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facher Weise als Hüllfläche erzeugt werden; so ist die Rotationsfläche Hüllfläche für die Kugeln, die sie längs der Parallelkreise berühren, aber auch für die Kegel, die sie längs dieser Kreise berühren, sowie für die Cylinder, die sie längs der Meridiankurven tangieren. 777. Die Dupin’sche Cyclide. Als Beispiel einer Hüllfläche wollen wir die Dupin’sche Cyclide behandeln; sie umhüllt alle Kugeln, welche drei gegebene feste Kugeln berühren. Um uns die hier auftretenden Verhältnisse bequem klar zu machen, gebrauchen wir einige ganz einfache Sätze über Kugeln, die wir zunächst aufstellen wollen. Zwei Kugeln K, und K, mit ihren Mittelpunkten M. und M., können in doppelter Weise als ähnlich und ähnlich liegend angesehen werden; die Ähnlichkeitscentren teilen die Centrallinie MM, im Verhältnisse der Radien. In der That zieht man irgend zwei parallele, gleichgerichtete Radien MP und MP", so schneiden sich PP, und MM, in einem Punkte A auf der Verlängerung von MM, so daß AM : AM, dem Verhältnis der Radien r, :r, gleich wird. Dieser Punkt A bleibt derselbe, wie man auch die parallelen Radien wählen mag und heißt das äußere Ähnlichkeitscentrum. Analog gehen die Verbindungslinien paralleler, aber entgegengesetzt gerichteter Radien durch einen Punkt J auf MM, für den MJ: JM,=r, :r, ist; J heißt das innere Ähnlichkeitscentrum. Berührt eine Kugel A zwei Kugeln K, und K, so geht die Verbindungslinie ihrer Berührungspunkte P% und Po, durch das äußere oder innere Ahnlichkeitscentrum, je nachdem die Berührung für beide Kugeln eine gleichartige oder ungleichartige ist. Die Berührung heißt gleichartig, wenn beide Male die Kugeln sich äußerlich oder innerlich berühren; der erste Fall tritt ein, wenn die berührenden Kugeln sich gegenseitig ausschließen, der letzte, wenn eine die andere einschließt: PP, schneidet die Kugeln K. und K., noch je in einem weiteren Punkte Q, resp. Q; ist O der Mittelpunkt von A, so geht OM durch Po und OM, durch Po, und es ist MQ, |M,P, (ebenso MP |M-Q), da die gleichschenkligen Dreiecke Q, M,P, POP, und P„MQ, ähnlich sind. Die Gerade Q, PPQ, geht also in der That durch eines der beiden Ähnlichkeitscentren, und zwar durch das äußere oder innere, je nachdem MQ, und MP, gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind. Ist A eine Kugel und S ein beliebiger Punkt, so schneidet die Kugel auf den Strahlen durch S je zwei Punkte aus, für welche das Produkt ihrer Abstände von S konstant ist. Der Wert dieses Produktes heißt die Potenz des Punktes S in Bezug auf die Kugel A, er ist positiv oder negativ, je nachdem die Schnittpunkte eines Strahles auf der nämlichen oder auf verschiedenen Seiten von S. liegen. Daß die Produkte für zwei beliebige Strahlen den gleichen Wert haben, erkennt man sofort, da die Ebene durch die beiden Strahlen die Kugel in einem Kreise schneidet, der durch ihre Schnittpunkte mit der Kugel hindurchgeht; für einen Kreis ist aber die Gleichheit dieser Produkte bekannt. Alle Punkte gleicher Potenz in Bezug auf zwei Kugeln A, und A, liegen in einer Ebene, die auf ihrer Centrallinie O, O, senkrecht steht. Denn eine beliebige Ebene durch O, O, schneidet die Kugeln in zwei Kreisen; die Punkte gleicher Potenz in Bezug auf diese Kreise liegen auf einer Senkrechten zu O, O, und sind zugleich Punkte gleicher Potenz für beide Kugeln. Läßt man die beiden Kreise und ihre gemeinsame Potenzlinie um 0,O, rotieren, so erhält man die beiden Kugeln und ihre gemeinsame Potenzebene, deren Punkte gleiche Potenz für beide Kugeln besitzen. Alle Punkte gleicher Potenz in Bezug auf drei Kugeln liegen auf einer Normalen zu der Ebene ihrer Mittelpunkte, der gemeinsamen Potenzlinie. Denn die Schnittlinie der Potenzebene der ersten und zweiten Kugel mit der Potenzebene der zweiten und dritten Kugel hat die Eigenschaft, daß ihre