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sind Kurven 4. Klasse; speziell in TT, wird der Umriß von der Evolute der Ellipse c gebildet. Die Umrisse sind in die Figur nicht eingetragen. 761. Zwei Erzeugende h, und h, mit ihren ersten Spurpunkten H. und H., auf c schneiden sich, wenn H„H, eine Tangente von p, ist. Wir können dieses Kriterium jedoch durch ein anderes ersetzen. Sind t, und t, die Tangenten von c in H. und H., so sind h, und h, respektive normal zu den Ebenen St, und St. Sollen sich diese Normalen schneiden, so muß die Gerade H„H, zur Schnittlinie der beiden Ebenen senkrecht sein. Für die erste Projektion sagt das aus, daß H„H, senkrecht zur Verbindungslinie von S' mit f, » , sein muß. Eine Gerade schneidet also aus c zwei Punkte aus, deren Erzeugende sich treffen, wenn das von ihrem Pol auf sie gefällte Lot durch S“ geht. Speziell gehen die Torsallinien der Fläche durch diejenigen Punkte von c, deren Normalen S“ enthalten. Der vorher erwähnte Punkt t, × t, liegt auf dem Durchmesser von c, der dem zu H„H, parallelen Durchmesser konjugiert ist. Läßt man den Strahlen durch S“ die zu ihnen senkrechten Durchmesser von c und diesen die konjugierten Durchmesser entsprechen, so erhält man drei projektive Strahlbüschel; der Ort der Punkte t, xt, ist also ein Kegelschnitt. Diese Kurve geht durch So, C und die unendlich fernen Punkte von AB und DB, sie ist also eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten zu den Achsen von c parallel laufen. Dieselbe schneidet c in den ersten Spurpunkten der vier Torsallinien, von denen jedoch nur zwei in unserem Falle reell sind. 762. Jede Tangentialebene einer abwickelbaren Fläche 3. Klasse wird von allen übrigen in den Tangenten eines Kegelschnittes geschnitten (715). Sind A, B, T, A vier feste Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche, so schneiden die übrigen B in den Tangenten eines Kegelschnittes b und folglich die Geraden A x B und B × IT in projektiven Punktreihen, da diese Geraden ebenfalls b berübren. Ganz ebenso schneiden die Tangentialebenen die Geraden B × IT und T X A in projektiven Punktreihen; mithin sind auch die auf A× B und TXA durch die Tangentialebenen ausgeschnittenen Punktreihen projektiv. Die Kegelschnitte der Normalenfläche liegen aber in Ebenen, die eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen und ihre Erzeugenden sind die Schnittlinien von je zwei solchen Ebenen. Die Kegelschnitte der Normalenfläche schneiden demnach ihre Erzeugenden in projektiven Punktreihen; diese Punktreihen sind sogar ähnlich, da die unendlich ferne Ebene die Normalenfläche ebenfalls in einem Kegelschnitte schneidet. Man kann dieses Resultat in der Form aussprechen: Drei beliebige Kegelschnitte der Normalenfläche begrenzen auf jeder Erzeugenden zwei Strecken, deren Verhältnis konstant ist. Dieser Satz auf die Achsen der ersten Projektion einer Schnittkurve q angewendet ergiebt folgendes Resultat. Der Krümmungsmittelpunkt auf der einen Achse von c teilt die Entfernung der auf ihr liegenden Scheitelpunkte von c und q, in dem gleichen Verhältnisse, wie der Mittelpunkt die Entfernung der auf der anderen Achse liegenden Scheitelpunkte. 763. Die Normalenfläche eines Kegels 2. Ordnung für einen zu einer Hauptebene " senkrechten Schnitt. Die

