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schneiden; die Erzeugenden der Regelfläche sind wie früher die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projektiver Punktreihen auf l und c. Dabei darf der gemeinsame Punkt L = l × c beider Reihen sich nicht selbst entsprechen, sonst würde die erzeugte Fläche ein Hyperboloid sein. Wir nehmen deshalb an, daß dem Punkte L der Reihe auf c der Punkt T' der Reihe auf l entspricht. Zunächst erkennt man nun, daß die Doppelgerade d der Fläche mit l zusammenfällt. Die Geraden d und l können nämlich als die gemeinsamen Sekanten von vier Erzeugenden e, e, e, e, angesehen werden; diese schneiden auf d und l zweimal vier Punkte von verschiedenem Doppelverhältnis aus. Wäre dies nicht der Fall, so lägen die vier Erzeugenden auf einem Hyperboloide, das auch c enthielte und deshalb mit unserer Regelfläche identisch wäre. Sind nun R, R, R, R. und P., P., P., P. die Schnittpunkte der vier Erzeugenden bezüglich mit c und l, so ist (PPPP) = L(R, R„R„R) = l(R) R„R„R). Die Ebenen lR, . . . l R, schneiden aber d in vier Punkten Q, Q, Q, Q, mit dem Doppelverhältnis (PP, PP), und durch sie gehen die vier Erzeugenden e, e, e, e, hindurch. Das widerspricht dem vorher gefundenen Resultat, daß (PPPP) = (Q, Q,00) ist. Wir schließen daraus, daß d nicht von l verschieden sein kann. Beschreibt die Erzeugende e die Fläche, so durchläuft ihr Schnittpunkt R mit c die Kurve c und ihr Schnittpunkt P mit l=d die Gerade l. Nähert sich dabei R dem Punkte L, so nähert sich P dem Punkte T', die Erzeugende e nimmt deshalb bei ihrer Bewegung einmal die Lage l=d an. l ist also selbst eine Erzeugende der Fläche und ihre beiden Kuspidalpunkte fallen mit T' zusammen. Jede Ebene durch l=d schneidet die Fläche in zwei Erzeugenden, von denen die eine mit l zusammenfällt. Die Ebene durch l, die c in L berührt, schneidet die Fläche in l und einer unendlich nahen Erzeugenden; sie berührt also den einen der beiden Flächenmäntel, die durch die Doppelgerade d=l gehen, längs dieser Geraden. Der andere Flächenmantel hat in jedem Punkte von l eine andere Tangentialebene und zwar ist die Punktreihe auf l projektiv zu dem Büschel der zugehörigen Tangentialebenen, die natürlich durch l gehen. Die für die allgemeine Regelfläche 3. Grades abgeleiteten Resultate erleiden für die Cayley'sche Fläche Modifikationen, die sich leicht ergeben, die wir jedoch nicht weiter verfolgen wollen. Es mag nur noch die folgende Erzeugungsweise der Fläche hervorgehoben werden. Die Tangentialebenen einer Kegelfläche 2. Ordnung schneiden die entsprechenden Ebenen eines zu ihnen projektiven Ebenenbüschels, dessen Achse die Kegelfläche berührt, in den Erzeugenden einer Cayley'schen Fläche. 749. Wir wollen hier noch eine Frage beantworten, welche auch bei den Konoiden ihre Erledigung gefunden hat, nämlich die Frage nach den oskulierenden Hyperboloiden. Die eine Schar eines solchen Hyperboloides liefert dann die Haupttangenten der Regelfläche in den Punkten einer Erzeugenden. Hiermit ist dann die Möglichkeit gegeben bei beliebiger Parallel- oder Centralprojektion nicht nur die Punkte, sondern auch die Tangenten des wahren Umrisses (oder der Lichtgrenze) zu zeichnen. Denn in einem beliebigen Punkte des Umrisses liegen seine Tangente und der projizierende Strahl harmonisch zur Erzeugenden und der Haupttangente. Zum Ausgangspunkt unserer Betrachtung wählen wir die Punktreihen auf der Doppelgeraden d und der einfachen Leitgeraden l. Die Punkte der Reihe auf d bezeichnen wir mit Q, Q, Q, . . ., die Reihe selbst mit (Q), die Punktepaare der Involution auf l mit A, B, A, B, . . ., die involutorische Reihe selbst mit (AB). Dann sind (Q) und (AB) projektiv; die entsprechenden Punkte haben gleichen Index, ihre Verbindungslinien QA,=e, und Q„B,=f (=1, 2, 3, ....) sind die Erzeugenden der Regelfläche. Legen wir jetzt durch d und l ein Hyperboloid, so wird seine eine Schar auf diesen Geraden projektive Punktreihen (Q) und (P) ausschneiden; die Geraden dieser Schar sind QP =g. Hyperboloid und Regelfläche mögen die Erzeugende e. =g, gemein haben (also A, = P), sie haben dann noch zwei weitere