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Sind nun Po und Q zwei zu DE symmetrische Punkte von c und ist O der Pol von PQ, so steht OS auf der Ebene der beiden Erzeugenden p und q durch Po und Q senkrecht, da p und q zu den Ebenen SOP und SOQ senkrecht sind. Demnach ist auch in TT, die Gerade p“ = q“ normal zu OS und wir wollen jetzt zeigen, daß p“ durch T' geht. Wir schlagen indessen den umgekehrten Weg ein, indem wir Po“ (Aufriss von P) mit T' verbinden und beweisen, daß Po"T" zu OS normal ist. Die Punkte 0 und P“ auf DE beschreiben involutorische Punktreihen, wenn sich P auf c bewegt, da O der Pol von PQ ist; die beiden Punktreihen (O) und (P“) sind also projektiv. Deshalb sind auch die beiden Strahlbüschel, welche aus S durch die Reihe (O) und aus T' durch die Reihe (P“) gelegt werden, projektiv. Drei Strahlen des ersten Büschels, nämlich SD, SE und der zu DE parallele Strahl, sind aber zu den entsprechenden Strahlen des zweiten Büschels, nämlich d, e und z=a“, normal; es sind demnach je zwei entsprechende Strahlen beider Büschel normal zu einander. Denn dreht man den einen Büschel um 90%, so giebt es drei Paar entsprechende, parallele Strahlen und somit sind beide Büschel kongruent. Da die Aufrisse sämtlicher Erzeugenden durch T' gehen, treffen die Erzeugenden selbst eine in T' auf TT, normale Gerade m. Ganz ebenso findet man, daß die Erzeugenden eine in R auf TT, normale Gerade l treffen. Die gerade Normalenfläche besitzt zwei Doppelgeraden l und m. Sie besitzt außerdem als Doppelerzeugende die unendlich ferne Gerade in TT. Denn in TT, liegen zwei Erzeugende der Fläche, die durch die Berührungspunkte der von S“ an c gelegten Tangenten gehen. Ist c eine Hyperbel, so sind die Berührungspunkte reell, ist c eine Ellipse, so sind sie imaginär; in beiden Fällen aber ist die unendlich ferne Gerade die Erzeugende für die beiden unendlich fernen Punkte von c, also eine Doppelerzeugende, wie schon daraus hervorgeht, daß die reellen oder imaginären Erzeugenden in TT, die Geraden l und im treffen müssen. Ist c eine Ellipse, so verläuft die Doppelerzeugende isoliert. Die Erzeugenden a, b, d und e sind Torsallinien der Fläche. Die Kuspidalpunkte von a und b liegen auf m, die von d und e auf l; ihre ersten Projektionen sind die Krümmungsmittelpunkte von c. Der scheinbare Umriß u“ in TT, ist die Evolute von c. 766. Jede Horizontalebene schneidet die Normalenfläche in einer Ellipse oder Hyperbel, je nachdem c eine Ellipse oder Hyperbel ist. Es folgt das schon aus den Resultaten für die allgemeine Normalenfläche, läßt sich aber auch einfach

direkt nachweisen. Ist c, irgend ein Horizontalschnitt der Fläche, dann stehen je zwei entsprechende, auf der nämlichen Erzeugenden liegende Punkte von c und c, etwa P und P. aufp, in der folgenden Beziehung zu einander. Ihre Abstände von DE stehen in einem konstanten Verhältnis – es ist gleich dem Verhältnis der Abstände des Punktes R von den Ebenen der Kurven c und c, – ebenso stehen ihre Abstände von AB in einem konstanten Verhältnis. Daraus folgt, daß die Kurven c und c, affin sind (17), was den Satz beweist. Vier beliebige Horizontalschnitte, etwa c und c, m und l, bestimmen auf jeder Erzeugenden zwei Strecken, die in einem konstanten Verhältnis stehen. Sind X“ und K” die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitelpunkte A und E und sind A, und E, die entsprechenden Scheitel von c, so ist: AA,: XS" = EE: S"K" oder: AA, : EE = SE: AS". Nehmen wir also AA, = ES“, folglich EE, = AS", so kommt durch Subtraktion: A, S = SE, wenn AS" und AA, die gleiche Richtung haben; dagegen kommt durch Addition: AS" =S"E, wenn AS“ und AA, entgegengesetzte Richtung haben. Unter den Horizontalschnitten der Normalenfläche sind demnach zwei Kreise, der eine hat die Differenz der Halbachsen von c zum Radius, der andere ihre Summe. Letzterer ist in der Figur wegen seiner Größe weggelassen, ersterer als Kreis k eingetragen; u“ berührt k“ in vier Punkten (p“ ist als gemeinsame Tangente von u“ und k“ in einem dieser Punkte eingezeichnet) 767. Da die Tangentialkegel aus den Punkten der Doppelerzeugenden von der 2. Ordnung sind (756), so haben wir den Satz: Die orthogonale Projektion der geraden Normalenfläche auf jede Vertikalebene