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Centrum und C"D" die Achse der Perspektivität. Da die Erzeugenden CC, und DD1 zu П, senkrecht sind, gehen die genannten Projektionen alle durch C" und D'. Wählen wir unter diesen irgend zwei Kegelschnitte y" und z" aus, so werden sie von den Projektionen der Erzeugenden, die alle durch O" gehen, in projektiven Punktreihen geschnitten. Sind Y1", Y," irgend zwei Punkte von y" und Z′′, Z,′′ die entsprechenden Punkte von z", so ist die perspektive Lage von y" und z" bewiesen, sobald man nachweist, daß sich Y"Y" und "Z" auf C"D" schneiden. Die Gerade O'Y1"Z," schneidet aber y" und z" noch in zwei entsprechenden Punkten Y" und Z.". Nun sind aber die Strahlbüschel Y1"(C"D" Y,′′Y1⁄2′′) und Z,"(C"D"Z."Z") projektiv und, da sie einen Strahl gemein haben, perspektiv; ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich deshalb auf einer Geraden und das ist die Gerade C"D". In der Figur ist die Kurve y eine Ellipse und zwar diejenige, deren Ebene durch den Mittelpunkt O der Fläche geht; z ist eine Hyperbel (z" ist so weit ausgezogen, als z auf dem dargestellten Teil der Fläche liegt). Jede Gerade durch C′′ trifft die Kurven k′′, k1", y", Z" in je einem Punkte, deren Tangenten durch den nämlichen Punkt von C"D" gehen (z. B. in der Figur durch 7).

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Die Fläche ist von zwei zum Aufriẞ parallelen Schnittkurven 7 und begrenzt. Der auf P"P" liegende Punkt S1" von " bestimmt sich daraus, daß P"S": P"P" gleich dem Verhältnis der Abstände der Ebene durch k1 von den Ebenen durch ↳ und durch k ist.

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775. Alle zu П, parallelen Tangenten der Fläche in den Punkten einer Erzeugenden PP, bilden eine Schar eines hyperbolischen Paraboloides, ihre zweiten Projektionen umhüllen also eine Parabel. Diese berührt die Tangenten PT von k" und P"T von k1" (T auf C"D") sowie P"P" im Punkte O", denn sie berührt die Projektionen zweier benachbarter Erzeugenden, zu denen PP, gehört. Die Tangente t" von " in S" findet sich als Tangente jener Parabel nach dem Brianchon'schen Satze (O'U || P′′ T, U: S1⁄2′′T × O′′ U, t" || P1"U). Hieraus ergiebt sich auch die Tangentialebene in S. Ist umgekehrt eine Ebene durch PP1 gegeben, so findet man ihren Berührungspunkt wie folgt. Man ziehe O"U|| P"T und durch P," eine Parallele zur zweiten Spur der Ebene, beide Geraden schneiden sich in U und der gesuchte Punkt liegt auf UT.

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Die Haupttangenten der Fläche in den Punkten einer Erzeugenden PP1 bilden eine Schar eines Hyperboloides, zu der auch die Gerade n gehört. Letztere ist zu ПT, normal, deshalb projizieren

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sich die Haupttangenten im Aufriß als die Geraden eines Büschels. Kennt man also diejenigen in P und P1, so sind sie hiernach auch für jeden beliebigen Punkt der Erzeugenden bekannt. Die Haupttangente in P1 ergiebt sich wie früher (769). Jede Ebene durch die Erzeugende PP, hat auf ihr einen Berührungspunkt und schneidet k1 in einem Punkt. Dreht sich die Ebene um die Erzeugende, so bilden ihre Berührungspunkte auf dieser und ihre Schnittpunkte auf k1 projektive Punktreihen. Den Punkten P1, P, P2 (P1⁄2 auf n) der ersten Reihe entsprechen die Punkte P1, Q2, Q1 der zweiten Reihe (P12 parallel zur Tangente von k in P). Diese Reihe projizieren wir aus Q2 auf die Tangente von k, in P1 und erhalten die Punkte P1, V, W (V auf der Tangente von k1 in Q2, W auf Q1Q2). Die Geraden PV und P2W schneiden sich dann in einem Punkte X der gesuchten Haupttangente. DieKonstruktion ist nur im Aufriß durchgeführt (P," = 0′′); im Grundriß ist X' = P'V' × P'W' (V' und W' auf k1).

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Hüllflächen.

