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und n, so daß die gemeinsamen Sekanten dieser drei Kurven einesteils die Wölbfläche und anderen teils einen Kegel 2. Grades bilden. Die Erzeugenden der Wölbfläche schneiden die Kreise k und k., in projektiven Punktreihen. Lassen wir nämlich wieder die Ebene durch die parallelen Erzeugenden PP und QQ, sich drehen, so sind die von P auf k und von Q% auf k, beschriebenen Reihen kongruent, also projektiv, und ebenso sind die von Q% aufk, und von Po, aufk, beschriebenen Reihen projektiv, denn sie sind involutorisch. Daraus folgt unsere Behauptung und wir schließen nach 751, daß die Wölbfläche vom 4. Grade ist und außer der Doppelgeraden in noch einen unendlich fernen Doppelkegelschnitt besitzt. Das letztere sehen wir leicht direkt ein. Da die Erzeugenden paarweise parallel sind, schneiden sie sich in den Punkten einer unendlich fernen Doppelkurve. Diese ist ein Kegelschnitt, sobald der Richtkegel der Wölbfläche vom 2. Grade ist, was wir jetzt zeigen wollen. Als Scheitel des Richtkegels wählen wir den Punkt N und suchen seine Schnittkurve i, mit der Ebene von k. Ziehen wir durch N eine Strecke NJ, parallel und gleich lang mit der Erzeugenden PP, so liegt J auf der gesuchten Kurve i. Deshalb ist PM = PJ, und da nach früherem PW = N„Q, ist, folgt weiter: PJ = N„Q, woraus sich dann unmittelbar: MJ = MM ergiebt. Der Richtkegel mit dem Scheitel N schneidet somit die Ebene von k., in einem zu k, konzentrischen Kreise i, der durch N geht. Die Horizontalebene durch n ist auch Symmetrieebene des Richtkegels, sie schneidet ihn in n und einer zweiten, zu MM, parallelen Mantellinie. Da aber die Normalebenen zu n Kreisschnitte des Richtkegels liefern, so müssen dies auch die Normalebenen zu MM thun. Die Erzeugenden AA, und BB, in der Symmetrieebene sind Torsallinien der Wölbfläche, ihre Kuspidalpunkte Kund K, liegen auf n. Das Stück KK, der Doppelgeraden verläuft isoliert, ihre anderen Teile liegen auf der Fläche. Außerdem giebt es noch zwei Torsallinien durch die Berührungspunkte der von N an den Kreis k gelegten Tangenten (in der Figur sind sie imaginär), ihre Kuspidalpunkte sind unendlich fern. Im vorliegenden Falle, wo N innerhalb k und N% innerhalb k liegt, giebt es zwei reelle, zu n parallele Erzeugende CC und D D. 774. Jede Vertikalebene durch eine Erzeugende der Wölbfläche, etwa PP, enthält noch eine zweite, etwa RR, die sich mit ihr auf n schneidet; beide liegen symmetrisch zu der Horizontalebene durch n. Eine solche Ebene schneidet die Fläche noch in einem Kegelschnitt, und alle diese Ebenen umhüllen eine Cylinderfläche 2. Grades (755). Es ist das leicht einzusehen, da bei der projektiven Beziehung von k und k, den vertikalen Sehnen von k vertikale Sehnen von k., entsprechen; diese schneiden AB und A, B, in projektiven Punktreihen, deren Verbindungslinien einen Kegelschnitt u (in der Figur eine Hyperbel) umhüllen. Die Tangenten von u sind die Schnittlinien jener Vertikalebenen mit der Symmetrieebene, oder die orthogonalen Projektionen der Erzeugenden auf diese Ebene. O ist offenbar der Mittelpunkt der Hyperbel u, da je zwei parallele Erzeugende von O gleichen Abstand haben. CD und CD, sind entsprechende vertikale Sehnen von k. und k., sie schneiden AB und A, B, in N und N; NN, ist also eine Tangente von u und zwar eine Asymptote, da sie durch den Mittelpunkt von u geht. Ist L der Pol von CD in Bezug auf k und L., der von CD, in Bezug auf k., so sind auch L und L, entsprechende Punkte der Reihen auf AB und A, B, denn es ist (ABNL) = (A, B, NL) = – 1. LL, geht durch O und ist die andere Asymptote von u. Die Hyperbel u berührt die Geraden AA, BB, AB, A, B, ihre Berührungspunkte sind die Mittelpunkte der auf ihnen durch die Asymptoten begrenzten Strecken. Hieraus erkennt man, daß der scheinbare Umriß in TT, von u" und den Geraden AA, A, BB, gebildet