Fig. 474. -

Schnittebene wählen wir wieder zur Horizontalebene, die in ihr liegende Kurve sei eine Ellipse c mit den Achsen AB und DE; die Hauptebene machen wir zur Aufrißebene, in ihr liegt der Kegelscheitel S (Fig. 474). Wir wollen nun zunächst zeigen, daß die ersten Spurlinien der Ebenen durch zwei Erzeugende zwei Strahlbüschel bilden. Einerseits treffen alle zu DE senkrechte Sehnen von c diese Kurve in je zwei Punkten, deren Erzeugende sich schneiden; es folgt dieses direkt aus der Symmetrie der Fläche in Bezug auf die Ebene TT. Legen wir andererseits von S' die Tangenten an c und ziehen in ihren Berührungspunkten J und K die Normalen i und k, so gehören diese der Normalenfläche an, und ihr auf DE liegender Schnittpunkt L=ixk, hat ebenfalls die Eigenschaft, daß jede Sehne durch ihn zwei Punkte von c trägt, deren Erzeugende sich schneiden. Nach 761 schneidet nämlich jede Gerade, die zu einem Strahl durch S“ in Bezug auf c konjugiert und senkrecht ist, die Kurve c in zwei Punkten, deren Erzeugende sich treffen. Wir beweisen nun, daß alle diese Geraden durch L gehen. Der Büschel der Strahlen durch S“ ist projektiv zur Punktreihe ihrer Pole, also auch projektiv zu dem Büschel ihrer konjugierten Polaren durch L. Von den konjugierten Polaren durch S" und L sind aber drei entsprechende Paare zu einander senkrecht, nämlich: S'J und LJ, S/K und LK, S/L und die Parallele zu AB durch L. Deshalb sind die beiden Büschel kongruent und es steht jeder Strahl durch S“ auf seinem konjugierten Strahle durch L. senkrecht. Die ersten Spurlinien aller Ebenen durch zwei Erzeugende gehen sonach entweder durch L, oder sie sind zu AB parallel. Die Normalenfläche besitzt infolgedessen eine Doppelgerade l' mit dem ersten Spurpunkte L und einen Doppelkegelschnitt m. Die Doppelgerade l liegt in TT,; durch ihre Punkte gehen je zwei zu TI, symmetrische Erzeugende der Fläche. Der Doppelkegelschnitt m liegt in einer zu TT, senkrechten Ebene; durch seine Punkte gehen je zwei Erzeugende, deren erste Spurpunkte auf einer Geraden durch L. liegen. Die Ebenen durch zwei Erzeugende, deren erste Spuren zu AB parallel laufen, umhüllen einen parabolischen Cylinder, da die unendlich ferne Ebene mit zu diesen Ebenen gehört; auch die zu TI, normale Ebene durch l berührt diesen Cylinder. l und im schneiden sich in einem Punkte M. Alle diese Resultate folgen aus 755. Wir wollen diese Dinge nun etwas weiter verfolgen. Ist FG die zu TT, senkrechte Sehne von c durch L und H ihr Pol, dann berühren die Tangentialebenen, die man durch HS an den gegebenen Kegel legen kann, denselben längs der Mantellinien SP und SG. Die Normalen zu diesen Ebenen in F" resp. G sind die Erzeugenden fund g; sie schneiden sich in einem Punkte M der Doppelgeraden l und ihre Ebene fg ist zu HS normal. Somit ist die Doppelgerade l in TT, das von L auf HS gefällte Lot. Die Spur FG der Ebene fig ist einerseits zu AB parallel und geht andererseits durch L, der Punkt M =f×g liegt deshalb sowohl auf der Doppelgeraden l wie auf dem Doppelkegelschnitte m (f“ L HF, g/_L HG). In einem Punkte R. von l schneiden sich auch die Erzeugenden a und b durch die Scheitelpunkte A und B. Endlich liegt auch der Schnittpunkt O der Erzeugenden d durch D mit ihrer benachbarten Erzeugenden auf l; seine erste Projektion O' muß offenbar der zum Scheitel D gehörige Krümmungsmittelpunkt sein. Ganz ebenso liegt der Punkt N der Erzeugenden e durch E auf l, wobei N” der Krümmungsmittelpunkt für den Scheitel E ist. Ist T'=d x e, so ist TM die eine Achse des Doppelkegelschnittes m; denn M und T' sind Punkte desselben und er liegt zu TT, symmetrisch. m schneidet c in zwei Punkten Po und Q, die sich auf den in TT, liegenden Erzeugenden i und k befinden. Hierdurch ist m bereits bestimmt; m geht aber auch durch die Schnittpunkte seiner Ebene mit a und b, die sich ebenfalls leicht konstruieren lassen. Die erste Projektion m' hat die Achse M'T' (in der Figur ist zufällig T– T”) und es ist CT" = CS". Denn SEDT" ist ein Kreisviereck (SE LET, SID LDT) und ST" ein Durchmesser des umgeschriebenen Kreises. Der Mittelpunkt von ST" ist zugleich der des Kreises und liegt auf der Mittelsenkrechten der Sehne DE, so daß seine erste Projektion mit C sich deckt, woraus dann SC =CT" folgt. 764. Der scheinbare Umriß der Normalenfläche in TT, ist wieder die Evolute von c; der scheinbare Umriß in TI, ist eine Parabel u“, sie berührt die zweiten Spurlinien aller zu TT, senkrechten Ebenen durch zwei Erzeugende. So berührt sie x=DE in J" und l in M. Die Ebenen durch zwei zu TT, symmetrische Erzeugende umhüllen nämlich einen parabolischen Cylinder, der von l und r berührt wird, sie schneiden deshalb diese Geraden in ähnlichen Punktreihen. Durch jeden Punkt der Reihe auf l gehen zwei Erzeugende; die Verbindungslinie ihrer ersten Spurpunkte geht durch den entsprechenden Punkt der ähnlichen Reihe auf x. So entspricht dem Punkte L auf l der Punkt J” auf r (JJ" L x), und dem Punkte L auf x der Punkt M auf l. Der scheinbare Umriß u“ berührt ferner die Erzeugenden d und ein Punkten U und W, deren erste Projektionen mit S“ zusammenfallen. Denn z halbiert alle von d und e begrenzten Parabeltangenten, da z, d und e auf allen Parabeltangenten je zwei Strecken von gleichem Verhältnis begrenzen (338), also halbiert es auch die Strecken TU und TV und es ist T"C=CU"; da aber nach dem Vorausgehenden TC = CS“ ist, folgt S = U” W“. Endlich berührt u“ die Gerade z in dem Mittelpunkte der auf ihr von d und e begrenzten Strecke. d und e sind zwei Torsallinien der Fläche, die beiden anderen sind imaginär. Für die auf der Normalenfläche liegenden Kegelschnitte gelten ganz die gleichen Resultate wie im vorausgehenden allgemeinen Falle; ihre Achsen liegen in den Ebenen TT, und TT, die in DE und AB auf TI, senkrecht stehen.

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765. Die Normalenfläche eines Kegels 2. Ordnung für einen zu einer Achse senkrechten Schnitt, die auch als gerade Normalenfläche bezeichnet wird (Fig. 475). Der gegebene

Fig. 475.

Kegel sei T, seine Basiskurve c liege in IT, sein Scheitel S auf der im Mittelpunkte von c errichteten Normalen z, so daß S“ der Mittelpunkt von c ist. Die Achsen von c seien AB und DE, durch sie legen wir die Vertikalebenen TT, und TI. Die Erzeugenden a und b durch A und B mögen sich in R (RAL SA, RB LSB), die Erzeugenden d und e in T" schneiden (DT" LSD, ET" LSE).

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