776. Bewegt sich eine Fläche in stetiger Weise, wobei sie ihre Gestalt entweder fortwährend beibehält oder stetig ändert, so wollen wir alle Flächen, die sie nach und nach durchläuft, als eine stetige Folge von Flächen bezeichnen. Von einer stetigen Folge von Flächen machen wir die folgende Voraussetzung. Durchläuft eine Fläche die aufeinanderfolgenden Flächen einer stetigen Folge, so sollen sich ihre Schnittkurven mit einer festen, aber beliebigen Fläche der Folge einer bestimmten Grenzkurve unbegrenzt nähern, wenn sich die veränderliche Fläche der festen unbegrenzt nähert. Dabei soll diese Grenzkurve die gleiche sein, einerlei ob sich die veränderliche Fläche der festen in der einen oder andern Richtung der Flächenfolge nähert, wobei dann auch die Annäherung der Schnittkurve an die Grenzkurve von der einen oder andern Seite erfolgt. Unter dieser Voraussetzung bilden die Grenzkurven auf den einzelnen Flächen der Folge selbst eine stetige Folge, indem sich jede von den benachbarten Kurven der Lage und Gestalt nach nur unendlich wenig unterscheidet. Sind nämlich 1 und 2 zwei benachbarte Flächen der Folge, s, und s, die auf ihnen liegenden Grenzkurven und s12 ihre Schnittkurve, so unterscheiden sich s1 und s2 nur un$1 $2 endlich wenig von $12 und also auch voneinander. Eine stetige Folge von Flächen besitzt eine gemeinsame Hüllfläche, die jede von ihnen längs einer Kurve, der sogenannten

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Charakteristik, berührt; diese Charakteristik ist identisch mit. der vorher besprochenen Grenzkurve. Zunächst ist klar, daß zwei benachbarte Flächen, und 4, in den Punkten ihrer Schnittkurve $12 Tangentialebenen besitzen, die einen unendlich kleinen Winkel einschließen. Denn sonst wären die beiden Flächen nicht in ihrer ganzen Ausdehnung benachbart und könnten nicht durch eine unendlich kleine Änderung (in Lage und Gestalt) ineinander übergeführt werden. Daraus folgt dann weiter, daß die Fläche, die durch die Grenzkurven sämtlicher Flächen der stetigen Folge geht, diese längs derselben berührt. Sind nämlich P1, P12, P2 drei benachbarte Punkte der Kurven $1, $12, S2, so besitzt das von ihnen gebildete Dreieck bei P12 einen Winkel, der sich von 2R nur unendlich wenig unterscheidet, so daß seine Winkel bei P, und P2 unendlich klein sind. Deshalb schließen in P, auch die Tangentialebenen an 1 und an die Fläche, die durch s1 und s, geht, einen unendlich kleinen Winkel ein; d. h. beide Flächen berühren sich längs $1.

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Je zwei benachbarte Charakteristiken werden sich im allgemeinen schneiden und zwar werden die Tangenten in ihren Schnittpunkten unendlich kleine Winkel miteinander einschließen, da sich solche Charakteristiken nur unendlich wenig unterscheiden. Alle Charakteristiken besitzen deshalb eine gemeinsame Hüllkurve und diese ist eine Rückkehrkante der Hüllfläche. Denn zwei benachbarte Kurven 81, 82 begrenzen zwei Flächenstreifen, die in einem Kurvenelement QQ2 jener Hüllkurve aneinanderstoßen, auf der nämlichen Seite von Q12 liegen und deren Tangentialebenen in zu Q1Q2 benachbarten Punkten unendlich kleine Winkel miteinander einschließen.

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Es mag hier noch hervorgehoben werden, daß eine Folge von Flächen, von denen jede aus der vorhergehenden durch eine unendlich kleine Änderung in Lage und Gestalt hervorgeht, nicht stetig zu sein braucht. Wählt man z. B. auf einer Kugel zwei beliebige Kreise, so giebt es durch jeden von ihnen eine Kugel, die sich von der erstgenannten nur unendlich wenig unterscheidet; gleichwohl können diese drei Kugeln nicht als drei benachbarte Flächen einer stetigen Folge auftreten, da die aufeinander folgenden Schnittkurven sich um endliche Größen unterscheiden.

Beispiele von Hüllflächen haben wir bei den Rotations- und Schraubenflächen kennen gelernt, insbesondere die Hüllflächen einer um eine Achse rotierenden und einer sich schraubenförmig um eine Achse bewegenden Kugel. Natürlich kann eine Fläche in mehr

facher Weise als Hüllfläche erzeugt werden; so ist die Rotationsfläche Hüllfläche für die Kugeln, die sie längs der Parallelkreise berühren, aber auch für die Kegel, die sie längs dieser Kreise berühren, sowie für die Cylinder, die sie längs der Meridiankurven tangieren.

777. Die Dupin'sche Cyclide. Als Beispiel einer Hüllfläche wollen wir die Dupin'sche Cyclide behandeln; sie umhüllt alle Kugeln, welche drei gegebene feste Kugeln berühren. Um uns die hier auftretenden Verhältnisse bequem klar zu machen, gebrauchen wir einige ganz einfache Sätze über Kugeln, die wir zunächst aufstellen wollen. Zwei Kugeln K1 und K2 mit ihren Mittelpunkten M1 und M2 können in doppelter Weise als ähnlich und ähnlich liegend angesehen werden; die Ähnlichkeitscentren teilen die Centrallinie MM2 im Verhältnisse der Radien. In der That zieht man irgend zwei parallele, gleichgerichtete Radien M1P1 und M2P2 SO schneiden sich P12 und M12 in einem Punkte A auf der Verlängerung von M1M2, so daß AM1: AM2 dem Verhältnis der Radien r1r2 gleich wird. Dieser Punkt A bleibt derselbe, wie man auch die parallelen Radien wählen mag und heißt das äußere Ähnlichkeitscentrum. Analog gehen die Verbindungslinien paralleler, aber entgegengesetzt gerichteter Radien durch einen Punkt J auf MM2, für den MJ: JM2 = r1r, ist; J heißt das innere Ähnlichkeitscentrum.