Punkte die gleiche Potenz in Bezug auf alle drei Kugeln aufweisen, sie liegt deshalb auch auf der Potenzebene der ersten und dritten Kugel. Für alle Kugeln, die zwei feste Kugeln gleichartig (oder ungleichartig) berühren, ist deren äußeres (oder inneres) Ahnlichkeitscentrum ein Punkt gleicher Potenz. Berührt nämlich eine Kugel A die beiden festen Kugeln K. und K. in den Punkten P% resp. P. gleichartig, so geht P„P, durch das äußere Ahnlichkeitscentrum A und schneidet die Kugeln noch in Q% resp. Q% (MQ |M, P, MPM Q%). Dann ist ersichtlich Q, A: P., A = MA: MA = PA: Q„A, also: AP-AP, = AQ,-AQ. Das Produkt dieser beiden gleichen Werte ist aber nichts anderes als Produkt der Potenzen von A in Bezug auf die Kugeln K. und K., und da das letztere konstant ist, folgt, daß auch die Potenz AP, AP, von A in Bezug auf A von der Wahl der berührenden Kugel A unabhängig ist. Werden drei Kugeln K, K, K, zugleich von drei Kugeln A, A, A, berührt, so zwar, daß je zwei Kugeln K entweder von jeder Kugel A gleichartig oder ungleichartig berührt werden, so bestehen zwischen diesen Kugeln die folgenden Beziehungen. Für je zwei Kugeln A liegt das eine der beiden Ähnlichkeitscentren auf der gemeinsamen Potenzlinie k der drei Kugeln K, und für je zwei Kugeln K liegt das eine der beiden Ahnlichkeitscentren auf der gemeinsamen Potenzlinie 1 der drei Kugeln A. Denn das eine Ähnlichkeitscentrum von K. und K., ist ein Punkt gleicher Potenz für die drei Kugeln A, liegt also auf l, u. s. w. Die neun Berührungspunkte der Kugeln liegen zu je drei in drei Ebenen durch k und ebenso zu je drei in drei Ebenen durch l. Denn berührt A, die Kugeln K, K, K, in P., P., P., so geht P„P, durch einen Ahnlichkeitspunkt der Kugeln K, K., der auf l liegt; ebenso treffen P„P, und P„P, die Gerade l. Die Ebene PPP, geht durch l und schneidet A, in einem Kreise, der ihre drei Schnittkreise mit den Kugeln K berührt. Die Gerade k steht als Potenzlinie der drei Kugeln K senkrecht auf der Ebene ihrer Mittelpunkte M, M, M; sie liegt in der Ebene der Mittelpunkte O, O, O, der drei Kugeln A, da sie ein Ähnlichkeitscentrum für je zwei dieser Kugeln trägt. Ähnliches gilt für die Gerade , die in der Ebene MMM, liegt und auf der Ebene 0,0,0, senkrecht steht. 778. Wir legen jetzt drei Kugeln K, K, K, mit den Mittelpunkten M, M, M, zu Grunde und betrachten die unendlich vielen Kugeln A, die sie alle drei gleichzeitig äußerlich oder innerlich berühren. Der Mittelpunkt O, einer solchen Kugel A, ist Schnittpunkt dreier Kugeln, die mit K, K, K, resp. koncentrisch und deren Radien sich von den Radien dieser Kugeln um die nämliche additive (oder subtraktive) Konstante unterscheiden. Alle Kugeln A haben eine Linie gleicher Potenz l (l auf MMM), auf der die äußeren Ähnlichkeitscentren für je zwei Kugeln K liegen. Je zwei Kugeln A besitzen ein Ähnlichkeitscentrum, das auf der gemeinsamen Potenzlinie k der drei Kugeln K liegt; die Mittelpunkte aller Kugeln A liegen in der zu l senkrechten Ebene durch k. Die Berührungspunkte aller Kugeln A mit der Kugel K, liegen auf einem Kreise c, dessen Ebene durch k geht; eine gleiche Bedeutung haben die Kreise c, und c, auf den Kugeln K. und K. Die Berührungspunkte einer Kugel A mit den drei Kugeln K befinden sich auf den Kreisen c, c, c, und liegen in einer Ebene durch l. Werden zwei sich schneidende Kugeln von einer dritten gleichartig berührt, so liegen die Berührungspunkte zu verschiedenen Seiten der Ebene des Schnittkreises, wie leicht einzusehen. Zwei benachbarte Kugeln A berühren K, in zwei benachharten Punkten von c, die von der durch l gehenden Ebene ihres Schnittkreises getrennt werden. Läßt man beide Kugeln A zusammenfallen, so wird ihr Schnittkreis zum Kreis durch den Berührungspunkt von A und K; ebenso geht dieser Kreis durch die Berührungspunkte von A mit K, und K. Die Kugeln A bilden eine stetige Folge; sie