Gerade parallel zu der entsprechenden Mantellinie 7 des Normalkegels (P) und (g) sind projektiv, so erhält man die Normalenfläche. Die Normalenfläche ist vom 4. Grade, denn ihre Erzeugenden sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projektiver Punktreihen, die auf dem Kegelschnitte e und dem unendlich fernen Kegelschnitte von N liegen.

759. Untersuchen wir zuerst die Normalenfläche für den Fall, daß c ein beliebiger Schnitt des Kegels r ist. In

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Fig. 473.

Fig. 473 ist c in der Ebene ПT, angenommen, die Ebenen П, und П sind senkrecht zu П, durch die Achsen AB und ED von c gelegt; als Kurve c ist eine Ellipse gewählt. In der Figur sind die Ebenen П, und ПT, zuerst parallel mit sich selbst verschoben und dann um ihre Spuren a resp. y in die Horizontalebene umgelegt, um, die Verhältnisse übersichtlicher zu gestalten. Die Tangenten von S'an c berühren c in J und K; die Erzeugenden in П, sind die Normalen und k in den Punkten J und K von c; die Erzeugenden.

a und bin П gehen durch A und B und stehen auf S"A resp. S"B senkrecht; die Erzeugenden c und d in П, gehen durch E und D und stehen auf S'E resp. SD senkrecht.

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Die Normalenfläche besitzt eine Doppelkurve von der 3. Ordnung, ihre Kegelschnitte liegen in Ebenen, die eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen (753). Die Ebenen durch die Kegelschnitte der Normalenfläche, zu denen auch die unendlich ferne Ebene gehört, schneiden jede von ihnen in den Tangenten einer Parabel. So umhüllen die ersten, zweiten und dritten Spurlinien dieser Ebenen je eine Parabel P1, P2 und P3. P1 P2 Die Parabel P1 hat die Achsen von c und die Erzeugenden i und k zu Tangenten, denn die ersteren sind die Spuren von П, und П,, die letzteren sind die in П, liegenden Erzeugenden, durch welche außer П, noch je eine weitere Kegelschnittebene hindurchgeht. Die Parabel p2 berührt die Geraden a und b, x und z, denn a und b sind Erzeugende, x und z die Spuren von П1⁄2 und П; analog berührt die Parabel p, die Geraden d und e, y und z.

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Die gemeinsamen Tangenten von c und p1 sind die ersten Spurlinien solcher Ebenen, die zwei unendlich nahe Erzeugende der Fläche enthalten; die Erzeugenden durch ihre Berührungspunkte mit c sind die Torsallinien. Im vorliegenden Falle existieren nur zwei reelle Torsallinien, sie sind jedoch nicht in die Figur eingetragen.

760. Ist irgend eine Ebene durch zwei Erzeugende, dann müssen ihre Spurlinien s1, S2, S3, beziehentlich die drei Parabeln P1, P2, P3 berühren. Die Ebene Σ schneidet die Fläche noch in einem Kegelschnitte q, der offenbar die folgenden Punkte enthält: R = s2a, T=s2×b, U=s3×d, V=s3×e, X=s1 Xi und Y=s1 × k. Nun gilt der Satz (338), daß die Tangenten einer Parabel auf zwei festen Tangenten derselben ähnliche Punktreihen ausschneiden. Demnach begrenzen die Tangenten a, b und z der Parabel P2 auf den Tangenten s2 und x je zwei Strecken, die in dem gleichen Verhältnisse stehen, d. h. es ist: RZ: ZT-AC: CB (Z=z × 82, C=zxxxy). Da aber AC CB ist, folgt RZ ZT; ganz ebenso ergiebt sich UZ-ZV. Die Geraden RT und UV sind demnach zwei Durchmesser des Kegelschnittes q, dessen Mittelpunkt in Z liegt.

=

=

c

P2

Nun schneiden die Erzeugenden der Fläche auf allen Kegelschnitten und insbesondere auf e und q projektive Punktreihen aus (752), so daß die Punkte A, B, D, E von e projektiv sind zu den Punkten R, T, U, V auf q. Alle zu DE parallelen Geraden

schneiden aber c in den Punktepaaren einer Involution, deren Doppelpunkte A und B sind und diese liegen zu jedem Punktepaar harmonisch. Demnach liegen die Punkte ABDE auf c und ebenso die Punkte RTUV auf q harmonisch. Folglich muß die Gerade UV durch den Schnittpunkt der Tangenten von q in R und T gehen, d. h. der Durchmesser UV ist parallel zu den Tangenten in den Endpunkten des Durchmessers RT, beide Durchmesser sind also konjugiert. Jede Ebene durch zwei Erzeugende schneidet die Normalenfläche in einem Kegelschnitte, der von den Vertikalebenen durch die Achsen des Kegelschnittes c in konjugierten Durchmessern geschnitten wird; ihre Endpunkte liegen auf den vier Erzeugenden durch die Scheitelpunkte von c. Mit anderen Worten: Die ersten Projektionen aller auf der Normalenfläche liegenden Kegelschnitte sind Kegelschnitte von der gleichen Art wie c, deren Achsen zugleich die Achsen von c sind. Denn je nachdem c vier, zwei, oder einen reellen Scheitel hat, also Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist, tritt Gleiches für alle Kegelschnitte der Fläche ein.

