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Die Ebenen durch zwei Erzeugende schneiden also aus den projektiven Ebenen TT und TT“ entsprechende Gerade aus; sie umhüllen in diesen Ebenen entsprechende Kegelschnitte k und k“, die beide s = TT X TT" berühren. Nach 715 folgt hieraus, daß alle Ebenen durch zwei Erzeugende eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen, sie bilden also die Schmiegungsebenen einer Raumkurve 3. Ordnung. Zu den Ebenen durch zwei Erzeugende gehören auch die Tangentialebenen längs der vier Torsallinien, sie schneiden TT in den gemeinsamen Tangenten von k und c. 754. Der Tangentialkegel aus einem Punkte der Doppelkurve d an die Regelfläche ist von der 2. Ordnung, wie man schon daraus erkennt, daß jede Gerade aus diesem Punkte noch zwei weitere Erzeugende trifft, daß es also durch sie noch zwei Tangentialebenen an den Kegel giebt. Wir wollen die Sache jedoch noch etwas weiter verfolgen. Seien D ein Punkt der Doppelkurve, e, und e, die Erzeugenden durch ihn, A, A, und A“, A." ihre Schnittpunkte mit c resp. c. Ist dann e. = A, A,“ eine beliebige Erzeugende, so ist zu zeigen, daß die Ebene De, eine Kegelfläche 2. Ordnung umhüllt, wenn e, die Regelfläche beschreibt. Legen wir nun durch A, A, eine beliebige Ebene TT" und schneiden sie mit der Kegelfläche, die D zum Scheitel und c“ zur Leitkurve hat; die Schnittkurve sei c'o und ihr Schnittpunkt mit DA“ sei A". Die Reihen (A) auf c, (A) auf c' und (A) auf c' sind projektiv (A," = A, A" = A); die Ebene De, schneidet c und co in A, und A". Die Verbindungslinien entsprechender Punkte der Reihen (A) auf c und (A") auf c' bilden aber die eine Schar eines Hyperboloides, wie wir sogleich beweisen werden; die Ebenen De, oder DAA" umhüllen deshalb einen Tangentialkegel 2. Ordnung von ihm. Berührt dieser das Hyperboloid in dem Kegelschnitt u, so schneidet die Schar von Geraden A, A+" die Kurven c und u in projektiven Punktreihen. Beschreibt also die Erzeugende e, die Regelfläche, so umhüllt die Ebene. De, eine Kegelfläche 2. Ordnung. Dabei ist die Punktreihe auf c durch die Erzeugenden e, projektiv bezogen auf die Mantellinien der Kegelfläche, indem jede Erzeugende durch einen Punkt von c geht und den Kegel in einem Punkt der entsrechenden Mantellinie berührt. Was aber für die Kegelfläche aus dem Scheitel D gilt, gilt auch für den Tangentialkegel aus jedem anderen Punkte der Doppelkurve. Daraus ergiebt sich aber eine zweite Erzeugungsweise unserer Regelfläche. Bezieht man die Mantellinien zweier Kegelflächen 2. Ordnung projektiv aufeinander (indem man etwa die Punkte zweier Schnitte projektiv bezieht), so bilden die Schnittlinien der Tangentialebenen in entsprechenden Mantellinien die Erzeugenden einer Regelfläche 4. Grades. Es ist nun noch zu zeigen, daß die Geraden A49 die eine Schar eines Hyperboloides bilden, wenn die Reihen (A) auf c und (49) auf c' projektiv und die Punkte A, und A, beiden Reihen entsprechend gemeinsam sind. Der Büschel A, (AA, A, . . . .) in TT ist projektiv zu dem Büschel A. (A"A"A" . . . .) in TT", und da der erste Strahl in beiden übereinstimmt, sind sie perspektiv, d. h. die Geraden A4" liegen in den Ebenen eines Büschels, dessen Achse durch A, geht; ebenso liegen sie in den Ebenen eines Büschels, dessen Achse durch A, geht. Beide Ebenenbüschel sind projektiv, denn sie schneiden TT in projektiven Strahlbüscheln; ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich also in den Geraden der einen Schar eines Hyperboloides. Die doppelte Erzeugungsweise unserer Flächen zeigt, daß aus einer Regelfläche 4. Grades durch reciproke Raumtransformation wieder eine Fläche von gleicher Art hervorgeht. Zu jeder Eigenschaft der Regelfläche giebt es demnach eine duale Eigenschaft. Aus dem Satz über die Ebenen durch zwei Erzeugende folgt: daß die Doppelkurve der Regelfläche 4. Grades eine Raumkurve 3. Ordnung ist, die vier Kuspidalpunkte trägt, was man auch daraus hätte schließen können, daß jede Ebene diese Kurve in drei Punkten schneidet. 755. Wir betrachten jetzt die Fälle, in denen die projektiven Reihen (A) auf c und (A) auf c' eine besondere Lage zu einander einnehmen. Wir haben gesehen, daß die Ebenen durch zwei Erzeugende die feste Ebene TT in den Tangenten eines Kegelschnittes k, schneiden. Diese Tangenten gingen durch die entsprechenden Punkte zweier projektiver Reihen; die eine Reihe lag auf s, die andere auf einer Geraden r, beide Reihen entsprachen sich bei der projektiven Beziehung der Ebenen TT“ und TT. "Wir wollen nun annehmen, daß bei der projektiven Beziehung der Kegelschnitte c und c“ und der dadurch bedingten projektiven Beziehung ihrer Ebenen TT und TT“ ein Punkt O der Geraden s=TT x TT“ sich selbst entspricht. Dann sind einerseits die Punktreihen auf s und r perspektiv, die Verbindungslinien entsprechender Punkte dieser Reihen gehen also durch einen festen Punkt L von TT. Diesem Büschel in TT mit dem Scheitel L. entspricht in der projektiven Ebene TT“ ein Büschel mit dem Scheitel L'; ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich nach der Konstruktion auf s.

