4 gehört dem wahren, seine Projektion auf П dem scheinbaren Umriß an. Da die asymptotische Ebene einer jeden Erzeugenden auf der Verbindungslinie ihres ersten Spurpunktes mit S senkrecht steht, so geht die Tangentialebene in ihrem Centralpunkte (723), die auf jener senkrecht steht, durch S. Der Ort dieser Centralpunkte ist die Striktionslinie. Die Striktionslinie der Normalenfläche ist also die Berührungskurve des von S an die Fläche gelegten Tangentialkegels. 768. Zur Konstruktion der Tangentialebene in einem Punkte unserer Fläche benutzen wir am besten die horizontale Tangente in diesem Punkte, zu der dann die erste Spurlinie der Ebene parallel ist. Die horizontalen Flächentangenten in allen Punkten einer Erzeugenden bilden aber die eine Schar eines hyperbolischen Paraboloides, ihre ersten Projektionen umhüllen deshalb eine Parabel. Diese wird von den Achsen der Kurve c, als Projektionen von / und m, von der Projektion der Erzeugenden und von der durch ihren ersten Spurpunkt gehenden Tangente von c berührt. Die erste Projektion der horizontalen Tangente in einem Punkte N einer beliebigen Erzeugenden p läßt sich somit nach dem Brianchon'schen Satze konstruieren. Man ziehe durch N' eine Parallele zu DE und durch J'=p' × AB eine Parallele zur Tangente t in P; die Verbindungslinie ihres Schnittpunktes mit S' schneidet t in einem Punkte M der Projektion der gesuchten Tangente. Die Tangentialebene in N hat eine zu N'M parallele erste Spurlinie. Der Berührungspunkt K' der Erzeugenden p' mit dem Umriß u' ist die Projektion des Punktes K von p, dessen Tangentialebene vertikal steht. Da das vorher genannte Paraboloid die Normalenfläche längs p berührt, so haben beide Flächen in K die nämliche Tangentialebene, d. h. jene Parabel berührt ebenfalls p' in K'. Nach dem Brian chon'schen Satze verbinde man I px ED mit tx AB und ziehe durch J' eine Parallele zu ED; die Parallele zu t durch den Schnittpunkt beider Geraden geht dann durch K'. = 769. Zum Schluß geben wir noch die Konstruktion der Haupttangente h im Punkte P von c; die gleiche Konstruktion läßt sich in jedem Punkte der Normalenfläche anwenden, nur tritt dann an Stelle der Tangente von c im Punkte P die horizontale Tangente des betreffenden Punktes. Wir gehen bei unserer Betrachtung von dem Büschel der Ebenen durch die Erzeugende p aus. Zu diesem ist einerseits die auf p liegende Reihe ihrer Berührungspunkte projektiv (722), andererseits aber auch der Strahlbüschel ihrer ersten ROHN u. PAPPERITZ. II. 20 Spurlinien und die auf e liegende Punktreihe ihrer Schnittpunkte mit c. Die in einer Ebene Σ des Büschels liegende Gerade s, welche durch deren Berührungspunkt und deren Schnittpunkt mit e geht, berührt die Fläche in einem Punkte von p und schneidet sie in dem entsprechenden Punkte von c. Dreht sich nun die Ebene Σ um p, bis sie sich mit der Tangentialebene in P deckt, so bewegt sich s derart, daß ihr Berührungspunkt und ihr Schnittpunkt gleichzeitig nach P rücken, und s wird zur Haupttangente in P. Die Geraden s verbinden aber entsprechende Punkte der projektiven Punktreihen auf p und c. Projiziert man nun die auf c liegende Punktreihe aus einem beliebigen Punkte von c auf die Tangente t des Punktes P, so ist auch die Punktreihe auf t projektiv zu der Reihe auf p; ja diese Reihen sind sogar perspektiv, da ihr gemeinsamer Punkt P sich selbst entspricht. