Um Punkte der in einer Ehene E liegenden Schnittkurve zu erhalten, benutze man zu П, parallele Hilfsebenen; sie schneiden das Cylindroid in je zwei parallelen Erzeugenden und E in je einer Geraden. Unter den Parallelebenen zu ПT, giebt es eine, die das Cylindroid und die Ebene E in drei Parallelen schneidet, ihre Schnittlinie mit E ist die Doppelasymptote. Da dieselbe die in dieser Ebene liegenden Sehnen von k und k, in dem gleichen Verhältnisse teilt, so entsprechen sich die Teilpunkte bei der affinen Beziehung der Kurven k und k1. Sind also und e4 die Spuren von E in den Ebenen der Kegelschnitte k und k1 und entspricht der Spur e, vermöge der affinen Beziehung die Gerade f in der Ebene von k1, so geht die Doppelasymptote durch den Punkt ex f. In der Figur ist die Konstruktion weggelassen.

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772. Um die Haupttangente in einem beliebigen Punkte des Cylindroides zu finden, lege man durch ihn die Erzeugende GG1 und suche zunächst in ihrem Schnittpunkte G mit k die Haupttangente auf. Jede Ebene durch g=GG1 schneidet k in einem Punkte und berührt die Fläche in einem Punkte von g; dreht sich die Ebene um g, so entstehen auf k und g projektive Punktreihen (769). Den Punkten G, P, E von k, wo GP ein Durchmesser und EG eine vertikale Sehne von k ist, entsprechen hierbei die Punkte G, H, ∞ von g, wenn H der Berührungspunkt der Ebene gP ist. Projiziert man die Punktreihe von k aus einem ihrer Punkte, etwa E, auf seine Tangente GR, so ist diese Reihe zu der Reihe auf g perspektiv. Es entsprechen sich dabei die Punkte G, H, oo auf g und G, M, J auf GR, und zwar ist J=GR× CD der Pol von EG und GM=2GJ, da EP || CD ist. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte, nämlich HM und Joo, schneiden sich in einem Punkte N der Haupttangente von G (769). Nun ist JN=GH, daraus ergiebt sich die folgende Konstruktion. Man bestimme zunächst H, indem man die Tangente von k" in G" mit s" in R und den Durchmesser G"P" mits" in R schneidet, die Strecke RR auf KK1 von K aus aufträgt und ihren Endpunkt mit S verbindet; auf dieser Geraden liegt dann H'. In der Figur ist nur RR auf KK, aufgetragen, die Verbindungslinie des Endpunktes mit S liefert hier H (G'H' = G'H', G' E'). } Nun ziehe man durch J' (J" G"R。 ×C"D", oder (C'D'E'J') = -1) eine Gerade parallel und gleich lang zu E'H', so liegt ihr Endpunkt N' auf der ersten Projektion der Haupttangente von G. Macht man J"N"‡G"H", so ist G′′N" ihr Aufriẞ.

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Zieht man durch R。 eine Parallele zu g, so trifft diese die

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Haupttangente GN in einem Punkte X, ihre erste Projektion ist SX', ihre zweite RX". Es läßt sich nun zeigen, daß die Haupttangenten in allen Punkten von g so beschaffen sind, daß ihre ersten Projektionen durch X' laufen. Geht die Haupttangente in G1 durch N1, so ist J'N'ĦE'H ̧ ́(J'J,'\\g', ♫ auf C ́D'); denn die Tangente von k” in G1′′ und der Durchmesser G1"O," schneiden s" in zwei Punkten, deren Abstand RR ist, wie leicht einzusehen. Deshalb geht auch E'N' durch X', da J'J'N'N' ist, und somit gilt das Gleiche für die ersten Projektionen aller Haupttangenten, deren Berührungspunkte auf g liegen. Diese bilden nämlich die eine Schar eines hyperbolischen Paraboloides und projizieren sich auf П1 als Büschel, da sich die Geraden der anderen Schar als Parallelen (zu x) projizieren. Alle Haupttangenten in den Punkten von g treffen die Vertikale durch X' in Punkten, deren Abstände von X gleich den Verschiebungsgrößen der Ebenen durch s und ihre Berührungspunkte sind. Denn diese Punkte liegen auf Parallelen zu g, welche s in Punkten schneiden, die von R, die genannten Abstände haben (G,"Y tangiert k1", RY=0"0", YZ" ||g", Z'=X', X"Z"=0,"0,′′).