besitzen also eine gemeinsame Hüllfläche – die Dupin’sche Cyklide. Auf ihr liegen die Charakteristiken der eingehüllten Kugeln; es sind das Kreise, deren Ebenen durch l gehen und die die Kugeln K, K, K, gleichartig berühren; sie schneiden die Kreise c, c, c, in je einem Punkte. Wählen wir weiter aus den Kugeln A irgend drei A, A, A, aus, die alle drei Kugeln K äußerlich berühren. Dann bilden die unendlich vielen Kugeln K, welche A, A, A, gleichzeitig äußerlich (oder innerlich) berühren, eine stetige Folge, die ebenfalls eine Cyklide zur gemeinsamen Hüllfläche haben. Auf ihr liegen die Kreise, deren Ebenen durch k gehen und die die Kugeln A, A, A, gleichartig berühren; zu ihnen gehören auch die Kreise c, c, c. Die Berührungspunkte der Kugeln K mit A, liegen auf einem Kreise d', dessen Ebene durch l geht; eine ähnliche Bedeutung haben die Kreise d. und da auf den Kugeln A, und A. Diese Kreise d. d, d. gehören zu den Charakteristiken auf der Hüllfläche der Kugeln A. Wir werden nun zeigen, daß jede Kugel K von allen Kugeln A und jede Kugel A von allen Kugeln K berührt wird. Daraus folgt dann weiter, daß auf jeder Kugel K, ein Kreis c, liegt, der ihre Berührungspunkte mit den Kugeln A trägt; die Ebenen aller dieser Kreise gehen durch k. Ebenso folgt, daß auf jeder Kugel A, ein Kreis d', liegt, der ihre Berührungspunkte mit den Kugeln K trägt; die Ebenen dieser Kreise gehen durch l. Das bedingt weiter, daß jeder Kreis c jeden Kreis d schneidet, daß also die Kugeln K und die Kugeln A die nämliche Hüllfläche besitzen. Es bleibt nur noch zu beweisen, daß die Kugeln K. und A. sich berühren. Das eine Ahnlichkeitscentrum der Kugeln K. und K., das wir A nennen wollen, liegt auf der gemeinsamen Potenzlinie l der Kugeln A; A ist somit ein Punkt gleicher Potenz für diese Kugeln. Zu ihnen gehört die Kugel A, die K, und K. in B, resp. B. berühren mag (B, B, durch A). Berührt A, die Kugel K, in C, und schneidet AC, die Kugel K, in dem Punkte C (MC, nicht parallel zu MC), so giebt es eine Kugel M., die K, in C und K, in C, berührt; M hat in Bezug auf A die gleiche Potenz, wie die Kugeln A. Die Kugeln A, und M berühren sich aber in C, alle Punkte ihrer gemeinsamen Tangentialebene sind also für sie Punkte gleicher Potenz; da aber auch A in Bezug auf beide die gleiche Potenz aufweist, so

müssen die Kugeln A, und M identisch sein. A, berührt K. in C. ROHN u. PAPPERITz. II. 21

779. Zur Darstellung der Cyklide ist noch folgendes zu bemerken (Fig. 478). Die Mittelpunkte aller Kugeln K liegen in einer Ebene durch l, sie ist eine Symmetrieebene der Cyklide; zu ihr parallel wählen wir die Grundrißebene. Die Mittelpunkte aller Kugeln A liegen in einer Ebene durch k, die auf l senkrecht steht, sie ist ebenfalls eine Symmetrieebene der Cyklide; zu ihr parallel sei die Aufrißebene gewählt (l“ L x, k“ L x). Die Schnittlinie beider Symmetrieebenen sei a (a" | x |a“), ihre Schnittpunkte mit k und l seien KundL. Auf - der Fläche liegen i zwei Systeme von Kreisen, deren Ebenen durch k resp. l gehen; in ihnen wird die Fläche von den Kugeln K resp. A berührt. Da zwei Kreise aus verschiedenen Systemen nur einen Punkt gemein haben, liegen in jeder Ebene durch k zwei Kreise des einen, in jeder Ebene durch l zwei Kreise des anderen Systems. Insbesondere liegen in der horizontalen Symmetrieebene zwei Kreise d und d, die l zur Potenzlinie und K zum Ähnlichkeitscentrum haben; in ihnen wird die Fläche von zwei Kugeln A, und A, berührt, deren Mittelpunkte aufa liegen. Ebenso liegen in der vertikalen Symmetrieebene zwei Kreise c, und c, für die k Potenzlinie und L Ahnlichkeitscentrum ist; in ihnen wird die Fläche von zwei Kugeln K. und K., berührt, deren Mittelpunkte ebenfalls auf a liegen. a trifft die Fläche in den Punkten c X d = A, C, X d = B, C, × d = C und c, X d = D.

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