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte der Reihen auf p und t laufen alle durch den nämlichen Punkt H, und HP h ist die gesuchte Haupttangente. Die Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von p und t fällt nämlich mit der Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von p und с zusammen. Denn der Abstand der ent = sprechenden Punkte von t und e wird unendlich klein von der 2. Ordnung, wenn ihre Abstände von P unendlich klein von der 1. Ordnung werden. Gleiches gilt auch für die Projektionen. Den Punkten P, J', L' von p' entsprechen die Punkte P, Q, Q1 von c (QQ, Durchmesser von c). Projizieren wir die letzteren aus P1 auf t (PP1 Durchmesser von c), so erhalten wir die Punkte P, J und L1 (PJ1 = 2PO, PL1 = 2PF, F=t× AB); H ist demnach der Schnittpunkt der Geraden JJ, und LL. Wir haben also nur auf t zwei Punkte zu bestimmen, die von P doppelt so weit abstehen wie ihre Schnittpunkte mit den Achsen von c, und dieselben mit den Punkten von p' auf der jeweiligen anderen Achse zu verbinden; diese Verbindungslinien schneiden sich in einem Punkte H' der ersten Projektion der Haupttangente von P. Projizieren wir J, und L1 auf x als J" und ", so schneiden sich J"J" und "L" in einem Punkte H" der zweiten Projektion der Haupttangente. 770. Das Cylindroid. Die Punkte zweier beliebiger ebener Schnitte k und ko eines Cylinders 2. Grades werden durch seine Mantellinien projektiv aufeinander bezogen. Verschiebt man die eine der beiden Kurven parallel zu sich selbst in der Richtung der Schnittlinie s beider Ebenen und verbindet ihre Punkte mit den entsprechenden Punkten der anderen Kurve, so entsteht ein Cylindroid. Aus dieser Definition folgt nach 751 daß das Cylin Offenbar ist seine auf der Fläche Denn die gemein droid eine Regelfläche 4. Grades ist. Doppelerzeugende desselben und zwar eine liegende, oder eine isolierte, je nachdem k und k die verschobene Kurve ko die Gerade s schneiden oder nicht. samen reellen oder imaginären Punkte von k und k。 entsprechen sich selbst, so daß nach der Verschiebung auf s entsprechende Punkte von k und k1 liegen. Bei der projektiven Beziehung von k und k。 und ihrer Ebenen, die im vorliegenden Falle affin ist, entsprechen die Punkte von s sich selbst. Nach der Verschiebung bilden die entsprechenden Punkte auf s zwei kongruente Punktreihen; ihre sich selbst entsprechenden Punkte fallen in einen einzigen unendlich fernen Punkt zusammen. Durch diesen gehen die beiden Doppelgeraden der Fläche (756), die ebenfalls zusammenfallen müssen, sonst würde die Fläche in Flächen niedrigeren Grades zerfallen. Das Cylindroid besitzt eine unendlich ferne Selbstberührungsgerade, längs der sich zwei Mäntel der Fläche berühren. Man erkennt das auch in folgender Weise. Jeder zu s parallelen Sehne von k entspricht eine dazu parallele, gleich lange Sehne von k und also auch von k1; die ihre Endpunkte verbindenden Erzeugenden laufen parallel, schneiden sich also in einem Punkte der unendlich fernen Doppelgeraden. Diese ist die unendlich ferne Gerade der Richte bene, zu der alle Erzeugenden parallel sind; die Richtebene ist nämlich parallel zu s und zu den Mantellinien des zu Grunde gelegten Cylinders. Für jeden Punkt der unendlich fernen Doppelgeraden sind aber die beiden Tangentialebenen identisch, da beide Erzeugenden durch ihn mit ihr in einer Ebene liegen; die beiden Flächenmäntel berühren sich also längs derselben. Die Berührungspunkte der beiden zu s parallelen Tangenten von k liegen auf den beiden Torsallinien der Fläche, deren Kuspidalpunkte unendlich fern sind. Bei der Darstellung der Fläche nehmen wir s vertikal an (Fig. 476); es ist nur der zwischen den Kurven k und k, liegende Teil der Fläche gezeichnet. AB und AB, seien die vertikalen Durchmesser von k und k1, CD und CD1 die dazu konjugierten, O und 0, die bezüglichen Mittelpunkte; 0, sei der Mittelpunkt von ko (ko ist nicht gezeichnet). Die ersten Projektionen aller Erzeugenden