entsprechenden Punkte 1 = P1), und durch sie gehen die gemeinsamen Erzeugenden von Regelfläche und Hyperboloid.

Damit nun das Hyperboloid die Regelfläche längs e oskuliert, müssen die beiden soeben bestimmten Erzeugenden mit e, zusammenfallen, d. h. die oben erwähnte Gerade u muß k in 4, berühren. Dadurch wird dann eine Reihe (P') auf k bestimmt, indem sich Si und BP; auf u schneiden, und diese liefert auf eine Reihe (P), die zu (2) projektiv ist. Die Verbindungslinien der entsprechenden Punkte dieser Reihen (P) und (Q) bilden die eine Schar des oskulierenden Hyperboloides, das hiermit gefunden ist.

750. Es genügt hiernach, wenn man zwei Paare ef2 und ef von Erzeugenden kennt, um für eine beliebige andere gegebene Erzeugende e, das oskulierende Hyperboloid zu finden. Wir wollen nun die Konstruktion thatsächlich durchführen, indem wir die Torsallinien e und es als bekannt annehmen; die Konstruktion ändert. e2 sich etwas, wenn an ihrer

ез

Stelle zwei Paare von Erzeugenden gegeben sind. Projizieren wir die Fläche auf eine beliebige Ebene, dann läßt sich die ganze Konstruktion in dieser Ebene ausführen. Dabei mögen die Projektionen der Geraden und Punkte mit den gleichen Buchstaben bezeichnet werden, wie diese selbst, und zwar der Einfachheit halber ohne beigefügte Striche. Gegeben sind also die Projektionen d und

der Doppel- und einfachen Geraden, e, und

der beiden Torsallinien und e1 einer weiteren Erzeugenden (Fig. 472). Wir legen den Kreis k, der ja beliebig ist, durch d2 = ! × e2 und 4 = 1 × eg, ziehen seine Tangenten s und $3 in A, resp. A, und verbinden ihren Schnittpunkt S=s, × 8, mit Д1 = 1 × e1. Diese Gerade s1 SA1 schneidet k in zwei Punkten A' und B (es ist gleichgültig, ob der eine oder andere der beiden Punkte mit A bezeichnet wird), und wir lassen hier das obenerwähnte K mit B zusammenfallen. Die Tangente u in 4,' schneidet $2 und $3 in

=

2

Punkten O2 und Og, und die Geraden B'0, und B'0, schneiden auf die Punkte P, und P aus. P2Q2 und PQ (Q2 = e2 × d,

2

2

Q3 e3 × d) sind zwei Erzeugende des Hyperboloides, das die Regelfläche längs e, oskuliert.

Dieses Hyperboloid hat einen Kegelschnitt zum scheinbaren Umriß, der die fünf Geraden d, l, e̟1, P2Q2 und PQ, berührt. Man erhält deshalb die Projektion der Haupttangente in einem Punkte X von e19 indem man aus X die Tangente an den Umrißkegelschnitt legt, was mit Hilfe des Brianchon'schen Satzes geschieht (PQ X P2Q2 = G, GX × A1Q3 = H, P2H x d = J), JX ist × die Projektion der gesuchten Haupttangente.

3

2

2 3

2

751. Die Regelfläche 4. Grades. Es sollen hier nur in aller Kürze einige wesentliche allgemeine Eigenschaften dieser Regelflächen entwickelt werden, da wir weiterhin noch mehrere derartige Flächen zu betrachten haben. Auch das gerade und schiefe Kreiskonoid gehören zu dieser Flächenart. Wir gehen von der folgenden Definition aus. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projektiver Punktreihen, deren Träger zwei beliebige Kegelschnitte sind, liegen auf einer Regelfläche 4. Grades. Seien c und c' die beiden Kegelschnitte, П und П' ihre Ebenen, s deren Schnittlinie, 1⁄4Â1⁄2à ̧.... und  ́Â ́à ̧ die projektiven Punktreihen auf e resp. c', die wir kurz durch (4) und (4) bezeichnen. Dann lassen sich die projektiven Reihen (4) und (A) und damit auch ihre Träger c und c' in perspektive Lage bringen. Zu diesem Zwecke braucht man nur die Punkte 1⁄4· · A zu den Punkten 4, . . 4, perspektiv zu legen (201), denn dann liegen auch die Tangenten in den entsprechenden Punkten von c und c' perspektiv, z. B. t1 in A1 und t' in '. A‚'Æ‚'‚ Ã'‚'‚ ¿1⁄2 ́Â te̱' sind nämlich perspektiv zu A12, A1Аg, А11, t1, da die ersten vier Strahlen das gleiche Doppelverhältnis haben wie die letzten vier, und drei Strahlen von jenen zu drei Strahlen von diesen bereits perspektiv liegen. Hierdurch ist eine perspektive Lage der Ebenen П und П hergestellt, zu jedem Punkt in ПT giebt es einen perspektiven Punkt in ПT' und umgekehrt. Bringen wir jetzt die Ebene П wieder in ihre ursprüngliche Lage, so sagen wir: die Ebenen П und П sind zu einander projektiv, wenn sich je zwei Punkte in ihnen entsprechen, die vorher perspektiv waren.

