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scheinbaren Umriß. Denn die asymptotische Ebene einer jeden Erzeugenden ist zu TI, parallel, also steht die Tangentialebene in ihrem Centralpunkte auf TI, senkrecht. Der Umriß u hat die beiden

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Torsallinien zu Asymptoten; die Konstruktion einzelner Punkte von u findet sich weiter unten; u“ umhüllt die Projektionen aller Erzeugenden. 771. Jede Ebene durch s schneidet den zu Grunde gelegten Cylinder und das Cylindroid in zwei kongruenten Kegelschnitten; indem man den ersteren um eine bestimmte Strecke – die Verschiebungsgröße – in der Richtung von s verschiebt, erhält man den letzteren. Ist nämlich A die schneidende Ebene und sind l, und l die Schnittkurven mit Cylinder und Cylindroid, so teilt l die zwischen k und k, liegenden Stücke aller Erzeugenden in dem nämlichen Verhältnisse, wie unmittelbar aus dem Grundrisse ersichtlich ist, und dies gilt auch für die Teile der Fläche, die sich über k oder k hinaus erstrecken. Sind also P, P, Q die Punkte einer beliebigen Erzeugenden auf k, k, l und sind P, P%, Q, die Punkte der entsprechenden Mantellinie auf k, k, l, so ist QQ, : PP =PQ: PP, oder QQ,: 0,0% = PQ: PP" = const. Hieraus ersieht man, daß die Verschiebungsgröße für alle Punkte der Ebene A dieselbe ist, nämlich gleich QQ. Trägt man im Grundrisse die Strecke O,0, = KK, parallel zur ersten Projektion der Erzeugenden ein, so daß K auf k“ und K, auf k“ liegt, dann schneidet die Gerade l' auf ihr die Strecke KL = QQ, ab. Die erste Spur einer jeden Ebene durch s schneidet auf KK, von K aus gerechnet, die Verschiebungsgröße ab. Um die Tangentialebene der Fläche in einem beliebigen Punkte Q zu bestimmen, suche man die Tangente des durch Q laufenden Kegelschnittes l. Nun geht l aus , durch Parallelverschiebung hervor; demnach ist auch die Tangente von l in Q parallel zu der von 1% in Q, und sie schneiden s in zwei Punkten T' und 1% vom Abstande TT, = QQ, gleich der Verschiebungsgröße. Durch T, geht aber auch die Tangente von k in P, da k und l, Schnitte desselben Cylinders und P, Q, Punkte der nämlichen Mantellinie sind. Trifft also die Erzeugende durch Q den Kegelschnitt k in P, und schneidet die zugehörige Tangente von k die Gerade s in T', so liegt der Punkt T' von s auf der Tangentialebene von Q, wenn T„T" gleich der Verschiebungsgröße ist (TT'= KL). Soll umgekehrt der Punkt Q der Erzeugenden PP, gefunden werden, dessen Tangentialebene durch T' auf s geht, so ziehe man die Tangente von k in P, sie schneidet s in T, und trage auf KK, die Strecke KL = TT" auf; dann liegt Q auf SL (S erster Spurpunkt von s). Der Punkt U von PP, liegt auf dem Umrisse u, wenn seine Tangentialebene zu TT, normal ist; sie schneidet also s in einem Punkte V, dessen Projektion V“ auf P“P“ liegt. Trägt man demnach T„W“ auf KK, als KW auf, so liegt U" auf SW. In der Figur ist u“ nicht eingezeichnet; Lage und Form dieser Kurve sind ja klar. Jeder ebene Schnitt des Cylindroides ist eine Kurve 4. Ordnung, die eine Doppelasymptote besitzt, d. h. eine Asymptote für zweimal zwei im Unendlichen zusammenhängende Kurvenzweige, da die Fläche im Unendlichen eine Selbstberührungsgerade aufweist. Das Verhalten der Kurve gegenüber dieser Doppelasymptote ist dem zweier Hyperbeln mit gemeinsamer Asymptote dieser gegenüber analog. Es ist das natürlich nur der Fall, wenn die genannten Kurvenzweige reell sind; sie können jedoch auch konjugiert imaginär werden, was bei einer gewöhnlichen Asymptote nicht eintreten kann. Um Punkte der in einer Ehene E liegenden Schnittkurve zu erhalten, benutze man zu TI, parallele Hilfsebenen; sie schneiden das Cylindroid in je zwei parallelen Erzeugenden und E in je einer Geraden. Unter den Parallelebenen zu TI, giebt es eine, die das Cylindroid und die Ebene E in drei Parallelen schneidet, ihre Schnittlinie mit E ist die Doppelasymptote. Da dieselbe die in dieser Ebene liegenden Sehnen von k. und k., in dem gleichen Verhältnisse teilt, so entsprechen sich die Teilpunkte bei der affinen Beziehung der Kurven k und k. Sind also e, und e, die Spuren von E in den Ebenen der Kegelschnitte k und k, und entspricht der Spur e vermöge der affinen Beziehung die Gerade f in der Ebene von k., so geht die Doppelasymptote durch den Punkt e. xf. In der Figur ist die Konstruktion weggelassen. --772. Um die Haupttangente in einem beliebigen Punkte des Cylindroides zu finden, lege man durch ihn die Erzeugende GG, und suche zunächst in ihrem Schnittpunkte G mit k die Haupttangente auf. Jede Ebene durch g= GG, schneidet k in einem Punkte und berührt die Fläche in einem Punkte von g; dreht sich die Ebene um g, so entstehen auf k und g projektive Punktreihen (769). Den Punkten G, P, E von k, wo GP ein Durchmesser und EG eine vertikale Sehne von k ist, entsprechen hierbei die Punkte G, H, 00 von g, wenn H der Berührungspunkt der Ebene gP ist. Projiziert man die Punktreihe von k aus einem ihrer Punkte, etwa E, auf seine Tangente GR, so ist diese Reihe zu der Reihe aufgperspektiv. Es entsprechen sich dabei die Punkte G, H, 00 auf g und G, M, J auf GR, und zwar ist J= GR, × CD der Pol von EG und GM =2GJ, da EP | CD ist. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte, nämlich HM und Joo, schneiden sich in einem Punkte N der Haupttangente von G (769). Nun ist JN=4GH, daraus ergiebt sich die folgende Konstruktion. Man bestimme zunächst H, indem man die Tangente von k“ in G“ mit s” in R, und den Durchmesser G"P" mit s“ in R schneidet, die Strecke RR, auf KK, von K aus aufträgt und ihren Endpunkt mit S verbindet; auf dieser Geraden liegt dann H”. In der Figur ist nur RR, auf KK, aufgetragen, die Verbindungslinie des Endpunktes mit S liefert hier H," (GH, = G/H“, G' = E"). Nun ziehe man durch Jo (J“ = G“R, × C"D“, oder (C"DE"J") =–1) eine Gerade parallel und gleich lang zu E"H,“, so liegt ihr Endpunkt N" auf der ersten Projektion der Haupttangente von G. Macht man J"N" H G“H,“ so ist G'N' ihr Aufriß. Zieht man durch R, eine Parallele zu g, so trifft diese die Haupttangente GM in einem Punkte X, ihre erste Projektion ist SX, ihre zweite R„X“. Es läßt sich nun zeigen, daß die Haupttangenten in allen Punkten von g so beschaffen sind, daß ihre ersten Projektionen durch X" laufen. Geht die Haupttangente in G., durch M., so ist J/N/HE HA (VJ |g, J% auf C/D,); denn die Tangente von k“ in G“ und der Durchmesser G'0“ schneiden s” in zwei Punkten, deren Abstand RR, ist, wie leicht einzusehen. Deshalb geht auch E"N" durch X", da JJ" = N'N' ist, und somit gilt das Gleiche für die ersten Projektionen aller Haupttangenten, deren Berührungspunkte auf g liegen. Diese bilden nämlich die eine Schar eines hyperbolischen Paraboloides und projizieren sich auf TT, als Büschel, da sich die Geraden der anderen Schar als Parallelen (zu) projizieren. Alle Haupttangenten in den Punkten von g treffen die Vertikale durch X“ in Punkten, deren Abstände von X gleich den Verschiebungsgrößen der Ebenen durch s und ihre Berührungspunkte sind. Denn diese Punkte liegen auf Parallelen zu g, welche s in Punkten schneiden, die von R., die genannten Abstände haben (G“X tangiert k“, R„Y=0'0“, MZ'g“, Z=X, X"Z“ O’0“). Hiernach ist die Haupttangente in einem beliebigen Punkte von g leicht zu zeichnen. Im Punkte gxu teilen die Normale zu TT, und die Tangente von u den Winkel der Erzeugenden und der Haupttangente harmonisch (796); deshalb geht die Tangente von u“ im Punkte g/X u“ durch den Mittelpunkt des von X“ auf g/ gefällten Lotes. 773. Die Wölbfläche des schiefen Durchgangs. Die Erzeugenden dieser Fläche treffen gleichzeitig zwei parallel gestellte, gleich große Kreise k und k, und eine zu den Ebenen dieser Kreise normale Gerade n, die durch den Mittelpunkt O der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte Mund M. geht. In der Fig. 477 ist TT, parallel zu den Kreisen und TT, parallel zu MM genommen; TT, ist offenbar auch parallel zu n, da TT, LTT, ist. Die Durchstoßpunkte von n mit den Kreisebenen seien N und N. Die Horizontalebene durch n (und MM) ist eine Symmetrieebene der Wölbfläche; denn jeder der beiden Kreise k und k, liegt zu ihr symmetrisch. Je zwei Erzeugende liegen zu der genannten Ebene symmetrisch und schneiden sich in einem Punkte der Geraden n, die eine Doppelgerade der Wölbfläche ist. Jede Ebene durch die Doppelgerade in schneidet die Wölbfläche in zwei parallelen Erzeugenden, die von Ogleich weit abstehen. Jede Gerade durch O. trifft also die Fläche in zwei Punkten, die von O. gleich weit entfernt sind; O ist Mittelpunkt der Fläche. Zum Beweise legen wir durch in eine beliebige Ebene, die k in PQ und k, in PQ, schneidet. Die Sehnen PQ und P„Q, gehen durch N resp. N%, sind parallel und gleich lang, wie man sofort aus dem Aufriß erkennt, da O" = N” = N“ die Strecke M"M“ halbiert. PP, und QQ, sind demnach zwei parallele Erzeugende der Fläche, während PQ, und PQ sich in Oschneiden;

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Fig. 477.

O ist der Mittelpunkt des Parallelogrammes PPQ, Q und hat von den Erzeugenden PP, und QQ, gleichen Abstand. Dreht sich die genannte Ebene um n, so beschreiben die Erzeugenden PP und QQ, die Fläche, während die Geraden PQ, und PQ einen Kegel mit dem Scheitel O beschreiben, der die Kreise k und k, trägt. Die Mantellinien dieses Kegels treffen auch die Leitkurven k, k,

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