In der Figur ist als Ebene Σ durch zwei Erzeugende die Ebene durch 6 gewählt, so daß b=s2 wird. Die erste Spurs, geht durch B und berührt P1, sie schneidet c noch in F, so daß die Erzeugende f durch F enthält (fc); die dritte Spur geht durch W=s3 × DE und berührt P3 Es ist nur noch zu bemerken, was in diesem Falle aus T-s2 xb wird, da ja s=b ist. Nun sind s und b zwei Tangenten von p2; fallen sie zusammen, so wird ihr Schnittpunkt T zum Berührungspunkte von b mit P2. nur die erste Projektion q' verzeichnet.

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Von q ist

Ferner ist die Schnittellipser der Fläche mit der Ebene П, angegeben. Die Erzeugenden d und e treffen TT, in den Endpunkten P und des vertikalen Durchmessers von r; auf den Erzeugenden a und liegen die Endpunkte N und O des zu PQ konjugierten Durchmessers. Um N auf a zu bestimmen, müssen wir die zu a benachbarte Erzeugende mit П2 zum Schnitt bringen; dieser Punkt unterscheidet sich nur unendlich wenig von N, so daß er an seine Stelle treten kann. Die erste Projektion N' liegt also auf der Achse AB und auf der Normalen in dem zu A benachbarten Punkte von c; N' und O' sind sonach die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel A und B der Ellipse c. Die Ellipser enthält auch die Punkte Li× AB und M = k × AB und G = f×b (G'=f" × AB, GG'1x).

Die scheinbaren Umrisse der Normalenfläche in П1, П2 und П

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sind Kurven 4. Klasse; speziell in П, wird der Umriß von der Evolute der Ellipse c gebildet. Die Umrisse sind in die Figur

nicht eingetragen.

ersetzen.

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761. Zwei Erzeugende h1 und h2 mit ihren ersten Spurpunkten H1 und H2 auf c schneiden sich, wenn H12 eine Tangente Wir können dieses Kriterium jedoch durch ein anderes Sind und t, die Tangenten von c in H1 und H2, so sind h1 und h2 respektive normal zu den Ebenen St1 und St. Sollen sich diese Normalen schneiden, so muß die Gerade H1H2 zur Schnittlinie der beiden Ebenen senkrecht sein. Für die erste Projektion sagt das aus, daß HH, senkrecht zur Verbindungslinie von Smit txt sein muß. Eine Gerade schneidet also aus c zwei Punkte aus, deren Erzeugende sich treffen, wenn das von ihrem Pol auf sie gefällte Lot durch S' geht. Speziell gehen die Torsallinien der Fläche durch diejenigen Punkte von c, deren Normalen S'enthalten.

Der vorher erwähnte Punkt t× t2 liegt auf dem Durchmesser von c, der dem zu H12 parallelen Durchmesser konjugiert ist. Läßt man den Strahlen durch S′ die zu ihnen senkrechten Durchmesser von c und diesen die konjugierten Durchmesser entsprechen, so erhält man drei projektive Strahlbüschel; der Ort der Punkte txt ist also ein Kegelschnitt. Diese Kurve geht durch S', C und die unendlich fernen Punkte von AB und DE, sie ist also eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten zu den Achsen von с parallel laufen. Dieselbe schneidet c in den ersten Spurpunkten der vier Torsallinien, von denen jedoch nur zwei in unserem Falle reell sind.

762. Jede Tangentialebene einer abwickelbaren Fläche 3. Klasse wird von allen übrigen in den Tangenten eines Kegelschnittes geschnitten (715). Sind A, B, г, ▲ vier feste Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche, so schneiden die übrigen B in den Tangenten eines Kegelschnittes b und folglich die Geraden A X B und B in projektiven Punktreihen, da diese Geraden ebenfalls berübren. Ganz ebenso schneiden die Tangentialebenen die Geraden BX und × ▲ in projektiven Punktreihen; mithin sind auch die auf AXB und ×▲ durch die Tangentialebenen ausgeschnittenen Punktreihen projektiv. Die Kegelschnitte der Normalenfläche liegen aber in Ebenen, die eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen und ihre Erzeugenden sind die Schnittlinien von je zwei solchen Ebenen. Die Kegelschnitte der Normalenfläche schneiden demnach ihre Erzeugenden in projektiven Punktreihen; diese Punktreihen sind sogar

ähnlich, da die unendlich ferne Ebene die Normalenfläche ebenfalls in einem Kegelschnitte schneidet. Man kann dieses Resultat in der Form aussprechen: Drei beliebige Kegelschnitte der Normalenfläche begrenzen auf jeder Erzeugenden zwei Strecken, deren Verhältnis konstant ist.

Dieser Satz auf die Achsen der ersten Projektion einer Schnittkurve q angewendet ergiebt folgendes Resultat. Der Krümmungsmittelpunkt auf der einen Achse von c teilt die Entfernung der auf ihr liegenden Scheitelpunkte von c und q' in dem gleichen Verhältnisse, wie der Mittelpunkt die Entfernung der auf der anderen Achse liegenden Scheitelpunkte.

763. Die Normalenfläche eines Kegels 2. Ordnung für einen zu einer Hauptebene senkrechten Schnitt. Die

Schnittebene wählen wir wieder zur Horizontalebene, die in ihr liegende Kurve sei eine Ellipse c mit den Achsen AB und DE; die Hauptebene machen wir zur Aufrißebene, in ihr liegt der Kegelscheitel S (Fig. 474). Wir wollen nun zunächst zeigen, daß die ersten Spurlinien der Ebenen durch zwei Erzeugende zwei Strahl