4'

Um nun zu zeigen, daß jede Gerade g unsere Fläche in vier Punkten schneidet, benutzen wir die projektive Beziehung der Ebenen П und TT'. Der Ebenenbüschel durch g schneidet П in einem Strahlbüschel (i) mit dem Scheitel G=g X П und П' in einem

dazu projektiven Büschel (f") mit dem Scheitel H' gx ПT'. Vermöge der Projektivität der Ebenen TT' und П entspricht dem Büschel (f) mit dem Scheitel Hein projektiver Büschel (f) in П mit dem Scheitel H. Die projektiven Büschel (i) und (f) erzeugen einen Kegelschnitt, der c in vier Punkten schneidet. Schneiden sich in einem dieser Punkte A, die Strahlen i und f1, so liegen und f' in einer Ebene durch g als entsprechende Strahlen der Büschel (2) und (f"); fi geht durch A' und die Erzeugende 4,4′ trifft g. Das beweist, daß jede Gerade g von vier Erzeugenden der Fläche geschnitten wird. 752. Jede Erzeugende der Regelfläche trifft zwei andere Erzeugende, d. h. sie trägt zwei Punkte ihrer Doppelkurved; sie bestimmen sich wie folgt. Sind A, und 4,' entsprechende Punkte von e und c', also e1 = A14, eine Erzeugende, so sind 4, und 4' die Scheitel projektiver Büschel, deren entsprechende Strahlen die Kurven c und c' in entsprechenden Punkten schneiden. Treffen sich zwei entsprechende Strahlen dieser Büschel, so liegt in ihrer Ebene eine Erzeugende, die natürlich e, schneidet. Dieses tritt aber zweimal ein, da beide Strahlbüschel die Gerade s in zwei projektiven Punktreihen schneiden und diese zwei Doppelpunkte besitzen (320).

1

Jede Ebene durch zwei Erzeugende schneidet die Regelfläche noch in einem Kegelschnitt; die Erzeugenden treffen alle diese Kegelschnitte in projektiven Punktreihen. Je zwei dieser Reihen können zur Definition der Regelfläche benutzt werden. Auch in den Ebenen П und П' liegen je zwei Erzeugende; die beiden in П verbinden die Schnittpunkte cП mit den entsprechenden Punkten auf c.

753. Alle Ebenen durch je zwei Erzeugen de schneiden. jede solche Ebene in den Tangenten eines Kegelschnittes. Wir brauchen nur zu zeigen, daß die Spurlinien aller dieser Ebenen in П einen Kegelschnitt k umhüllen. Zwei Erzeugende 1⁄41⁄4 ́ und B1B' (1⁄4 ̧ und B1 auf c, A und B auf c') schneiden sich, wenn AB1 und A'B' sich in einem Punkte P' von s treffen. In den projektiven Fbenen П und П entsprechen sich aber A'B' und AB1 und dem Punkte P' von A'B' ein Punkt P1 auf AB1, so daß 41B1 = P1P' ist. Der Punktreihe (P') auf s in entspricht in П eine projektive Punktreihe (P) auf einer Geraden r, und die Verbindungslinien PP (i = 1, 2, 3, . . .) entsprechender Punkte umhüllen einen Kegelschnitt k. Der Geraden PP in П entspricht eine Gerade durch P in ПT', die erstere schneidet c in A, B, die letztere c' in den entsprechenden Punkten A,B;'; beide liegen in der nämlichen Ebene durch P', so daß sich 4.4. und B.B' schneiden.

1

Die Ebenen durch zwei Erzeugende schneiden also aus den projektiven Ebenen П und ПT' entsprechende Gerade aus; sie umhüllen in diesen Ebenen entsprechende Kegelschnitte k und k', die beide sП × П' berühren. Nach 715 folgt hieraus, daß alle Ebenen durch zwei Erzeugende eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen, sie bilden also die Schmiegungsebenen einer Raumkurve 3. Ordnung. Zu den Ebenen durch zwei Erzeugende gehören auch die Tangentialebenen längs der vier Torsallinien, sie schneiden П in den gemeinsamen Tangenten von k und c.

