tations hyperboloid und Asymptotenkegel schneiden aus einer beliebigen Geraden Sehnen aus, deren Mittelpunkte zusammenfallen.1 545. Die Schnittkurve des Rotations hyperboloides mit einer Ebene ist zu untersuchen und zu zeichnen. Die soeben bewiesenen Sätze lassen uns weiter schließen, daß eine beliebige Ebene E das Hyperboloid ▲ und seinen Asymptotenkegel K in ähnlichen und ähnlich liegenden, koncentrischen Kegelschnitten schneiden. Denn die Mittelpunkte eines Systems paralleler Sehnen der einen Kurve sind zugleich die Mittelpunkte der mit ihnen koincidierenden Sehnen der anderen; da aber die eine Kurve ein Kegelschnitt ist und je zwei konjugierte Durchmesser desselben auch konjugierte Durchmesser der anderen Kurve sind, so folgt die Richtigkeit unserer Behauptung (vergl. 555). Die Mittelpunkte paralleler Schnitte eines Kegels liegen auf einer Geraden durch seine Spitze; in gleicher Weise liegen die Mittelpunkte paralleler Schnitte eines Hyperboloides auf einer Geraden durch den Mittelpunkt M seines Kehlkreises; diesen nennen wir kurz Mittelpunkt des Hyperboloides und die Geraden durch ihn seine Durchmesser. Durchmesser und Diametralebene, die in Bezug auf den Asymptotenkegel konjugiert sind, sind es auch in Bezug auf das Hyperboloid. Man bezeichnet nämlich jede Gerade durch die Spitze des Asymptotenkegels als Durchmesser und jede Ebene durch sie als Diametralebene und nennt Durchmesser und Diametralebene konjugiert in Bezug auf den Kegel resp. auf das Hyperboloid, wenn diese die zu dem Durchmesser parallelen Sehnen halbiert (vergl. 486). Aus dieser Definition. erschließt man den voranstehenden Satz unmittelbar. Da zwei parallele Ebenen den Kegel in ähnlichen und ähnlich liegenden Kurven schneiden, so schneiden sie auch das Hyperboloid in ähnlichen und ähnlich liegenden Kegelschnitten, d. h. je zwei parallele Durchmesser derselben stehen in dem nämlichen Verhältnisse. Verbindet man also die Endpunkte je zweier paralleler, gleichgerichteter Halbmesser, so treffen diese Verbindungslinien die Gerade durch die Mittelpunkte in dem nämlichen Punkte; Gleiches gilt, wenn man die Endpunkte paralleler, entgegengesetzt gerichteter 1 Dieser Satz gilt auch noch, wenn die Schnittpunkte mit dem Hyperboloid oder dem Kegel, oder mit beiden imaginär werden, denn die Mittelpunkte bleiben dann immer noch reell; nur kann man hier unter Sehne keine reell begrenzte Strecke mehr verstehen. Halbmesser verbindet. Durch je zwei parallele Schnitte des Hyperboloides kann man also zwei Kegel legen, die beide Schnitte enthalten und deren Spitzen auf dem Durchmesser durch die Mittelpunkte der Schnitte liegen. Rücken die beiden Parallelebenen einander unendlich nahe, so geht der eine Kegel in eine Ebene, der andere in einen Tangentialkegel über. Die Tangenten aus einem beliebigen Punkte an ein Hyperboloid gelegt berühren dasselbe in den Punkten eines Kegelschnittes; der Durchmesser durch jenen Punkt enthält seinen Mittelpunkt. Die hier dargelegten Verhältnisse zeigen, daß die Meridiankurven des Hyperboloides Hyperbeln sind, deren Nebenachsen in die Rotationsachse fallen. 