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Tangenten an den ersten Spurkreis d', des Asymptotenkegels und sind J und K ihre Berührungspunkte, so sind JM und KM seine Lichtgrenzen und zugleich die Asymptoten von u. M. ist der Mittelpunkt und die Falllinie MIH eine Achse von u, die andere Achse EF hat ihre Endpunkte auf dem Kehlkreise k; u trifft c, in den

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Schnittpunkten A und B von JK × c, und c, in den entsprechenden Punkten C und D. Hiernach findet man die Projektionen u“ und u“ ohne weiteres. Der Schlagschatten u. von u auf TT, ist eine Hyperbel mit den Achsen l und E„F, HEF und den Asymptoten JL, KL, da L, = M., der Schatten von Mist; u. berührt c, resp. c„ in den Punkten A, B resp. C, D. Uber den Schatten des Randes c, auf Grund- und Aufrißebene ist nichts weiter zu bemerken, es bleibt nur noch sein Schatten c“ auf das Hyperboloid zu be

sprechen.

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Alle zu l parallelen, vom Hyperboloide begrenzten Sehnen werden von der Ebene durch u halbiert. Liegt der eine Endpunkt dieser Sehnen auf c, so gehört der andere c“ an, und da c, eine ebene Kurve ist, so muß es auch c“ sein. Durch CD gehen vier harmonische Ebenen; es werden nämlich die Ebenen durch c, und c“ harmonisch getrennt von der Ebene durch u und der zu l parallelen Ebene. Denn die Parallelen zu l schneiden die ersten drei Ebenen in äquidistanten Punkten, die letzte im Unendlichen. Die zu CD parallelen ersten Spuren jener vier Ebenen sind demnach ebenfalls harmonisch, und da die Ebene durch c, zu TT, parallel ist, so muß die erste Spur der Ebene durch c“ in der Mitte liegen zwischen AB und dem Schatten von CD auf TT, d. h. die erste Spur der Ebene durch c“ geht durch L. Man erhält nun c“, indem man etwa nach 546 die Schnittkurve des Hyperboloides mit der Ebene zeichnet, deren erste Spur E„F, und deren dritte Spur CD ist. Man kann indessen auch davon ausgehen, daß c, und c“ affine Kurven sind, CD ist die Affinitätsachse. Um ein Paar affiner Punkte zu erhalten, suche man den Schatten G“ des Punktes G, der die Mitte des Kreisbogens CD bildet. Trifft der Lichtstrahl durch G die Ebene durch u in N, so ist Go“N" = N'G".

Legt man durch eine Erzeugende Q, Q, die Ebene parallel zu I, so schneidet sie TT, in dem Schatten Q, Q„; diese Ebene berührt das Hyperboloid in einem Punkte Po von Q, Q, der der Lichtgrenze u angehört. Bei jeder Rotationsfläche steht aber die Tangentialebene in einem Punkte Psenkrecht auf der Meridianebene durch P, in unserem Falle ist also M"P" LQ, Q„. Der Schatten Po, von Pfällt in den Berührungspunkt von Q, Q„ mit u.

548. Auf einem Rotationshyperboloid sei die Berührungskurve u des von einem Punkte O. aus an ihn gelegten Tangentenkegels zu zeichnen (Fig. 350). Das Hyberboloid mag von der Parallelebene durch O in dem Parallelkreise i geschnitten werden, dann ist die Lage von O durch seine erste Projektion O' bestimmt, wenn man i kennt. Ist etwa O. als Punkt einer Geraden mit den Spurpunkten G, G., gegeben, so teile man eine Erzeugende EE, in dem Verhältnisse OG: OG, dann liegt dieser Teilpunkt auf i. Fragt man sich nun nach dem Schnittpunkte S. von u mit einer beliebigen Erzeugenden E„E, so ist dieser Punkt nichts anderes als der Berührungspunkt der Ebene OE„E, mit dem Hyperboloid. Verbindet man den Schnittpunkt J von EE, und i mit O (VE: J/E/=OG: O'G'), so gehört JO jener Ebene an; ihre erste und dritte Spur sind zu JO parallel und gehen durch E, resp. E. Ihr Berührungspunkt S liegt in der zu ihr senkrechten Meridianebene, das Lot von M" auf 0-J" trifft also E„E" in S. F = E und F = E, sind die Spurpunkte einer neuen Erzeugenden, deren Projektion sich mit der von E„E“ deckt; das Lot von M" auf OK", wo K" der andere Schnittpunkt von EE" und " ist, trifft EE" = FF" in einem zweiten Punkte G“ von u“. In gleicher Weise kann man beliebig viele Punkte von u" konstruieren. Aus dieser Konstruktion folgt, daß die Berührungspunkte der Tangenten von O' an i auf u“ liegen und daß sich in den Berührungspunkten der Tangenten von 0 an k” die Kurve u“ und k“ berühren. Beschreibt man also über M'O' als Durchmesser einen Kreis, so schneidet dieser aus i" zwei Punkte von u“ und aus k“ seine Berührungspunkte mit u“ aus. O/M" ist die eine Achse von u“, die andere Achse enthält die Mittelpunkte der zu O'M' parallelen Sehnen von u“. Bestimmt man also auf einer Tangente t“ von k“, die zu O'M' parallel ist, die beiden Punkte P', Q von u“ nach der soeben beschriebenen Methode, so liegt der Mittelpunkt R“ von PQ auf der zweiten Achse von u” und N” ist der Mittelpunkt von u“ (WR“-L OM). Die Endpunkte A, B der Achse NR von zu liegen auf einem Parallelkreise h, dessen Ebene den Mittelpunkt N von u enthält; N liegt aber nach 545 auf MO. Die Erzeugende t = TT, die i in U und k in W schneidet, schneideth im Punkte X, für den die Relation X"U": X"W" = N'0: N'M' gilt; denn OU, MW und NX liegen in parallelen Ebenen. Durch diese Relation ergiebt sich X", indem sich O'U', M'V' und N'X' in einem Punkte schneiden, und es ist M'A'– M'B'– M'X'. Im vorliegenden Falle ist zu eine Hyperbel und ihre Asymptoten sind parallel zu den Mantellinien des Asymptotenkegels, deren Tangentialebenen durch O gehen. Der Asymptotenkegel schneidet die Ebene des Parallelkreises i in einem Kreise mit dem Radius U"W", die Tangenten von O an diesen Kreis berühren ihn in Punkten C, D jener Mantellinien, ihre Projektionen C, D liegen demnach auch auf dem Kreise mit dem Durchmesser O'M'. Die Asymptoten von u" gehen durch N" und sind zu M'C“ resp. M"D" parallel.