hat einen Kegelschnitt mit vertikaler Achse zum scheinbaren Umriß. Derselbe geht nämlich durch die Projektionen der vier Kuspidalpunkte hindurch, die paarweise zur x-Achse symmetrisch liegen. Im vorliegenden Falle ist der scheinbare Umriß eine Hyperbel, für die sich die Richtungen der Asymptoten in folgender Weise bestimmen. Ist WV der zu der betreffenden Vertikalebene TT, parallele Durchmesser von c, dann sind die gesuchten Asymptoten zu den Projektionen der Erzeugenden w und v durch W und V auf TT, parallel. Die asymptotische Tangentialebene der Erzeugenden w ist nämlich parallel zur Tangentialebene des Richtungskegels unserer Fläche längs der zu w parallelen Mantellinie. Derselbe ist aber ein Normalkegel des gegebenen Kegels T, die gemeinte Tangentialebene steht also senkrecht auf SW und somit auf TT,; der unendlich ferne Punkt auf ur gehört dem wahren, seine Projektion auf TT, dem scheinbaren Umriß an. Da die asymptotische Ebene einer jeden Erzeugenden auf der Verbindungslinie ihres ersten Spurpunktes mit S senkrecht steht, so geht die Tangentialebene in ihrem Centralpunkte (723), die auf jener senkrecht steht, durch S. Der Ort dieser Centralpunkte ist die Striktionslinie. Die Striktionslinie der Normallenfläche ist also die Berührungskurve des von S an die Fläche gelegten Tangentialkegels. 768. Zur Konstruktion der Tangentialebene in einem Punkte unserer Fläche benutzen wir am besten die horizontale Tangente in diesem Punkte, zu der dann die erste Spurlinie der Ebene parallel ist. Die horizontalen Flächentangenten in allen Punkten einer Erzeugenden bilden aber die eine Schar eines hyperbolischen Paraboloides, ihre ersten Projektionen umhüllen deshalb eine Parabel. Diese wird von den Achsen der Kurve c, als Projektionen von l und m, von der Projektion der Erzeugenden und von der durch ihren ersten Spurpunkt gehenden Tangente von c berührt. Die erste Projektion der horizontalen Tangente in einem Punkte N einer beliebigen Erzeugenden p läßt sich somit nach dem Brianchon'schen Satze konstruieren. Man ziehe durch N" eine Parallele zu DE und durch J’–p/><AB eine Parallele zur Tangente t in P; die Verbindungslinie ihres Schnittpunktes mit. So schneidet t in einem Punkte M der Projektion der gesuchten Tangente. Die Tangentialebene in N hat eine zu N'M parallele erste Spurlinie. Der Berührungspunkt K" der Erzeugenden p“ mit dem Umriß u" ist die Projektion des Punktes K von p, dessen Tangentialebene vertikal steht. Da das vorher genannte Paraboloid die Normalenfläche längs p berührt, so haben beide Flächen in K die nämliche Tangentialebene, d. h. jene Parabel berührt ebenfalls p“ in K". Nach dem Brianchon'schen Satze verbinde man L/= p"X ED mit t X AB und ziehe durch J" eine Parallele zu ED; die Parallele zu t durch den Schnittpunkt beider Geraden geht dann durch K". 769. Zum Schluß geben wir noch die Konstruktion der Haupttangente h im Punkte P von c; die gleiche Konstruktion läßt sich in jedem Punkte der Normalenfläche anwenden, nur tritt dann an Stelle der Tangente von c im Punkte P die horizontale Tangente des betreffenden Punktes. Wir gehen bei unserer Betrachtung von dem Büschel der Ebenen durch die Erzeugende p aus. Zu diesem ist einerseits die auf p liegende Reihe ihrer Berührungspunkte pro

jektiv (722), andererseits aber auch der Strahlbüschel ihrer ersten ROHN u. PAPPERITZ. II. 20

Spurlinien und die auf c liegende Punktreihe ihrer Schnittpunkte mit c. Die in einer Ebene X des Büschels liegende Gerade s, welche durch deren Berührungspunkt und deren Schnittpunkt mit c geht, berührt die Fläche in einem Punkte von p und schneidet sie in dem entsprechenden Punkte von c. Dreht sich nun die Ebene X um p, bis sie sich mit der Tangentialebene in P deckt, so bewegt sich s derart, daß ihr Berührungspunkt und ihr Schnittpunkt gleichzeitig nach P rücken, und s wird zur Haupttangente in P. Die Geraden s verbinden aber entsprechende Punkte der projektiven Punktreihen auf p und c. Projiziert man nun die auf c liegende Punktreihe aus einem beliebigen Punkte von c auf die Tangente t des Punktes Po, so ist auch die Punktreihe auf t projektiv zu der Reihe auf p; ja diese Reihen sind sogar perspektiv, da ihr gemeinsamer Punkt P sich selbst entspricht. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte der Reihen auf p und t laufen alle durch den nämlichen Punkt H, und HP =h ist die gesuchte Haupttangente. Die Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von p und t fällt nämlich mit der Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von p und c zusammen. Denn der Abstand der entsprechenden Punkte von t und c wird unendlich klein von der 2. Ordnung, wenn ihre Abstände von Po unendlich klein von der 1. Ordnung werden. Gleiches gilt auch für die Projektionen. Den Punkten P, J’, L von p" entsprechen die Punkte P, Q, Q, von c (QQ, Durchmesser von c). Projizieren wir die letzteren aus P% auf t (PP, Durchmesser von c), so erhalten wir die Punkte P, J, und L, (PJ = 2PO, PL, = 2PF, F=tx AB); H ist demnach der Schnittpunkt der Geraden JJ und LL... Wir haben also nur auft zwei Punkte zu bestimmen, die von Po doppelt so weit abstehen wie ihre Schnittpunkte mit den Achsen von c, und dieselben mit den Punkten von p“ auf der jeweiligen anderen Achse zu verbinden; diese Verbindungslinien schneiden sich in einem Punkte H“ der ersten Projektion der Haupttangente von P. Projizieren wir J, und L, auf r als J“ und L“, so schneiden sich J"J“ und L/L“ in einem Punkte H" der zweiten Projektion der Haupttangente. 770. Das Cylindroid. Die Punkte zweier beliebiger ebener Schnitte k und k, eines Cylinders 2. Grades werden durch seine Mantellinien projektiv aufeinander bezogen. Verschiebt man die eine der beiden Kurven parallel zu sich selbst in der Richtung der Schnittlinie s beider Ebenen und verbindet ihre Punkte mit den entsprechenden Punkten der anderen Kurve, so entsteht ein Cylindroid. Aus dieser Definition folgt nach 751 daß das Cylindroid eine Regelfläche 4. Grades ist. Offenbar ist s eine Doppelerzeugende desselben und zwar eine auf der Fläche liegende, oder eine isolierte, je nachdem k und k, – die verschobene Kurve k – die Gerade s schneiden oder nicht. Denn die gemeinsamen reellen oder imaginären Punkte von k. und k., entsprechen sich selbst, so daß nach der Verschiebung auf s entsprechende Punkte von k. und k., liegen. Bei der projektiven Beziehung von k. und k, und ihrer Ebenen, die im vorliegenden Falle affin ist, entsprechen die Punkte von s sich selbst. Nach der Verschiebung bilden die entsprechenden Punkte aufs zwei kongruente Punktreihen; ihre sich selbst entsprechenden Punkte fallen in einen einzigen unendlich fernen Punkt zusammen. Durch diesen gehen die beiden Doppelgeraden der Fläche (756), die ebenfalls zusammenfallen müssen, sonst würde die Fläche in Flächen niedrigeren Grades zerfallen. Das Cylindroid besitzt eine unendlich ferne Selbst berührungsgerade, längs der sich zwei Mäntel der Fläche berühren. Man erkennt das auch in folgender Weise. Jeder zu s parallelen Sehne von k entspricht eine dazu parallele, gleich lange Sehne von k., und also auch von k.; die ihre Endpunkte verbindenden Erzeugenden laufen parallel, schneiden sich also in einem Punkte der unendlich fernen Doppelgeraden. Diese ist die unendlich ferne Gerade der Richtebene, zu der alle Erzeugenden parallel sind; die Richtebene ist nämlich parallel zu s und zu den Mantellinien des zu Grunde gelegten Cylinders. Für jeden Punkt der unendlich fernen Doppelgeraden sind aber die beiden Tangentialebenen identisch, da beide Erzeugenden durch ihn mit ihr in einer Ebene liegen; die beiden Flächenmäntel berühren sich also längs derselben. Die Berührungspunkte der beiden zu s parallelen Tangenten von k liegen auf den beiden Torsallinien der Fläche, deren Kuspidalpunkte unendlich fern sind. Bei der Darstellung der Fläche nehmen wir s vertikal an (Fig. 476); es ist nur der zwischen den Kurven k und k, liegende Teil der Fläche gezeichnet. AB und A, B, seien die vertikalen Durchmesser von k. und k., CD und CD, die dazu konjugierten, O und O, die bezüglichen Mittelpunkte; O, sei der Mittelpunkt von k., (h, ist nicht gezeichnet). Die ersten Projektionen aller Erzeugenden sind unter sich parallel, zu ihnen parallel wählen wir auch die x-Achse; der scheinbare Umriß wird von den ersten Projektionen der Torsallinien CC und DD, gebildet. Für den Aufriß bildet die Striktionslinie zu den wahren, ihre Projektion u“ den

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