546. Bei der Konstruktion der Schnittkurves des Hyperboloides A mit einer Ebene E gehen wir wieder von zwei parallelen 3 zu Projektionsebenen π1 und П, aus, die E in den parallelen Spuren e1, eg und Ʌ in den Spurkreisen c1, c, schneiden (c3′ = c1) (Fig. 348). Um einzelne Punkte des Kegelschnittes S zeichnen, können wir die Durchstoßpunkte von E mit den einzelnen Erzeugenden aufsuchen. Sind G1, G2 die Spurpunkte einer Erzeugenden und ziehen wir durch sie in den Ebenen П,, П, irgendwie zwei Parallelen, so treffen diese e, resp. e3 in Punkten Q, resp. Q3, und P = G1G, × Q1 Q3 1 3 ist der gesuchte Punkt; denn G11 und GQ, bilden die erste und dritte Spur einer durch die Erzeugende gelegten Hilfsebene. Die Achse von s liegt offenbar in der Ebene, die senkrecht zu E durch die Rotationsachse gelegt werden kann, da die Punkte von s paarweise symmetrisch zu dieser Ebene sind. Zieht man also durch M' eine senkrechte y' zu e1, so ist Y1 = yx e, der erste und = 3 3 Y' = y' × e' die Projektion des dritten Spurpunktes der Achse y von s; natürlich ist auch y' eine Achse von s'. Die Endpunkte dieser Achse und den Mittelpunkt kann man nach 544 bestimmen; in dem in der Figur verzeichneten Falle sind die Endpunkte imaginär, während sich der Mittelpunkt unter Vereinfachung des Verfahrens von 544 folgendermaßen ergiebt. Man ziehe an k' eine Tangente hy', verbinde die Schnittpunkte H1, H2 von h' und c, c mit und Y' resp., fälle von SHY, × H'Y' ein Lot Y1 auf h', dessen Fußpunkt 7 sei; die Verbindungslinie von & mit dem Mittelpunkte der Strecke TM' trifft dann y' in dem gesuchten Mittelpunkte von s'. Die zweite Achse von s ist parallel zu e1, ihre Endpunkte A, B liegen auf dem Parallelkreise, dessen Ebene durch O geht. Diese Ebene teilt aber YY, und die Erzeugende HH, in dem nämlichen Verhältnisse und der Teilpunkt R der letzteren gehört dem gesuchten Parallelkreise an (SO'h' = R′, A'B' || e̟1, M'A M'B' = M'R'). 3 In gleicher Weise kann man die Punkte von s auf einem beliebigen Parallelkreise finden. Man schlage um M' einen Kreis i er stellt die Projektionen zweier Parallelkreise dar schneide i mit h' in C und D und ziehe durch die Punkte SC × y' und SD × y' Parallelen zu e1, so tragen diese die vier Schnittpunkte von s' und Hiernach liegt T auf s'. Analog sind auch die Berührungspunkte von s' und k' bestimmt. i. Die Kurve s ist im vorliegenden Falle eine Hyperbel, ihre Asymptoten sind den beiden zu E parallelen Mantellinien des Asymptotenkegels parallel. Die zwischen П, und П, liegenden Stücke seiner Mantellinien sind alle gleich lang, nämlich gleich H1H,, und ihre Projektionen werden gleich H1H'; demnach sind auch die zwischen e, und e,' liegenden Stücke der Asymptoten von s' gleich HH', diese treffen also e, in den beiden Punkten, die von einem Kreise um mit dem Radius H1R' ausgeschnitten werden. Will man die wahre Gestalt der Hyperbel s zeichnen, so muß man den Abstand der Ebenen П1, П, kennen. e1 19 547. Auf einem Rotations hyperboloid sei Eigenschatten und Schlagschatten bei paralleler Beleuchtung zu bestimmen (Fig. 349). Das Hyperboloid mag wieder in der früheren Weise gegeben sein; L, und L, seien erster und dritter Spurpunkt des Lichtstrahles 7 durch M. Die Lichtgrenze u auf dem Hyperboloid ist eine ebene Kurve — in der Figur ist es eine Hyperbel - deren Ebene den Asymptotenkegel in zwei Mantellinien schneidet, die auf diesen ebenfalls die Lichtgrenze bilden. Legt man aber von L1 Tangenten an den ersten Spurkreis d, des Asymptotenkegels und sind