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Punkten, so daß in jeder Ebene durch die Gerade = LL' zwei Erzeugende unserer Fläche liegen. Jede Erzeugende trifft die Gerade 7. Andererseits sind die Strahlbüschel in П und П' mit dem gemeinsamen Scheitel O projektiv; die Ebenen durch je zwei entsprechende Strahlen dieser Büschel umhüllen eine Kegelfläche 2. Ordnung und enthalten je zwei Erzeugende der Regelfläche, da sie e und c' in zweimal zwei entsprechenden Punkten schneiden. Je zwei Erzeugende in jeder Tangentialebene dieser Kegelfläche schneiden sich auf 7. Zu den Tangentialebenen dieses Kegels gehört auch die Ebene 10, die e und e' in entsprechenden Punkten schneidet. Die Gerade ist eine Doppelgerade unserer Regelfläche, jede Ebene durch sie schneidet die Fläche noch in zwei Erzeugenden. Alle anderen Ebenen durch zwei Erzeugende umhüllen eine Kegelfläche 2. Ordnung K mit dem Scheitel O, die von der Doppelgeraden 7 berührt wird. Wir können auch sagen: alle Ebenen, die Kegelschnitte der Regelfläche enthalten, umhüllen einen Kegel 2. Ordnung K mit dem Scheitel O.

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Überträgt man die Resultate von 323 und 326 auf eine Kegelfläche, so erhält man folgenden Satz: Liegt in einer Tangentialebene einer Kegelfläche 2. Ordnung eine beliebige Involution von Strahlenpaaren, deren Scheitel in den Scheitel der Kegelfläche fällt, so schneiden sich je zwei Tangentialebenen durch je zwei entsprechende Strahlen der Involution in den Strahlen eines ebenen Strahlbüschels. Nun schneiden aber die Strahlen, durch L die Kurve c in den Punktepaaren A, B, einer Involution, die mit O verbunden, die Strahlenpaare OA,, OB, einer Involution liefern. Die Tangentialebenen des Kegels K durch die Strahlen OA, und OB; schneiden sich in einer Geraden y, und alle diese Geraden y (i = 1, 2, 3 . . .) liegen in einer Ebene M durch O. Die Erzeugenden durch A und B liegen einerseits in der Ebene lx, und andererseits in den genannten Tangentialebenen von K; ihr Schnittpunkt ist also der Schnittpunkt von y; mit der Ebene lx, und liegt in M. Alle Ebenen durch 7 schneiden daher die Fläche in je zwei Erzeugenden, deren Schnittpunkt in der Ebene M liegt. Der Ort dieser Punkte in M ist eine Doppelkurve m unserer Fläche, die demnach ein Kegelschnitt sein muß, der den Punkt M=1x M enthält. Denn die Schnittkurve der Fläche mit M muß von der 4. Ordnung sein. Die Regelfläche besitzt eine Doppelgerade 7 und einen Doppelkegelschnitt m, die sich in einem Punkte M schneiden. Die Ebene M des Doppelkegelschnittes m trägt auch den Scheitel O des Kegels K, in dessen Tangentialebenen die

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Kegelschnitte der Regelfläche liegen. Eine dieser Tangentialebenen enthält die Doppelgerade l.

Die Tangenten von O an die Kurve c berühren sie in zwei Punkten, durch die zwei Torsallinien der Fläche gehen, deren Kuspidalpunkte auf der Doppelgeraden / liegen. Die Berührungspunkte der Tangenten von L an c liegen auf zwei Torsallinien, deren Kuspidalpunkte dem Doppelkegelschnitte angehören.

Die Tangentialebenen des Kegels K schneiden auf seiner Tangente eine Punktreihe und aus seiner Tangentialebene П einen dazu projektiven Strahlbüschel aus, der e in den Punktepaaren einer Involution schneidet. Die Verbindungslinien dieser Punktepaare mit den entsprechenden Punkten auf 7 sind die Erzeugenden der Regelfläche, für die sich daraus folgende Erzeugungsweise ergiebt. Bestimmt man auf einem Kegelschnitte eine Involution von Punktepaaren und auf einer beliebigen Raumgeraden 7 eine dazu projektive Punktreihe, so bilden die Verbindungslinien entsprechender Punkte die Erzeugenden einer Regelfläche 4. Grades, mit der Doppelgeraden 7 und einem Doppelkegelschnitte.

Die Regelfläche 4. Grades mit einer Doppelgeraden und einem Doppelkegelschnitt geht durch eine reciproke Raumtransformation in eine Fläche derselben Art über. Dieses lehren uns unmittelbar die oben gewonnenen Resultate.

