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schnitte giebt; denn die Erzeugenden müssen auf diesen projektive Punktreihen ausschneiden. Jede Erzeugende einer Regelfläche 4. Grades wird aber von zwei anderen Erzeugenden getroffen (726); eine Ebene durch zwei Erzeugende muß entweder noch einen Kegelschnitt, oder eine Doppelgerade ausschneiden. Denn zwei getrennte Geraden können es nicht in allen solchen Ebenen sein, sonst würde die Fläche in zwei Hyperboloide zerfallen. Es giebt nun in der That Regelflächen 4. Grades, die zwei Doppelgeraden besitzen, aber keinen Kegelschnitt enthalten. Da eine Ebene durch eine Erzeugende die Fläche noch in einer Kurve 3. Ordnung schneidet, so sehen wir, daß ihre Erzeugenden die gemeinsamen Sekanten einer ebenen Kurve 3. Ordnung und zweier sie schneidender Geraden sind; diese Geraden sind die Doppelgeraden der Fläche. Die Erzeugenden vermitteln zwischen den Punkten der Doppelgeraden eine zwei-zweideutige Beziehung (jedem Punkte der einen Geraden entsprechen immer zwei der anderen) und diese wird man bei einer näheren Untersuchung der Fläche zum Ausgangspunkte wählen. Wir haben bereits bei der projektiven Beziehung der Punkte einer Reihe auf die Punktepaare einer Involution einen Kegelschnitt zu Hilfe genommen, und wir wollen auch hier die Punkte der einen Doppelgeraden l den Punkten eines Kegelschnittes "projektiv zuordnen. Den Punkten der zweiten Doppelgeraden im entsprechen dann Punktepaare auf l und durch die Projektivität zwischen 1 und 19 auch Punktepaare auf l'. Die Verbindungslinien dieser Punktepaare von 19 umhüllen eine Kurve m', und wir lassen den Punktepaaren auf l’ den Berührungspunkt ihrer Verbindungslinie mit m' entsprechen. Es giebt nun immer zwei Punkte auf m, deren entsprechende Punktepaare auf l, oder auf l', einen gegebenen Punkt enthalten. Da aber jedem Punkte von m ein Punkt von m' entspricht, so giebt es immer zwei Punkte auf m", deren Tangenten durch einen gegebenen Punkt von l’ gehen, d. h. m" ist ein Kegelschnitt. Zwischen den Punkten der Kegelschnitte l'o und m" besteht eine zwei-zweideutige Beziehung; jedem Punkte von l'o entsprechen die beiden Punkte von m', deren Tangenten durch ihn gehen, jedem Punkte von m' entsprechen die beiden Punkte von l', die auf seiner Tangente liegen. Bezieht man die Punkte von 19 und moprojektiv auf die Punkte der Doppelgeraden l resp. m, so erhält man auf ihnen eine zwei-zweideutige Beziehung und die Verbindungslinien entsprechender Punkte liegen auf einer Regelfläche 4. Grades. Den vier Punkten auf l', die zugleich auf mo liegen, entsprechen Punktepaare auf m", deren Punkte zusammenfallen; den vier Punkten auf m", deren Tangenten zugleich lo berühren, entsprechen ebenfalls Punktepaare mit zusammenfallenden Punkten. Demgemäß giebt es auf jeder der beiden Doppelgeraden je vier Kuspidalpunkte, also im ganzen acht Torsallinien. Je nach der gegenseitigen Lage von 19 und m" ergeben sich verschiedene Realitätsverhältnisse der Kuspidalpunkte. Näher wollen wir auf diese Art von Regelflächen nicht eingehen, da sie weiterhin keine Anwendung finden. 758. Die Normallenflächen einer Fläche 2. Grades. Zieht man auf einer beliebigen Fläche eine Kurve und in ihren Punkten die Normalen der Fläche, so erhält man eine Regelfläche, die man als Normalenfläche bezeichnet. Es soll hier die Fläche 2. Grades zu Grunde gelegt werden und wir wollen die Normalenfläche für einen ihrer ebenen Schnitte konstruieren. Die Tangentialebenen in den Punkten einer solchen Schnittkurve umhüllen aber eine Kegelfläche 2. Ordnung, welche die Fläche 2. Grades längs derselben berührt, und die Normalen der Fläche 2. Grades in ihnen sind zugleich Normalen der Kegelfläche. Unsere Aufgabe deckt sich also mit der folgenden: Die Normallenfläche für einen ebenen Schnitt einer Kegelfläche 2. Ordnung zu konstruieren. Je nach der Lage des Schnittes gegen die Achse der Kegelfläche haben wir verschiedene Fälle zu unterscheiden, die uns zu den vorher aufgezählten Arten der Regelflächen 4. Grades führen werden. Zunächst erkennen wir, daß der Richtungskegel der Normalenfläche von der 2. Ordnung ist. Ist nämlich T der gegebene Kegel, S sein Scheitel, c seine Schnittkurve mit der Ebene TT, so finden wir den Normalkegel N mit dem Scheitel S. und seine Schnittkurve n . mit TT, in folgender Weise. Ist PPP, . . ., oder kurz (P) eine Punktreihe auf c, so schneiden die zugehörigen Tangenten auf zwei festen Tangenten von c projektive Punktreihen aus, etwa (A) und (B). Indem wir sie mit S verbinden, erhalten wir zwei projektive Strahlbüschel (a) und (b); indem wir ferner auf jedem dieser Strahlen in S eine Normalebene errichten, gelangen wir zu zwei projektiven Ebenenbüscheln (A) und (B). Ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich in den Mantellinien (q) des Normalkegels N, der somit von der 2. Ordnung ist, und diese treffen TT, in den Punkten (Q) des Kegelschnittes n. Dabei ist die Punktreihe (P) auf c projektiv bezogen auf die Punktreihe (Q) auf n und auf die Mantellinien (q) des Normalkegels (oder Polarkegels, 106). Zieht man durch jeden Punkt der Punktreihe (P) auf c eine Gerade parallel zu der entsprechenden Mantellinie q des Normalkegels – (P) und (q) sind projektiv –, so erhält man die Normalenfläche. Die Normallenfläche ist vom 4. Grade, denn ihre Erzeugenden sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projektiver Punktreihen, die auf dem Kegelschmitte c und dem unendlich fernen Kegelschnitte von N liegen. 759. Untersuchen wir zuerst die Normalenfläche für den Fall, daß c ein beliebiger Schnitt des Kegels T ist. In