sind unter sich parallel, zu ihnen parallel wählen wir auch die x-Achse; der scheinbare Umriß wird von den ersten Projektionen der Torsallinien CC, und DD, gebildet. Für den Aufriß bildet die Striktionslinie u den wahren, ihre Projektion u” den scheinbaren Umriß. Denn die asymptotische Ebene einer jeden Erzeugenden ist zu П, parallel, also steht die Tangentialebene in ihrem Centralpunkte auf TT, senkrecht. Der Umriß u hat die beiden 2 Torsallinien zu Asymptoten; die Konstruktion einzelner Punkte von u findet sich weiter unten; u" umhüllt die Projektionen aller Erzeugenden. 771. Jede Ebene durch s schneidet den zu Grunde gelegten Cylinder und das Cylindroid in zwei kongruenten Kegelschnitten; indem man den ersteren um eine bestimmte Strecke die Verschiebungsgröße in der Richtung von s verschiebt, erhält man den letzteren. Ist nämlich A die schneidende Ebene und sind und 7 die Schnittkurven mit Cylinder und Cylindroid, so teilt die zwischen k und k, liegenden Stücke aller Erzeugenden in dem nämlichen Verhältnisse, wie unmittelbar aus dem Grundrisse ersichtlich ist, und dies gilt auch für die Teile der Fläche, die sich 1 = = über k oder k ̧ hinaus erstrecken. Sind also P, P1, Q die Punkte einer beliebigen Erzeugenden auf k, k1, l und sind P, P。, Q。 die Punkte der entsprechenden Mantellinie auf k, k, l, so ist QQ, PP。 =PQ: PP, oder QQ,0,0, P'Q' : P'P' const. Hieraus ersieht man, daß die Verschiebungsgröße für alle Punkte der Ebene Ʌ dieselbe ist, nämlich gleich Q2. Trägt man im Grundrisse die Strecke 0,01 = KK1 parallel zur ersten Projektion der Erzeugenden ein, so daß K auf k' und K1 auf k liegt, dann schneidet die Gerade l auf ihr die Strecke KL QQ ab. Die erste Spur einer jeden Ebene durch s schneidet auf KK,, von K aus gerechnet, die Verschiebungsgröße ab. = = Um die Tangentialebene der Fläche in einem beliebigen Punkte Q zu bestimmen, suche man die Tangente des durch Q laufenden Kegelschnittes 7. Nun geht aus durch Parallelverschiebung hervor; demnach ist auch die Tangente von 7 in Q parallel zu der von in Q und sie schneiden s in zwei Punkten T und T vom Abstande TT, Q2 gleich der Verschiebungsgröße. Durch To geht aber auch die Tangente von k in P, da k und Schnitte desselben Cylinders und P, Q, Punkte der nämlichen Mantellinie sind. Trifft also die Erzeugende durch Q den Kegelschnitt k in P, und schneidet die zugehörige Tangente von k die Gerade s in T, so liegt der Punkt 7' von s auf der Tangentialebene von Q, wenn T,T gleich der Verschiebungsgröße ist (TT KL). Soll umgekehrt der Punkt Q der Erzeugenden PP1 gefunden werden, dessen Tangentialebene durch T aufs geht, so ziehe man die Tangente von k in P, sie schneidet s in To, und trage auf KK, die Strecke KL TT auf; dann liegt auf SL (S erster Spurpunkt von s). Der Punkt U von PP, liegt auf dem Umrisse u, wenn seine Tangentialebene zu П, normal ist; sie schneidet also s in einem Punkte V, dessen Projektion V" auf P"P" liegt. Trägt man demnach TV" auf KK, als KW auf, so liegt U' auf SW. In der Figur ist u" nicht eingezeichnet; Lage und Form dieser Kurve sind ja klar. 2 = = Jeder ebene Schnitt des Cylindroides ist eine Kurve 4. Ordnung, die eine Doppelasymptote besitzt, d. h. eine Asymptote für zweimal zwei im Unendlichen zusammenhängende Kurvenzweige, da die Fläche im Unendlichen eine Selbstberührungsgerade aufweist. Das Verhalten der Kurve gegenüber dieser Doppelasymptote ist dem zweier Hyperbeln mit gemeinsamer Asymptote dieser gegenüber analog. Es ist das natürlich nur der Fall, wenn die genannten Kurvenzweige reell sind; sie können jedoch auch konjugiert imaginär werden, was bei einer gewöhnlichen Asymptote nicht eintreten kann. |