=

754. Der Tangentialkegel aus einem Punkte der Doppelkurve d an die Regelfläche ist von der 2. Ordnung, wie man schon daraus erkennt, daß jede Gerade aus diesem Punkte noch zwei weitere Erzeugende trifft, daß es also durch sie noch zwei Tangentialebenen an den Kegel giebt. Wir wollen die Sache jedoch noch etwas weiter verfolgen. Seien D ein Punkt der Doppelkurve, e1 und €2 die Erzeugenden durch ihn, A1, A1⁄2 und A', 41⁄2 ihre Schnittpunkte mit c resp. c'. Ist dann e Ad' eine beliebige Erzeugende, so ist zu zeigen, daß die Ebene De, eine Kegelfläche 2. Ordnung umhüllt, wenn e, die Regelfläche beschreibt. Legen wir nun durch 44, eine beliebige Ebene П° und schneiden sie mit der Kegelfläche, die D zum Scheitel und c zur Leitkurve hat; die Schnittkurve sei co und ihr Schnittpunkt mit DA' sei A. Die Reihen (4) auf c, (A') auf c′ und (4o) auf co sind projektiv (4o = 41, 42° A); die Ebene De schneidet c und co in A; und 4o. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte der Reihen (4) auf c und (4o) auf co bilden aber die eine Schar eines Hyperboloides, wie wir sogleich beweisen werden; die Ebenen De, oder DA,4° umhüllen deshalb einen Tangentialkegel 2. Ordnung von ihm. Berührt dieser das Hyperboloid in dem Kegelschnitt u, so schneidet die Schar von Geraden 4.4o die Kurven c und u in projektiven Punktreihen.

=

Beschreibt also die Erzeugende e, die Regelfläche, so umhüllt die Ebene De, eine Kegelfläche 2. Ordnung. Dabei ist die Punktreihe auf c durch die Erzeugenden e, projektiv bezogen auf die Mantellinien der Kegelfläche, indem jede Erzeugende durch einen Punkt von c geht und den Kegel in einem Punkt der entsrechenden Mantellinie berührt. Was aber für die Kegelfläche aus dem Scheitel D gilt, gilt auch für den Tangentialkegel aus jedem anderen Punkte der Doppelkurve. Daraus ergiebt sich aber eine zweite Erzeugungsweise unserer Regelfläche. Bezieht man die Mantellinien zweier Kegelflächen 2. Ordnung projektiv aufeinander (indem man etwa die Punkte zweier Schnitte projektiv bezieht), so bilden die Schnittlinien

der Tangentialebenen in entsprechenden Mantellinien die Erzeugenden einer Regelfläche 4. Grades.

4

Es ist nun noch zu zeigen, daß die Geraden 44o die eine Schar eines Hyperboloides bilden, wenn die Reihen (4) auf e und (4o) auf co projektiv und die Punkte 4, und A, beiden Reihen entsprechend gemeinsam sind. Der Büschel (‚ ̧....) in П ist projektiv zu dem Büschel 41(42°43°44 0 0 ..) in TT, und da der erste Strahl in beiden übereinstimmt, sind sie perspektiv, d. h. die Geraden 4.Âo liegen in den Ebenen eines Büschels, dessen Achse durch Д, geht; ebenso liegen sie in den Ebenen eines Büschels, dessen Achse durch A geht. Beide Ebenenbüschel sind projektiv, denn sie schneiden Π П in projektiven Strahlbüscheln; ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich also in den Geraden der einen Schar eines Hyperboloides.

Die doppelte Erzeugungsweise unserer Flächen zeigt, daß aus einer Regelfläche 4. Grades durch reciproke Raumtransformation wieder eine Fläche von gleicher Art hervorgeht. Zu jeder Eigenschaft der Regelfläche giebt es demnach eine duale. Eigenschaft. Aus dem Satz über die Ebenen durch zwei Erzeugende folgt: daß die Doppelkurve der Regelfläche 4. Grades eine Raumkurve 3. Ordnung ist, die vier Kuspidalpunkte trägt, was man auch daraus hätte schließen können, daß jede Ebene diese Kurve in drei Punkten schneidet.

755. Wir betrachten jetzt die Fälle, in denen die projektiven Reihen (4) auf c und (A') auf c' eine besondere Lage zu einander einnehmen. Wir haben gesehen, daß die Ebenen durch zwei Erzeugende die feste Ebene П in den Tangenten eines Kegelschnittes k schneiden. Diese Tangenten gingen durch die entsprechenden Punkte zweier projektiver Reihen; die eine Reihe lag auf s, die andere auf einer Geraden r, beide Reihen entsprachen sich bei der projektiven Beziehung der Ebenen П' und П. Wir wollen nun annehmen, daß bei der projektiven Beziehung der Kegelschnitte c und e' und der dadurch bedingten projektiven Beziehung ihrer Ebenen П und ПT' ein Punkt O der Geraden SПTXT sich selbst entspricht. Dann sind einerseits die Punktreihen auf s und r perspektiv, die Verbindungslinien entsprechender Punkte dieser Reihen gehen also durch einen festen Punkt Z von П. Diesem Büschel in П mit dem Scheitel Z entspricht in der projektiven Ebene ПT' ein Büschel mit dem Scheitel L'; ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich nach der Konstruktion auf s. Je zwei solche Strahlen schneiden aber c und c' in entsprechenden

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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