Je zwei solche Strahlen schneiden aber c und c“ in entsprechenden ROHN u. PAPPERITZ. II. 19

Punkten, so daß in jeder Ebene durch die Gerade l = LL/ zwei Erzeugende unserer Fläche liegen. Jede Erzeugende trifft die Gerade l. Andererseits sind die Strahlbüschel in TT und TT“ mit dem gemeinsamen Scheitel O projektiv; die Ebenen durch je zwei entsprechende Strahlen dieser Büschel umhüllen eine Kegelfläche 2. Ordnung und enthalten je zwei Erzeugende der Regelfläche, da sie c und c' in zweimal zwei entsprechenden Punkten schneiden. Je zwei Erzeugende in jeder Tangentialebene dieser Kegelfläche schneiden sich auf l. Zu den Tangentialebenen dieses Kegels gehört auch die Ebene l'O, die c und c“ in entsprechenden Punkten schneidet. Die Gerade l ist eine Doppelgerade unserer Regelfläche, jede Ebene durch sie schneidet die Fläche noch in zwei Erzeugenden. Alle anderen Ebenen durch zwei Erzeugende umhüllen eine Kegelfläche 2. Ordnung K mit dem Scheitel O, die von der Doppelgeraden l berührt wird. Wir können auch sagen: alle Ebenen, die Kegelschnitte der Regelfläche enthalten, umhüllen einen Kegel 2. Ordnung K mit dem Scheitel O.

Überträgt man die Resultate von 323 und 326 auf eine Kegelfläche, so erhält man folgenden Satz: Liegt in einer Tangentialebene einer Kegelfläche 2. Ordnung eine beliebige Involution von Strahlenpaaren, deren Scheitel in den Scheitel der Kegelfläche fällt, so schneiden sich je zwei Tangentialebenen durch je zwei entsprechende Strahlen der Involution in den Strahlen eines ebenen Strahlbüschels. Nun schneiden aber die Strahlen 3, durch L die Kurve c in den Punktepaaren A, B, einer Involution, die mit O verbunden, die Strahlenpaare OA, OB, einer Involution liefern. Die Tangentialebenen des Kegels K durch die Strahlen 04, und OB schneiden sich in einer Geraden y, und alle diese Geraden y (i = 1, 2, 3 . . .) liegen in einer Ebene M durch O. Die Erzeugenden durch A und B, liegen einerseits in der Ebene la, und andererseits in den genannten Tangentialebenen von K; ihr Schnittpunkt ist also der Schnittpunkt von y, mit der Ebene lae, und liegt in M. Alle Ebenen durch l schneiden daher die Fläche in je zwei Erzeugenden, deren Schnittpunkt in der Ebene M liegt. Der Ort dieser Punkte in M ist eine Doppelkurve m unserer Fläche, die demnach ein Kegelschnitt sein muß, der den Punkt M = 1 x M enthält. Denn die Schnittkurve der Fläche mit M muß von der 4. Ordnung sein. Die Regelfläche besitzt eine Doppelgerade l und einen Doppelkegelschnitt m, die sich in einem Punkte M schneiden. Die Ebene M des Doppelkegelschnittes m trägt auch den Scheitel O des Kegels K, in dessen Tangentialebenen die Kegelschnitte der Regelfläche liegen. Eine dieser Tangentialebenen enthält die Doppelgerade l. Die Tangenten von 0 an die Kurve c berühren sie in zwei Punkten, durch die zwei Torsallinien der Fläche gehen, deren Kuspidalpunkte auf der Doppelgeraden l liegen. Die Berührungspunkte der Tangenten von L an c liegen auf zwei Torsallinien, deren Kuspidalpunkte dem Doppelkegelschnitte angehören. Die Tangentialebenen des Kegels K schneiden auf seiner Tangente l eine Punktreihe und aus seiner Tangentialebene TT einen dazu projektiven Strahlbüschel aus, der c in den Punktepaaren einer Involution schneidet. Die Verbindungslinien dieser Punktepaare mit den entsprechenden Punkten auf l sind die Erzeugenden der Regelfläche, für die sich daraus folgende Erzeugungsweise ergiebt. Bestimmt man auf einem Kegelschnitte eine Involution von Punktepaaren und auf einer beliebigen Raumgeraden l eine dazu projektive Punktreihe, so bilden die Verbindungslinien entsprechender Punkte die Erzeugenden einer Regelfläche 4. Grades, mit der Doppelgeraden l und einem Doppelkegelschnitte. Die Regelfläche 4. Grades mit einer Doppelgeraden und einem Doppelkegelschnitt geht durch eine reciproke Raumtransformation in eine Fläche derselben Art über. Dieses lehren uns unmittelbar die oben gewonnenen Resultate. 756. Wir gehen wieder von zwei Kegelschnitten c und c' und zwei auf ihnen liegenden projektiven Punktreihen (A) und (A") aus: machen aber jetzt die Voraussetzung, daß die Schnittlinie s ihrer Ebenen TT und TT“ sie in zweimal zwei entsprechenden Punkten schneidet, oder daß bei der projektiven Beziehung der Kegelschnitte c und c, sowie ihrer Ebenen TT und TT", die Gerade s sich selbst entspricht. Schneiden sich also s und c in A, und A, so schneiden sich s und c' in A,“ und A". Es ist klar, daß s eine Doppelerzeugende der Regelfläche 4. Grades ist, deren Erzeugende A4% entsprechende Punkte von c und c' verbinden. Wir wollen nun zeigen, daß die Regelfläche 4. Grades im vorliegenden Falle außer einer Doppelerzeugenden noch zwei Doppelgeraden besitzt, die von allen Erzeugenden getroffen werden. Der Punktreihe auf s, als Reihe der Ebene TT, entspricht in der projektiven Ebene TT“ wieder eine Punktreihe aufs. Die beiden projektiven Reihen haben zwei Doppelpunkte L und M., durch sie gehen die beiden Doppelgeraden l und m der Fläche. Man legt sie durch L. resp. M derart, daß sie zwei beliebige Erzeugende, etwa AA und AA, , treffen. Daß dann eine beliebige Erzeugende