756. Wir gehen wieder von zwei Kegelschnitten c und c' und zwei auf ihnen liegenden projektiven Punktreihen (A) und (A') aus; machen aber jetzt die Voraussetzung, daß die Schnittlinie s ihrer Ebenen П und П' sie in zweimal zwei entsprechenden Punkten schneidet, oder daß bei der projektiven Beziehung der Kegelschnitte c und c', sowie ihrer Ebenen П und П', die Gerade s sich selbst entspricht. Schneiden sich also s und e in 4, und 42, so schneiden sich s und c' in Æ′ und 4. Es ist klar, daß s eine Doppelerzeugende der Regelfläche 4. Grades ist, deren Erzeugende AA entsprechende Punkte von c und c' verbinden. Wir wollen nun zeigen, daß die Regelfläche 4. Grades im vorliegenden Falle außer einer Doppelerzeugenden noch zwei Doppelgeraden besitzt, die von allen Erzeugenden getroffen werden.

Α,

Der Punktreibe auf s, als Reihe der Ebene ПT, entspricht in der projektiven Ebene ПT' wieder eine Punktreihe auf s. Die beiden. projektiven Reihen haben zwei Doppelpunkte L und M, durch sie gehen die beiden Doppelgeraden / und m der Fläche. Man legt sie durch L resp. M derart, daß sie zwei beliebige Erzeugende, etwa 4,4' und 44, treffen. Daß dann eine beliebige Erzeugende

 ̧æ ebenfalls 7 und m trifft, erkennt man wie folgt. Die beiden Strahlbüschel L( ̧ ̧ ̧¦) und L (1⁄4 ̧ ́à ̧ ́à ̧ ́à ̧) haben gleiches Doppelverhältnis; sie liegen perspektiv, da L auf 4,4,' liegt. Deshalb schneiden sich die Ebenen LA,', Là ̧ und LAA in einer Geraden, d. h. 4.4 trifft die Gerade 7, in der sich die beiden ersten Ebenen schneiden.

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Jede Ebene durch eine Doppelgerade schneidet die Fläche noch in zwei Erzeugenden; jede Ebene durch die Doppelerzeugende enthält noch einen Kegelschnitt der Fläche. Durch jeden Punkt von / gehen zwei Erzeugende, die gemeinsamen Sekanten von c und m, sie schneiden also c in einem Punktepaare, dessen Verbindungslinie durch M geht. Die Erzeugenden der Regelfläche sind die gemeinsamen Sekanten zweier Geraden und m und eines Kegelschnittes c. Dabei ist es gleichgültig, ob die Sekante LM, die in der Ebene des Kegelschnittes c liegt, diesen schneidet oder nicht. Im ersteren Falle ist LM eine wirkliche Doppelerzeugende, in ihr durchschneiden sich zwei Mäntel der Regelfläche; im letzteren. Falle verläuft die Doppelerzeugende LM isoliert, sie liegt nicht auf der Regelfläche selbst. Durch die Berührungspunkte der von M an c gelegten Tangenten gehen zwei Torsallinien, deren Kuspidalpunkte auf 7 liegen; analog giebt es zwei Torsallinien mit Kuspidalpunkten auf m.

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Der Tangentialkegel aus einem Punkte der Doppelerzeugenden an die Regelfläche ist von der 2. Ordnung. Denn jede Gerade durch den Scheitel dieses Kegels trifft noch zwei Erzeugende der Fläche, es gehen durch sie also noch zwei Tangentialebenen des genannten Kegels. Man kann die Sache auch noch genauer verfolgen, indem man die gleiche Methode anwendet wie früher bei der Regelfläche 4. Grades mit einer Doppelkurve 3. Ordnung. Hiernach folgt, daß die Erzeugenden der Regelfläche auch als die Tangenten einer Kegelfläche 2. Ordnung, die zwei feste Geraden 7 und m treffen, angesehen werden können. Die gemeinsame Sekante von und m durch den Kegelscheitel ist die Doppelerzeugende; die Schnittpunkte des Kegels mit den Doppelgeraden / und m sind die Kuspidalpunkte und die bezüglichen Torsallinien berühren den Kegel in ihnen.

Auch die Regelflächen 4. Grades mit zwei Doppelgeraden und einer Doppelerzeugenden gehen bei einer reciproken Raumtransformation wieder in Flächen derselben Art über.

757. Sind nun alle Regelflächen 4. Grades von einer der behandelten drei Arten? Ohne Zweifel, wenn es auf ihnen Kegel

schnitte giebt; denn die Erzeugenden müssen auf diesen projektive Punktreihen ausschneiden. Jede Erzeugende einer Regelfläche 4. Grades wird aber von zwei anderen Erzeugenden getroffen (726); eine Ebene durch zwei Erzeugende muß entweder noch einen Kegelschnitt, oder eine Doppelgerade ausschneiden. Denn zwei getrennte Geraden können es nicht in allen solchen Ebenen sein, sonst würde die Fläche in zwei Hyperboloide zerfallen.