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Berührt eine Kugel A zwei Kugeln K1 und K2, so geht die Verbindungslinie ihrer Berührungspunkte P1 und P, durch das äußere oder innere Ähnlichkeitscentrum, je nachdem die Berührung für beide Kugeln eine gleichartige oder ungleichartige ist. Die Berührung heißt gleichartig, wenn beide Male die Kugeln sich äußerlich oder innerlich berühren; der erste Fall tritt ein, wenn die berührenden Kugeln sich gegenseitig ausschließen, der letzte, wenn eine die andere einschließt: P1P2 schneidet die Kugeln K1 und K noch je in einem weiteren Punkte Q, resp. Q2; ist O der Mittelpunkt von A, so geht OM, durch P1 und OM2 durch P2 und es ist M1Q1 || M2P2 (ebenso MP1|| M2Q2), da die gleichschenkligen Dreiecke Q1MP1, POP, und P,M,Q2 ähnlich sind. Die Gerade Q1PPQ2 geht also in der That durch eines der beiden Ähnlichkeitscentren, und zwar durch das äußere oder innere, je nachdem M1Q1 und MP gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind.

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Ist A eine Kugel und S ein beliebiger Punkt, so schneidet die Kugel auf den Strahlen durch S je zwei Punkte aus, für welche das Produkt ihrer Abstände von S konstant ist. Der Wert dieses

Produktes heißt die Potenz des Punktes S in Bezug auf die Kugel A, er ist positiv oder negativ, je nachdem die Schnittpunkte eines Strahles auf der nämlichen oder auf verschiedenen Seiten von S liegen. Daß die Produkte für zwei beliebige Strahlen den gleichen Wert haben, erkennt man sofort, da die Ebene durch die beiden Strahlen die Kugel in einem Kreise schneidet, der durch ihre Schnittpunkte mit der Kugel hindurchgeht; für einen Kreis ist aber die Gleichheit dieser Produkte bekannt.

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Alle Punkte gleicher Potenz in Bezug auf zwei Kugeln 1 und ^, liegen in einer Ebene, die auf ihrer Centrallinie 12 senkrecht steht. Denn eine beliebige Ebene durch 0,02 schneidet die Kugeln in zwei Kreisen; die Punkte gleicher Potenz in Bezug auf diese Kreise liegen auf einer Senkrechten zu 0,0, und sind zugleich Punkte gleicher Potenz für beide Kugeln. Läßt man die beiden Kreise und ihre gemeinsame Potenzlinie um 0,02 rotieren, so erhält man die beiden Kugeln und ihre gemeinsame Potenzebene, deren Punkte gleiche Potenz für beide Kugeln besitzen.

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Alle Punkte gleicher Potenz in Bezug auf drei Kugeln liegen auf einer Normalen zu der Ebene ihrer Mittelpunkte, der gemeinsamen Potenzlinie. Denn die Schnittlinie der Potenzebene der ersten und zweiten Kugel mit der Potenzebene der zweiten und dritten Kugel hat die Eigenschaft, daß ihre Punkte die gleiche Potenz in Bezug auf alle drei Kugeln aufweisen, sie liegt deshalb auch auf der Potenzebene der ersten und dritten Kugel.

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Für alle Kugeln, die zwei feste Kugeln gleichartig (oder ungleichartig) berühren, ist deren äußeres (oder inneres) Ahnlichkeitscentrum ein Punkt gleicher Potenz. Berührt nämlich eine Kugel A die beiden festen Kugeln K1 und K2 in den Punkten P、 resp. P2 gleichartig, so geht PP2 durch das äußere Ähnlichkeitscentrum A und schneidet die Kugeln noch in Q1 resp. Q2 (M1 Q1|| M2P2, M1P1|| M2Q2)• Dann ist ersichtlich Q14: P2 A M1A: M2 A = P1A: Q24, also: AP1·AP2 AQ AQ2. Das Produkt dieser beiden gleichen Werte ist aber nichts anderes als Produkt der Potenzen von A in Bezug auf die Kugeln K1 und K2, und da das letztere konstant ist, folgt, daß auch die Potenz AP AP2 von A in Bezug auf A von der Wahl der berührenden Kugel A unabhängig ist.

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Werden drei Kugeln K1, K2, K, zugleich von drei Kugeln ^1, ^,, ^ ̧ berührt, so zwar, daß je zwei Kugeln K entweder von jeder Kugel A gleichartig oder ungleichartig berührt werden, so bestehen zwischen diesen Kugeln die folgenden Beziehungen. Für je zwei Kugeln A liegt das eine der beiden Ähnlichkeitscentren auf der gemeinsamen

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