4,4% ebenfalls l und m trifft, erkennt man wie folgt. Die beiden Strahlbüschel L(A, AA, A) und L (A"AAA") haben gleiches Doppelverhältnis; sie liegen perspektiv, da L auf A, A,“ liegt. Deshalb schneiden sich die Ebenen LA, A, LA, A, und LAA“ in einer Geraden, d. h. A4 trifft die Gerade 1, in der sich die beiden ersten Ebenen schneiden. Jede Ebene durch eine Doppelgerade schneidet die Fläche noch in zwei Erzeugenden; jede Ebene durch die Doppelerzeugende enthält noch einen Kegelschnitt der Fläche. Durch jeden Punkt von l gehen zwei Erzeugende, die gemeinsamen Sekanten von c und m, sie schneiden also c in einem Punktepaare, dessen Verbindungslinie durch M geht. Die Erzeugenden der Regelfläche sind die gemeinsamen Sekanten zweier Geraden l und m und eines Kegelschnittes c. Dabei ist es gleichgültig, ob die Sekante LM, die in der Ebene des Kegelschnittes c liegt, diesen schneidet oder nicht. Im ersteren Falle ist LM eine wirkliche Doppelerzeugende, in ihr durchschneiden sich zwei Mäntel der Regelfläche; im letzteren Falle verläuft die Doppelerzeugende LM isoliert, sie liegt nicht auf der Regelfläche selbst. Durch die Berührungspunkte der von Man c gelegten Tangenten gehen zwei Torsallinien, deren Kuspidalpunkte auf l liegen; analog giebt es zwei Torsallinien mit Kuspidalpunkten auf m. Der Tangentialkegel aus einem Punkte der Doppelerzeugenden an die Regelfläche ist von der 2. Ordnung. Denn jede Gerade durch den Scheitel dieses Kegels trifft noch zwei Erzeugende der Fläche, es gehen durch sie also noch zwei Tangentialebenen des genannten Kegels. Man kann die Sache auch noch genauer verfolgen, indem man die gleiche Methode anwendet wie früher bei der Regelfläche 4. Grades mit einer Doppelkurve 3. Ordnung. Hiernach folgt, daß die Erzeugenden der Regelfläche auch als die Tangenten einer Kegelfläche 2. Ordnung, die zwei feste Geraden l und m treffen, angesehen werden können. Die gemeinsame Sekante von l und m durch den Kegelscheitel ist die Doppelerzeugende; die Schnittpunkte des Kegels mit den Doppelgeraden l und m sind die Kuspidalpunkte und die bezüglichen Torsallinien berühren den Kegel in ihnen. Auch die Regelflächen 4. Grades mit zwei Doppelgeraden und einer Doppelerzeugenden gehen bei einer reciproken Raumtransformation wieder in Flächen derselben Art über. 757. Sind nun alle Regelflächen 4. Grades von einer der behandelten drei Arten? Ohne Zweifel, wenn es auf ihnen Kegel

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