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549. Ein Hyperboloid zu konstruieren, das eine Ringfläche längs eines Parallelkreises oskuliert (Fig. 351). Betrachten wir eine Meridianebene, die das Hyperboloid in einer Hyperbel h und die Ringfläche in einem Kreise k schneidet, so müssen sich h und k in einem Punkte Poskulieren, durch den jener Parallelkreis geht. Nach 406 erhält man den Mittelpunkt N von h, indem man Po mit dem

Mittelpunkte O a“
von k verbindet, e“
OP mit der Achse IT
a in Q schneidet,

in Q eine Normale -- auf OQ errichtet “----------------------

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enthält RPdengesuchten Mittelpunkt N von h. Die Asymptoten von h sind dadurch definiert, daß sie zur Achse a symmetrisch liegen und den Winkel der konjugierten Durchmesser AWR und NS harmonisch teilen (NS L. OP, S = OM X NS). Bezeichnet man Fig. 351. mit K dem Schnittpunkt der einen Asymptote mit OM, so ist: MR-MS = (MK)“, was eine einfache Konstruktion der Asymptoten ergiebt, die in die Zeichnung nicht eingetragen ist. 550. Die soeben behandelte Aufgabe kann nun verschiedenartige Anwendungen finden; wir wollen uns zunächst nach den Haupttangenten in einem beliebigen Punkte A einer Rotationsfläche fragen. Bestimmen wir das Hyperboloid A, das die Rotationsfläche längs des Parallelkreises i durch A oskuliert, so sind seine Erzeugenden durch A. Haupttangenten der Rotationsfläche; denn sie treffen drei unendlich nahe Parallelkreise, haben also drei benachbarte Punkte mit der Rotationsfläche gemein. Um nun in der Hauptmeridianebene die Hyperbel zu zeichnen, die den Hauptmeridian der Rotationsfläche in dem Punkte P oskuliert, der mit A auf dem Parallelkreise i liegt, haben wir zunächst im Punkte P den Krümmungskreis k des Hauptmeridians zu suchen. Der Kreis k bildet dann den Hauptmeridian einer Ringfläche, welche unsere Rotationsfläche längs des Parallelkreises i oskuliert; das gesuchte Hyperboloid oskuliert dann sowohl Rotations- wie Ringfläche längs dieses Kreises, kann demnach nach voriger Nummer gefunden werden (Fig. 351). Die Haupttangenten im Punkte A sind parallel zu den beiden Mantellinien des Asymptotenkegels von A, die in einer zur Tangentialebene in A parallelen Ebene liegen; verschieben wir also den Asymptotenkegel parallel zu sich selbst bis sein Scheitel nach A gelangt, so enthält er jene Haupttangenten. Es gilt nun den Spurkreis des verschobenen Kegels und die Spurlinie der Tangentialebene in einer zur Achse a senkrechten Ebene, etwa in der Ebene TT, durch O. zu finden. Wir führen diese Konstruktion zunächst für den Punkt P aus; durch Drehung um die Achse a erhalten wir dann die gesuchten Haupttangenten. Auf OM wählen wir die Punkte J und T' so, daß P/L OM und PT" L. OP ist, beschreiben in TT, über JR als Durchmesser einen Kreis und ziehen durch T' die Normale zu OM, dann schneiden sich Kreis und Normale in den Spurpunkten U und V der Haupttangenten von P (in der Figur ist TT, um OM umgelegt). In der That ist nach der Konstruktion (JU)* = (JW)“= JT-JR, wie es ja sein muß, da in der Ebene des Hauptmeridians PR, PT" und die beiden Mantellinien des mit seinem Scheitel nach Po verschobenen Asymptotenkegels harmonisch liegen. Trägt man nun noch MT" = M"T“ auf M'A' als M"D" auf, zieht in D die Senkrechte zu M'A“ und macht D/B" = DC = T"U, so sind A"B“ und A"C" die ersten Projektionen der Haupttangenten von A, deren zweite Projektionen daraus unmittelbar sich ergeben. Man gebraucht also nur die Strecken T"M" und T"U, so daß man nur die folgenden Linien zu ziehen hat: O"P"Q“, Q“R“| P"T" LO"P", P“/“| T'U', 'a“ und den Kreis über R“/“. Hiermit ist auch die Konstruktion der Tangenten im Doppel

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