und K ihre Berührungspunkte, so sind JM und KM seine Lichtgrenzen und zugleich die Asymptoten von u. M ist der Mittelpunkt und die Falllinie MH eine Achse von u, die andere Achse EF hat ihre Endpunkte auf dem Kehlkreise k; u trifft c, in den C1 * Schnittpunkten A und B von JK x c und C3 in den entsprechenden Punkten und D. Hiernach findet man die Projektionen "' und u" ohne weiteres. Der Schlagschatten u von u auf TT, ist eine Hyperbel mit den Achsen und EF EF und den Asymptoten JL1, KL1, da L1 = M der Schatten von Mist; u berührt c1 resp. C3 in den Punkten A, B resp. C, D. Über den Schatten des Randes C3 auf Grund- und Aufrißebene ist nichts weiter zu bemerken, es bleibt nur noch sein Schatten c* auf das Hyperboloid zu besprechen. Alle zu 7 parallelen, vom Hyperboloide begrenzten Sehnen werden von der Ebene durch u halbiert. Liegt der eine Endpunkt dieser Sehnen auf c,, so gehört der andere c* an, und da c, eine ebene Kurve ist, so muß es auch c,* sein. Durch CD gehen vier harmonische Ebenen; es werden nämlich die Ebenen durch c, und c,* harmonisch getrennt von der Ebene durch u und der zu 7 parallelen Ebene. Denn die Parallelen zu schneiden die ersten drei Ebenen in äquidistanten Punkten, die letzte im Unendlichen. Die zu CD parallelen ersten Spuren jener vier Ebenen sind demnach ebenfalls. harmonisch, und da die Ebene durch c, zu П, parallel ist, so muß die erste Spur der Ebene durch c,* in der Mitte liegen zwischen AB und dem Schatten von CD auf П1, d. h. die erste Spur der Ebene durch c* geht durch L. Man erhält nun c,*, indem man etwa nach 546 die Schnittkurve des Hyperboloides mit der Ebene zeichnet, deren erste Spur EF und deren dritte Spur CD ist. Man kann indessen auch davon ausgehen, daß c, und c,* affine Kurven sind, C3 CD ist die Affinitätsachse. Um ein Paar affiner Punkte zu erhalten, suche man den Schatten G* des Punktes G, der die Mitte des Kreisbogens CD bildet. Trifft der Lichtstrahl durch G die Ebene durch N'G'. u in N, so ist G*N' 1 * * Legt man durch eine Erzeugende Q12, die Ebene parallel zu 1, so schneidet sie П1 in dem Schatten Q1Q3; diese Ebene berührt das Hyperboloid in einem Punkte P von Q1, der der Lichtgrenze u angehört. Bei jeder Rotationsfläche steht aber die Tangentialebene in einem Punkte P senkrecht auf der Meridianebene durch P, in unserem Falle ist also M'P'1Q103 Der Schatten P von P fällt in den Berührungspunkt von Q123 mit u * 548. Auf einem Rotations hyperboloid sei die Berührungskurve u des von einem Punkte O aus an ihn gelegten Tangentenkegels zu zeichnen (Fig. 350). Das Hyberboloid mag von der Parallelebene durch O in dem Parallelkreise i geschnitten werden, dann ist die Lage von O durch seine erste Projektion O' bestimmt, wenn man kennt. Ist etwa O als Punkt einer Geraden mit den Spurpunkten G1, G ̧ gegeben, so teile man eine Erzeugende EE, in dem Verhältnisse OG1: OG,, dann liegt dieser Teilpunkt auf i. Fragt man sich nun nach dem Schnittpunkte S von u mit einer beliebigen Erzeugenden EE, so ist dieser Punkt nichts anderes als der Berührungspunkt der Ebene OE, E, mit dem Hyperboloid. Verbindet man den Schnittpunkt J von EE, und i mit O (J ́E1: J'E' = O'G1: O'G2'), so gehört JO jener Ebene an; ihre erste und dritte Spur sind zu JO parallel und gehen durch E1 resp. E. Ihr Berührungspunkt S 3 |