Fig. 473.

Fig. 473 ist c in der Ebene TI, angenommen, die Ebenen TT, und TI, sind senkrecht zu TT, durch die Achsen AB und ED von c gelegt; als Kurve c ist eine Ellipse gewählt. In der Figur sind die Ebenen TT, und TT, zuerst parallel mit sich selbst verschoben und dann um ihre Spuren r resp. y in die Horizontalebene umgelegt, um die Verhältnisse übersichtlicher zu gestalten. Die Tangenten von S“ an c berühren c in J und K; die Erzeugenden in TT, sind die Normalen i und k in den Punkten J und K von c; die Erzeugenden a und b in TT, gehen durch A und B und stehen auf S“A resp. S“B senkrecht; die Erzeugenden c und d in TT, gehen durch E und D und stehen auf S“E resp. S“D senkrecht.

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Die Normalenfläche besitzt eine Doppelkurve von der 3. Ordnung, ihre Kegelschnitte liegen in Ebenen, die eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen (753). Die Ebenen durch die Kegelschnitte der Normalenfläche, zu denen auch die unendlich ferne Ebene gehört, schneiden jede von ihnen in den Tangenten einer Parabel. So umhüllen die ersten, zweiten und dritten Spurlinien dieser Ebenen je eine Parabel p, p, und p. Die Parabel p, hat die Achsen von c und die Erzeugenden i und k zu Tangenten, denn die ersteren sind die Spuren von TI, und TT, die letzteren sind die in TT, liegenden Erzeugenden, durch welche außer TT, noch je eine weitere Kegelschnittebene hindurchgeht. Die Parabel p, berührt die Geraden a und b, rund z, denn a und b sind Erzeugende, rund z die Spuren von TI, und TI; analog berührt die Parabel p, die Geraden d und e, y und z.

Die gemeinsamen Tangenten von c und p, sind die ersten Spurlinien solcher Ebenen, die zwei unendlich nahe Erzeugende der Fläche enthalten; die Erzeugenden durch ihre Berührungspunkte mit c sind die Torsallinien. Im vorliegenden Falle existieren nur zwei reelle Torsallinien, sie sind jedoch nicht in die Figur eingetragen.