wird. Von u“ sind allerdings beim Umriß nur die Stücke beteiligt, die sich an die Asymptote n' anschließen, und zwar bis zu ihren Berührungspunkten G" und H" mit A"A" und BB“. Im Aufriß wird der Umriß von den Projektionen der beiden Kurven l’ und , gebildet, die die Fläche begrenzen und in Parallelebenen zu TI, angenommen sind. Jede Vertikalebene durch eine Erzeugende enthält, wie wir sahen, einen Kegelschnitt der Wölbfläche. Dieser Kegelschnitt ist eine Hyperbel, ihre Hauptachse liegt in der Symmetrieebene, ihr Mittelpunkt auf MM, und die Endpunkte dieser Achse auf AA, und BB. Die Asymptoten dieser Hyperbel sind zu den in ihrer Ebene liegenden Erzeugenden parallel; denn zu jeder von diesen giebt es eine parallele Erzeugende, die demnach einen unendlich fernen Punkt jener Hyperbel liefert. Durch jede Tangente von u geht eine Vertikalebene, die zwei reelle, oder konjugiert imaginäre, zur Tangente symmetrische Erzeugende enthält und die Fläche somit noch in einem Kegelschnitt schneidet. Dieser ist eine Ellipse (oder Kreis), falls die Erzeugenden imaginär sind, zu ihnen gehören auch die Kreise k und k,. Die Erzeugenden schneiden alle auf der Fläche liegenden Kegelschnitte in projektiven Punktreihen (752). Es soll nun gezeigt werden, daß die zweiten Projektionen dieser Kegelschnitte sich in perspektiver Lage befinden, und zwar ist O“ das Centrum und C“D“ die Achse der Perspektivität. Da die Erzeugenden CC, und DD, zu TI, senkrecht sind, gehen die genannten Projektionen alle durch C" und D". Wählen wir unter diesen irgend zwei Kegelschnitte y“ und z“ aus, so werden sie von den Projektionen der Erzeugenden, die alle durch O“ gehen, in projektiven Punktreihen geschnitten. Sind K', X“ irgend zwei Punkte von y" und Z", Z" die entsprechenden Punkte von z“, so ist die perspektive Lage von y“ und z“ bewiesen, sobald man nachweist, daß sich X“X“ und Z"Z“ auf C"D" schneiden. Die Gerade O'N'Z“ schneidet aber y“ und z“ noch in zwei entsprechenden Punkten K“ und Z". Nun sind aber die Strahlbüschel M'(C“D"K"M") und Z" (C"D"Z"Z“) projektiv und, da sie einen Strahl gemein haben, perspektiv; ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich deshalb auf einer Geraden und das ist die Gerade C“D“. In der Figur ist die Kurve y eine Ellipse und zwar diejenige, deren Ebene durch den Mittelpunkt O der Fläche geht; z ist eine Hyperbel (z“ ist so weit ausgezogen, als z auf dem dargestellten Teil der Fläche liegt). Jede Gerade durch O" trifft die Kurven k“, k“, y“, z“ in je einem Punkte, deren Tangenten durch den nämlichen Punkt von C"D" gehen (z. B. in der Figur durch T). Die Fläche ist von zwei zum Aufriß parallelen Schnittkurven l und l, begrenzt. Der auf PoP“ liegende Punkt S“ von 1,“ bestimmt sich daraus, daß P“S“: P“P“ gleich dem Verhältnis der Abstände der Ebene durch k von den Ebenen durch - und durch k ist. 775. Alle zu TT, parallelen Tangenten der Fläche in den Punkten einer Erzeugenden PP, bilden eine Schar eines hyperbolischen Paraboloides, ihre zweiten Projektionen umhüllen also eine Parabel. Diese berührt die Tangenten Po"T" von k“ und Po"T" von k,“ (T" auf C“D") sowie PoP“ im Punkte O“, denn sie berührt die Projektionen zweier benachbarter Erzeugenden, zu denen PP, gehört. Die Tangente t“ von “ in S“ findet sich als Tangente jener Parabel nach dem Brianchon'schen Satze (O"U|P"T, U = S“T">< O"U, t“|P"U). Hieraus ergiebt sich auch die Tangentialebene in S. Ist umgekehrt eine Ebene durch PP gegeben, so findet man ihren Berührungspunkt wie folgt. Man ziehe O"U|P"T und durch Po“ eine Parallele zur zweiten Spur der Ebene, beide Geraden schneiden sich in U und der gesuchte Punkt liegt auf UT. Die Haupttangenten der Fläche in den Punkten einer Erzeugenden PP, bilden eine Schar eines Hyperboloides, zu der auch die Gerade in gehört. Letztere ist zu TI, normal, deshalb projizieren

Z16 Verschiedene Flächen.

