2 = (JV)2 = JT·JR, wie es ja sein muß, da in der Ebene des Hauptmeridians PR, PT und die beiden Mantellinien des mit seinem Scheitel nach P verschobenen Asymptotenkegels harmonisch liegen. 3 Trägt man nun noch MT = M'T" auf M'A' als M'D' auf, zieht = = T" U。 SO 09 in D' die Senkrechte zu M'A' und macht D'B' D'C sind A'B′ und A'C' die ersten Projektionen der Haupttangenten von A, deren zweite Projektionen daraus unmittelbar sich ergeben. Man gebraucht also nur die Strecken 7"M" und T'U。, so daß man nur die folgenden Linien zu ziehen hat: O"P"Q", Q"R"' || P'"'T'"' _0′′P", P''J" || T" U。 || a" und den Kreis über R"J". Hiermit ist auch die Konstruktion der Tangenten im Doppel punkte P der ebenen Schnittkurve s einer Rotationsfläche in 531 gegeben. 551. Es soll in einem Punkte A der Lichtgrenze u auf einer Ringfläche die Tangente von И gezeichnet werden (Fig. 352). Ist i der Parallelkreis durch A, so suchen wir, wie vorher, das längs i oskulierende Hyperboloid, seine Lichtgrenze ist ein Kegelschnitt v, der u im Punkte A berührt. Denn u und v haben den Punkt A gemein, da sich beide Flächen längs i berühren. Da aber sogar Oskulation der Flächen längs i eintritt, kann man die Sache so auffassen, als ob sich die Flächen längs zweier unendlich naher Parallelkreise berühren, woraus dann die Behauptung ROHN u. PAPPERITZ. II. 3 = folgt. Ist nun a die Achse dieser Ringfläche, M ihr Mittelpunkt, k ihr Hauptmeridian, O dessen Mittelpunkt, ist ferner der Lichtstrahl durch M, so findet man mittels des Kugelverfahrens nach 533 auf dem Parallelkreise i den Punkt A (ix k = J, O'J" x a" = N", N"K" U'', K'A') und nach dem Vorausgehenden den Mittelpunkt I des längs i oskulierenden Hyperboloides (N"U N"O", J"Ux a" = L"). Die gesuchte Tangente der Kurve u in liegt A nun einerseits in der Tangentialebene der Ringfläche in diesem Punkte, andererseits in der zur Lichtrichtung konjugierten Diametralebene des Hyperboloides (545). Die erstere Ebene steht auf der Meridianebene durch 4 senkrecht, die letztere auf der zu 7 parallelen Meridianebene; beide gehen durch A, letztere auch durch L. Die. Schnittlinien beider Ebenen mit der durch L gelegten Horizontalebene schneiden sich in einem Punkte H der gesuchten Tangente (M'HI, G'H' M'A', G'M J"P, L'"PO"J"); der Aufriß der Tangente AH ist zur Vereinfachung der Figur weggelassen. In ganz analoger Weise ist auf dem Kreise i, der k im Punkte J trifft, zunächst der Punkt 4, der Lichtgrenze u bestimmt (N"K," i l'', KAL) und dann die Tangente H, 4, gefunden worden. Freilich haben wir es hier mit einer Ellipse zu thun, deren eine Achse mit a zusammenfällt und die k in J1 oskuliert, L1 ist ihr Mittelpunkt (J"U × a" = L"); durch Rotation dieser Ellipse um a entsteht ein Rotationsellipsoid, das die Ringfläche längs 4 oskuliert. Da das Ellipsoid ähnliche Eigenschaften hat wie das Hyperboloid (vergl. 556), so ist seine Lichtgrenze ebenfalls ein Kegelschnitt, dessen Ebene durch den Mittelpunkt L, geht und auf der Meridianebene durch 7 senkrecht steht. Es findet sich deshalb der Punkt H1 der gesuchten Tangente ganz ebenso wie vorher H (MH1, GHI M'A2', G1'M' = J1"P1, L‚"P1 σ'Ï‚”‚ J′′P1a"). Hat man es mit einer beliebigen Rotationsfläche zu thun, so ist zunächst in dem bezüglichen Punkte der Krümmungskreis der Meridiankurve zu zeichnen, dann kann wie vorher weiter verfahren werden. 1 19 1 552. Das oskulierende Hyperboloid resp. Ellipsoid kann auch zur Konstruktion der Krümmungskreise in den Scheitelpunkten der Lichtgrenze u verwendet werden. Solche Scheitelpunkte von u liegen in der Meridianebene durch 7 und in der Ebene der Parallelkreise mit dem Mittelpunkte M. Die Scheitelpunkte B, B1 in der Meridianebene durch ergeben sich durch Drehung dieser Ebene um a parallel zu П2 (Bo0′′В1o± 1o, 1o ist der T2 gedrehte Lichtstrahl). Ist b der Parallelkreis durch B, so hat das längs b oskulierende Hyperboloid seinen Mittelpunkt in D auf a (O′′Bo × a′′ = Q′′", |