760. Ist X irgend eine Ebene durch zwei Erzeugende, dann müssen ihre Spurlinien s, s, s, beziehentlich die drei Parabeln p, p, p, berühren. Die Ebene X schneidet die Fläche noch in einem Kegelschnitte q, der offenbar die folgenden Punkte enthält: R=s, × a, T'=s, ×b, U=s, Xd, W=s,><e, X=s, ×i und X'-s, ×k. Nun gilt der Satz (338), daß die Tangenten einer Parabel auf zwei festen Tangenten derselben ähnliche Punktreihen ausschneiden. Demnach begrenzen die Tangenten a, b und z der Parabel p, auf den Tangenten s, und r je zwei Strecken, die in dem gleichen Verhältnisse stehen, d. h. es ist: RZ: ZT=AC: CB (Z=zxs, C=2 × 2 ×y). Da aber AC = CIB ist, folgt RZ = ZT; ganz ebenso ergiebt sich UZ=ZW. Die Geraden RT' und UW sind demnach zwei Durchmesser des Kegelschnittes q, dessen Mittelpunkt in Z liegt.

Nun schneiden die Erzeugenden der Fläche auf allen Kegelschnitten und insbesondere auf c und q projektive Punktreihen aus (752), so daß die Punkte A, B, D, E von c projektiv sind zu den Punkten R, T, U, W auf q. Alle zu DE parallelen Geraden schneiden aber c in den Punktepaaren einer Involution, deren Doppelpunkte A und B sind und diese liegen zu jedem Punktepaar harmonisch. Demnach liegen die Punkte ABDE auf c und ebenso die Punkte RTÜV auf q harmonisch. Folglich muß die Gerade UV durch den Schnittpunkt der Tangenten von q in R und T' gehen, d. h. der Durchmesser UW ist parallel zu den Tangenten in den Endpunkten des Durchmessers RT, beide Durchmesser sind also konjugiert. Jede Ebene durch zwei Erzeugende schneidet die Normalenfläche in einem Kegelschnitte, der von den Vertikalebenen durch die Achsen des Kegelschnittes c in konjugierten Durchmessern geschnitten wird; ihre Endpunkte liegen auf den vier Erzeugenden durch die Scheitelpunkte von c. Mit anderen Worten: Die ersten Projektionen aller auf der Normalenfläche liegenden Kegelschnitte sind Kegelschmitte von der gleichen Art wie c, deren Achsen zugleich die Achsen von c sind. Denn je nachdem c vier, zwei, oder einen reellen Scheitel hat, also Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist, tritt Gleiches für alle Kegelschnitte der Fläche ein. In der Figur ist als Ebene X durch zwei Erzeugende die Ebene durch b gewählt, so daß b=s, wird. Die erste Spur s, geht durch B und berührt p, sie schneidet c noch in F, so daß X die Erzeugende f durch F" enthält (f“ L. c); die dritte Spur geht durch W=s, × DE und berührt p. Es ist nur noch zu bemerken, was in diesem Falle aus T =s, ×b wird, da ja s=b ist. Nun sind s, und b zwei Tangenten von p; fallen sie zusammen, so wird ihr Schnittpunkt T' zum Berührungspunkte von b mit p. Von q ist nur die erste Projektion q/ verzeichnet. Ferner ist die Schnittellipse r der Fläche mit der Ebene TT, angegeben. Die Erzeugenden d und e treffen TI, in den Endpunkten Po und Q des vertikalen Durchmessers von r; auf den Erzeugenden a und b liegen die Endpunkte N und O des zu P9 konjugierten Durchmessers. Um N auf a zu bestimmen, müssen wir die zu a benachbarte Erzeugende mit TI, zum Schnitt bringen; dieser Punkt unterscheidet sich nur unendlich wenig von N, so daß er an seine Stelle treten kann. Die erste Projektion MV" liegt also auf der Achse AB und auf der Normalen in dem zu A benachbarten Punkte von c; N” und O" sind sonach die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel A und B der Ellipse c. Die Ellipse r enthält auch die Punkte L = i × AB und M = k. × AB und G =f×b (G“ –fox AB, GG" L x). Die scheinbaren Umrisse der Normalenfläche in TI, TT, und TT,

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