Es giebt nun in der That Regelflächen 4. Grades, die zwei Doppelgeraden besitzen, aber keinen Kegelschnitt enthalten. Da eine Ebene durch eine Erzeugende die Fläche noch in einer Kurve 3. Ordnung schneidet, so sehen wir, daß ihre Erzeugenden die gemeinsamen Sekanten einer ebenen Kurve 3. Ordnung und zweier sie schneidender Geraden sind; diese Geraden sind die Doppelgeraden der Fläche. Die Erzeugenden vermitteln zwischen den Punkten der Doppelgeraden eine zwei - zweideutige Beziehung (jedem Punkte der einen Geraden entsprechen immer zwei der anderen) und diese wird man bei einer näheren Untersuchung der Fläche zum Ausgangspunkte wählen. Wir haben bereits bei der projektiven Beziehung der Punkte einer Reihe auf die Punktepaare einer Involution einen Kegelschnitt zu Hilfe genommen, und wir wollen auch hier die Punkte der einen Doppelgeraden 7 den Punkten eines Kegelschnittes 7o projektiv zuordnen. Den Punkten der zweiten Doppelgeraden m entsprechen dann Punktepaare auf und durch die Projektivität zwischen und 70 auch Punktepaare auf 1o. Verbindungslinien dieser Punktepaare von 7o umhüllen eine Kurve mo, und wir lassen den Punktepaaren auf 1o den Berührungspunkt ihrer Verbindungslinie mit m° entsprechen. Es giebt nun immer zwei Punkte auf m, deren entsprechende Punktepaare auf 1, oder auf 1o, einen gegebenen Punkt enthalten. Da aber jedem Punkte von m ein Punkt von m° entspricht, so giebt es immer zwei Punkte auf mo, deren Tangenten durch einen gegebenen Punkt von 70 gehen, d. h. mo ist ein Kegelschnitt.

Zwischen den Punkten der Kegelschnitte 7° und mo besteht eine zwei - zweideutige Beziehung; jedem Punkte von 70 entsprechen die beiden Punkte von mo, deren Tangenten durch ihn gehen, jedem Punkte von mo entsprechen die beiden Punkte von 1o, die auf seiner Tangente liegen. Bezieht man die Punkte von 7° und mo projektiv auf die Punkte der Doppelgeraden 7 resp. m, so erhält man auf ihnen eine zwei - zweideutige Beziehung und die Verbindungslinien entsprechender Punkte liegen auf einer Regelfläche 4. Grades.

Den vier Punkten auf 1o, die zugleich auf m° liegen, entsprechen

Punktepaare auf mo, deren Punkte zusammenfallen; den vier Punkten auf mo, deren Tangenten zugleich 1o berühren, entsprechen ebenfalls Punktepaare mit zusammenfallenden Punkten. Demgemäß giebt es auf jeder der beiden Doppelgeraden je vier Kuspidalpunkte, also im ganzen acht Torsallinien. Je nach der gegenseitigen Lage von 1o und mo ergeben sich verschiedene Realitätsverhältnisse der Kuspidalpunkte. Näher wollen wir auf diese Art von Regelflächen nicht eingehen, da sie weiterhin keine Anwendung finden.

758. Die Normalenflächen einer Fläche 2. Grades. Zieht man auf einer beliebigen Fläche eine Kurve und in ihren Punkten die Normalen der Fläche, so erhält man eine Regelfläche, die man als Normalenfläche bezeichnet. Es soll hier die Fläche 2. Grades zu Grunde gelegt werden und wir wollen die Normalenfläche für einen ihrer ebenen Schnitte konstruieren. Die Tangentialebenen in den Punkten einer solchen Schnittkurve umhüllen aber eine Kegelfläche 2. Ordnung, welche die Fläche 2. Grades längs derselben berührt, und die Normalen der Fläche 2. Grades in ihnen sind zugleich Normalen der Kegelfläche. Unsere Aufgabe deckt sich also mit der folgenden: Die Normalenfläche für einen ebenen Schnitt einer Kegelfläche 2. Ordnung zu konstruieren. Je nach der Lage des Schnittes gegen die Achse der Kegelfläche haben wir verschiedene Fälle zu unterscheiden, die uns zu den vorher aufgezählten Arten der Regelflächen 4. Grades führen werden.

1?

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Zunächst erkennen wir, daß der Richtungskegel der Normalenfläche von der 2. Ordnung ist. Ist nämlich der gegebene Kegel, S sein Scheitel, c seine Schnittkurve mit der Ebene П1, so finden wir den Normalkegel N mit dem Scheitel S und seine Schnittkurve n. mit П, in folgender Weise. Ist P ̧Ð1⁄2Ð ̧..., oder kurz (P) eine Punktreihe auf c, so schneiden die zugehörigen Tangenten auf zwei festen Tangenten von c projektive Punktreihen aus, etwa (4) und (B). Indem wir sie mit S verbinden, erhalten wir zwei projektive Strahlbüschel (a) und (6); indem wir ferner auf jedem dieser Strahlen in S eine Normalebene errichten, gelangen wir zu zwei projektiven Ebenenbüscheln (A) und (B). Ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich in den Mantellinien (9) des Normalkegels N, der somit von der 2. Ordnung ist, und diese treffen П, in den Punkten (2) des Kegelschnittes n. Dabei ist die Punktreihe (P) auf e projektiv bezogen auf die Punktreihe (Q) auf n und auf die Mantellinien (g) des Normalkegels (oder Polarkegels, 106).

Zieht man durch jeden Punkt der Punktreihe (P) auf c eine

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