Hiernach ist die Haupttangente in einem beliebigen Punkte von g leicht zu zeichnen. Im Punkte gu teilen die Normale zu П2 und die Tangente von u den Winkel der Erzeugenden und der Haupttangente harmonisch (796); deshalb geht die Tangente von u' im Punkte g'xu durch den Mittelpunkt des von X' auf g' gefällten Lotes.

773. Die Wölbfläche des schiefen Durchgangs. Die Erzeugenden dieser Fläche treffen gleichzeitig zwei parallel gestellte, gleich große Kreise k und k1 und eine zu den Ebenen dieser Kreise normale Gerade n, die durch den Mittelpunkt O der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte M und M, geht. In der Fig. 477 ist П, parallel zu den Kreisen und П, parallel zu M M1 genommen; П1 ist offenbar auch parallel zu î, da æÂ2 ist. Die Durchstoßpunkte von n mit den Kreisebenen seien N und N. Die Horizontalebene durch n (und MM1) ist eine Symmetrie ebene der Wölbfläche; denn jeder der beiden Kreise k und k, liegt zu ihr symmetrisch. Je zwei Erzeugende liegen zu der genannten Ebene symmetrisch und schneiden sich in einem Punkte der Geraden n, die eine Doppelgerade der Wölbfläche ist.

Jede Ebene durch die Doppelgerade n schneidet die Wölbfläche in zwei parallelen Erzeugenden, die von O gleich weit abstehen. Jede Gerade durch O trifft also die Fläche in zwei Punkten, die von O gleich weit entfernt sind; O ist Mittelpunkt der Fläche. Zum Beweise legen wir durch n eine beliebige

Ebene, die k in PQ und k1 in P11 schneidet. Die Sehnen PQ und P11 gehen durch N resp. N1, sind parallel und gleich lang, wie man sofort aus dem Aufriß erkennt, da O": N" N" die Strecke M"M" halbiert. PP1 und QQ, sind demnach zwei parallele Erzeugende der Fläche, während PQ1 und P1Q sich in O schneiden;

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O ist der Mittelpunkt des Parallelogrammes PPQ1Q und hat von den Erzeugenden PP1 und QQ1 gleichen Abstand. Dreht sich die genannte Ebene um n, so beschreiben die Erzeugenden PP; und QQ, die Fläche, während die Geraden PQ, und P1Q einen Kegel mit dem Scheitel O beschreiben, der die Kreise k und k, trägt. Die Mantellinien dieses Kegels treffen auch die Leitkurven k, k

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und n, so daß die gemeinsamen Sekanten dieser drei Kurven einesteils die Wölbfläche und anderenteils einen Kegel 2. Grades bilden. Die Erzeugenden der Wölbfläche schneiden die Kreise k und k in projektiven Punktreihen. Lassen wir nämlich wieder die Ebene durch die parallelen Erzeugenden PP, und QQ, sich drehen, so sind die von P auf k und von Q, auf k, beschriebenen Reihen kongruent, also projektiv, und ebenso sind die von Q1 auf k1 und von P1 auf k beschriebenen Reihen projektiv, denn sie sind involutorisch. Daraus folgt unsere Behauptung und wir schließen nach 751, daß die Wölbfläche vom 4. Grade ist und außer der Doppelgeraden n noch einen unendlich fernen Doppelkegelschnitt besitzt. Das letztere sehen wir leicht direkt ein. Da die Erzeugenden paarweise parallel sind, schneiden sie sich in den Punkten einer unendlich fernen Doppelkurve. Diese ist ein Kegelschnitt, sobald der Richtkegel der Wölbfläche vom 2. Grade ist, was wir jetzt zeigen wollen. Als Scheitel des Richtkegels wählen wir den Punkt N und suchen seine Schnittkurve i mit der Ebene von k. Ziehen wir durch N eine Strecke NJ, parallel und gleich lang mit der Erzeugenden PP1, so liegt J1 auf der gesuchten Kurve . Deshalb ist PN=P1J1, und da nach früherem PN= N,Q, ist, folgt weiter: PJ1 = NQ1, woraus sich dann unmittelbar: M1J1 MN ergiebt. Der Richtkegel mit dem Scheitel N schneidet somit die Ebene von k, in einem zu k konzentrischen Kreise, der durch N, geht. Die Horizontalebene durch n ist auch Symmetrieebene des Richtkegels, sie schneidet ihn in n und einer zweiten, zu MM1 parallelen Mantellinie. Da aber die Normalebenen zu n Kreisschnitte des Richtkegels liefern, so müssen dies auch die Normalebenen zu MM1 thun.