sich die Haupttangenten im Aufriß als die Geraden eines Büschels. Kennt man also diejenigen in P und P, so sind sie hiernach auch für jeden beliebigen Punkt der Erzeugenden bekannt. Die Haupttangente in P. ergiebt sich wie früher (769). Jede Ebene durch die Erzeugende PP, hat auf ihr einen Berührungspunkt und schneidet k, in einem Punkt. Dreht sich die Ebene um die Erzeugende, so bilden ihre Berührungspunkte auf dieser und ihre Schnittpunkte auf k, projektive Punktreihen. Den Punkten P, P, P., (P, auf n) der ersten Reihe entsprechen die Punkte P, Q, Q, der zweiten Reihe (PQ, parallel zur Tangente von k in P). Diese Reihe projizieren wir aus Q, auf die Tangente von k., in P% und erhalten die Punkte P, V, W (W auf der Tangente von k., in Q, W auf Q/Q). Die Geraden PW und P„W schneiden sich dann in einem Punkte X der gesuchten Haupttangente. Die Konstruktion ist nur im Aufriß durchgeführt (P“ = 0"); im Grundriß ist X" = PW" x P"W" (W" und W" auf k“)

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776. Bewegt sich eine Fläche in stetiger Weise, wobei sie ihre Gestalt entweder fortwährend beibehält oder stetig ändert, so wollen wir alle Flächen, die sie nach und nach durchläuft, als eine stetige Folge von Flächen bezeichnen. Von einer stetigen Folge von Flächen machen wir die folgende Voraussetzung. Durchläuft eine Fläche die aufeinanderfolgenden Flächen einer stetigen Folge, so sollen sich ihre Schnittkurven mit einer festen, aber beliebigen Fläche der Folge einer bestimmten Grenzkurve unbegrenzt nähern, wenn sich die veränderliche Fläche der festen unbegrenzt nähert. Dabei soll diese Grenzkurve die gleiche sein, einerlei ob sich die veränderliche Fläche der festen in der einen oder andern Richtung der Flächenfolge nähert, wobei dann auch die Annäherung der Schnittkurve an die Grenzkurve von der einen oder andern Seite erfolgt. Unter dieser Voraussetzung bilden die Grenzkurven auf den einzelnen Flächen der Folge selbst eine stetige Folge, indem sich jede von den benachbarten Kurven der Lage und Gestalt nach nur unendlich wenig unterscheidet. Sind nämlich d, und O, zwei benachbarte Flächen der Folge, s, und s, die auf ihnen liegenden Grenzkurven und s, ihre Schnittkurve, so unterscheiden sich s, und s, nur unendlich wenig von s, und also auch voneinander. Eine stetige Folge von Flächen besitzt eine gemeinsame Hüllfläche, die jede von ihnen längs einer Kurve, der sogenannten Charakteristik, berührt; diese Charakteristik ist identisch mit der vorher besprochenen Grenzkurve. Zunächst ist klar, daß zwei benachbarte Flächen d, und O, in den Punkten ihrer Schnittkurve s, Tangentialebenen besitzen, die einen unendlich kleinen Winkel einschließen. Denn sonst wären die beiden Flächen nicht in ihrer ganzen Ausdehnung benachbart und könnten nicht durch eine unendlich kleine Änderung (in Lage und Gestalt) ineinander übergeführt werden. Daraus folgt dann weiter, daß die Fläche, die durch die Grenzkurven sämtlicher Flächen der stetigen Folge geht, diese längs derselben berührt. Sind nämlich P., P., P., drei benachbarte Punkte der Kurven s, s, s, so besitzt das von ihnen gebildete Dreieck bei P%, einen Winkel, der sich von 2R nur unendlich wenig unterscheidet, so daß seine Winkel bei P. und P. unendlich klein sind. Deshalb schließen in Po, auch die Tangentialebenen an d, und an die Fläche, die durch s, und so geht, einen unendlich kleinen Winkel ein; d. h. beide Flächen berühren sich längs s. Je zwei benachbarte Charakteristiken werden sich im allgemeinen schneiden und zwar werden die Tangenten in ihren Schnittpunkten unendlich kleine Winkel miteinander einschließen, da sich solche Charakteristiken nur unendlich wenig unterscheiden. Alle Charakteristiken besitzen deshalb eine gemeinsame Hüllkurve und diese ist eine Rückkehrkante der Hüllfläche. Denn zwei benachbarte Kurven s, s, begrenzen zwei Flächenstreifen, die in einem Kurvenelement QQ, jener Hüllkurve aneinanderstoßen, auf der nämlichen Seite von Q, Q, liegen und deren Tangentialebenen in zu Q, Q, benachbarten Punkten unendlich kleine Winkel miteinander einschließen. Es mag hier noch hervorgehoben werden, daß eine Folge von Flächen, von denen jede aus der vorhergehenden durch eine unendlich kleine Änderung in Lage und Gestalt hervorgeht, nicht stetig zu sein braucht. Wählt man z. B. auf einer Kugel zwei beliebige Kreise, so giebt es durch jeden von ihnen eine Kugel, die sich von der erstgenannten nur unendlich wenig unterscheidet; gleichwohl können diese drei Kugeln nicht als drei benachbarte Flächen einer stetigen Folge auftreten, da die aufeinander folgenden Schnittkurven sich um endliche Größen unterscheiden. Beispiele von Hüllflächen haben wir bei den Rotations- und Schraubenflächen kennen gelernt, insbesondere die Hüllflächen einer um eine Achse rotierenden und einer sich schraubenförmig um eine Achse bewegenden Kugel. Natürlich kann eine Fläche in mehr

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