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Die Erzeugenden A1 und BB1 in der Symmetrieebene sind Torsallinien der Wölbfläche, ihre Kuspidalpunkte K und K1 liegen auf n. Das Stück KK, der Doppelgeraden verläuft isoliert, ihre anderen Teile liegen auf der Fläche. Außerdem giebt es noch zwei Torsallinien durch die Berührungspunkte der von N an den Kreis k gelegten Tangenten (in der Figur sind sie imaginär), ihre Kuspidalpunkte sind unendlich fern. Im vorliegenden Falle, wo N innerhalb k und N innerhalb k liegt, giebt es zwei reelle, zu n parallele Erzeugende CC, und DD.

774. Jede Vertikalebene durch eine Erzeugende der Wölbfläche, etwa PP1, enthält noch eine zweite, etwa RR1, die sich mit ihr auf n schneidet; beide liegen symmetrisch zu der Horizontalebene durch n. Eine solche Ebene schneidet die Fläche noch in einem Kegelschnitt, und alle diese Ebenen umhüllen eine Cylinderfläche 2. Grades (755).

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Es ist das leicht einzusehen, da bei der projektiven Beziehung von k und k1 den vertikalen Sehnen von k vertikale Sehnen von k1 entsprechen; diese schneiden AB und AB1 in projektiven Punktreihen, deren Verbindungslinien einen Kegelschnitt u (in der Figur eine Hyperbel) umhüllen. Die Tangenten von u sind die Schnittlinien jener Vertikalebenen mit der Symmetrieebene, oder die orthogonalen Projektionen der Erzeugenden auf diese Ebene. O ist offenbar der Mittelpunkt der Hyperbel u, da je zwei parallele Erzeugende von O gleichen Abstand haben. CD und C1D1 sind entsprechende vertikale Sehnen von k und k1, sie schneiden AB und A11 in N und No1; NN ist also eine Tangente von u und zwar eine Asymptote, da sie durch den Mittelpunkt von u geht. Ist L der Pol von CD in Bezug auf k und L1 der von С1Þ1 in Bezug auf k1, so sind auch L und L1 entsprechende Punkte der Reihen auf AB und 1⁄4Â1, denn es ist (ABNL) = (‚ ̧Ñ11) = −1. LL, geht durch O und ist die andere Asymptote von u. Die Hyperbel u berührt die Geraden ÁÁ, BB, AB, AВ1, ihre Berührungspunkte sind die Mittelpunkte der auf ihnen durch die Asymptoten begrenzten Strecken.

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Hieraus erkennt man, daß der scheinbare Umriß in π1 von u und den Geraden A'A', B'B' gebildet wird. Von u' sind allerdings beim Umriß nur die Stücke beteiligt, die sich an die Asymptote n' anschließen, und zwar bis zu ihren Berührungspunkten G' und H' mit A'A' und B'B'. Im Aufriß wird der Umriß von den Projektionen der beiden Kurven 7 und gebildet, die die Fläche begrenzen und in Parallelebenen zu П2 angenommen sind.

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Jede Vertikalebene durch eine Erzeugende enthält, wie wir sahen, einen Kegelschnitt der Wölbfläche. Dieser Kegelschnitt ist eine Hyperbel, ihre Hauptachse liegt in der Symmetrieebene, ihr Mittelpunkt auf M12 und die Endpunkte dieser Achse auf A1 und BB1. Die Asymptoten dieser Hyperbel sind zu den in ihrer Ebene liegenden Erzeugenden parallel; denn zu jeder von diesen giebt es eine parallele Erzeugende, die demnach einen unendlich fernen Punkt jener Hyperbel liefert. Durch jede Tangente von u geht eine Vertikalebene, die zwei reelle, oder konjugiert imaginäre, zur Tangente symmetrische Erzeugende enthält und die Fläche somit noch in einem Kegelschnitt schneidet. Dieser ist eine Ellipse (oder Kreis), falls die Erzeugenden imaginär sind, zu ihnen gehören auch die Kreise k und k. Die Erzeugenden schneiden alle auf der Fläche liegenden Kegelschnitte in projektiven Punktreihen (752). Es soll nun gezeigt werden, daß die zweiten Projektionen dieser Kegelschnitte sich in perspektiver Lage befinden, und zwar ist O" das