Erzeugende gemein, die wir durch folgende Uberlegung gewinnen. Für jede gemeinsame Erzeugende fallen ein Paar entsprechende Punkte der projektiven Reihen (P) und (AB) auf 1 zusammen. Um diese gemeinsamen Punkte zu finden, ziehen wir in einer Ebene durch l einen beliebigen Kreis k und projizieren die Reihen (P) und (AB) von einem seiner Punkte K auf ihn. Dadurch entstehen auf h zwei projektive Reihen (P) und (A"B) und die Geraden A/B/=s, schneiden sich in einem Punkte S. Der Strahlbüschel (s) ist projektiv zur Punktreihe (P) und auch zu dem Strahlbüschel, der seine Strahlen aus B“ durch die Punkte der Reihe (P) schickt. Da s, = A, B,“ = P/B“ ist, sind diese Strahlbüschel perspektiv und ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich in den Punkten einer Geraden u (u geht durch s, × B "P" und s, × B "P"). Bei der projektiven Beziehung der Reihen (P) und (A“B) entspricht jeder der beiden Punkte u x k sich selbst. Ihre Verbindungslinien mit Kschneiden l in den sich selbst entsprechenden Punkten der Reihen (P) und (AB) (abgesehen von dem sich selbst entsprechenden Punkte A, = P.), und durch sie gehen die gemeinsamen Erzeugenden von Regelfläche und Hyperboloid. Damit nun das Hyperboloid die Regelfläche längs e, oskuliert, müssen die beiden soeben bestimmten Erzeugenden mit e, zusammenfallen, d. h. die oben erwähnte Gerade u muß k in A,“ berühren. Dadurch wird dann eine Reihe (P) auf k bestimmt, indem sich s, und B,"P" auf u schneiden, und diese liefert auf l eine Reihe (P), die zu (Q) projektiv ist. Die Verbindungslinien der entsprechenden Punkte dieser Reihen (P) und (Q) bilden die eine Schar des oskulierenden Hyperboloides, das hiermit gefunden ist. 750. Es genügt hiernach, wenn man zwei Paare ef, und ef von Erzeugenden kennt, um für eine beliebige andere gegebene Erzeugende e, das oskulierende Hyperboloid zu finden. Wir wollen nun die Konstruktion thatsächlich durchführen, indem wir die Torsallinien e, und e, als bekannt annehmen; die Konstruktion ändert sich etwas, wenn an ihrer Stelle zwei Paare von Erzeugenden gegeben sind. Projizieren wir die Fläche auf eine beliebige Ebene, dann läßt sich die ganze Konstruktion in dieser Ebene ausführen. Dabei mögen die Projektionen der Geraden und Punkte mit den gleichen Buchstaben bezeichnet werden, wie diese selbst, und zwar der Einfachheit halber ohne beigefügte Striche. Fig. 472. Gegeben sind also die Projektionen d und l der Doppel- und einfachen Geraden, e, und e, der beiden Torsallinien und e, einer weiteren Erzeugenden (Fig. 472). Wir legen den Kreis k, der ja beliebig ist, durch A, = 1 x e, und A = l × e, ziehen seine Tangenten s, und s, in A, resp. A, und verbinden ihren Schnittpunkt S–s, ×s, mit A =l X e. Diese Gerade s, = SA, schneidet k in zwei Punkten A und B, (es ist gleichgültig, ob der eine oder andere der beiden Punkte mit 4,“ bezeichnet wird), und wir lassen hier das obenerwähnte K mit

B, zusammenfallen. Die Tangente u in A, schneidet s, und s, in Punkten 0, und O, und die Geraden B'O, und B'O, schneiden auf l die Punkte P. und P. aus. PQ, und P„Q, (Q, = e, × d, Q,=e, × d) sind zwei Erzeugende des Hyperboloides, das die Regelfläche längs e, oskuliert. Dieses Hyperboloid hat einen Kegelschnitt zum scheinbaren Umriß, der die fünf Geraden d, l, e, PQ, und P„Q, berührt. Man erhält deshalb die Projektion der Haupttangente in einem Punkte X von e, indem man aus X die Tangente an den Umrißkegelschnitt legt, was mit Hilfe des Brianchon'schen Satzes geschieht (PQ, × P„Q, = G, GXx A, Q, = H, P„H × d=J), JX ist die Projektion der gesuchten Haupttangente. 751. Die Regelfläche 4. Grades. Es sollen hier nur in aller Kürze einige wesentliche allgemeine Eigenschaften dieser Regelflächen entwickelt werden, da wir weiterhin noch mehrere derartige Flächen zu betrachten haben. Auch das gerade und schiefe Kreiskonoid gehören zu dieser Flächenart. Wir gehen von der folgenden Definition aus. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projektiver Punktreihen, deren Träger zwei beliebige Kegelschnitte sind, liegen auf einer Regelfläche 4. Grades. Seien c und c' die beiden Kegelschnitte, TT und TT“ ihre Ebenen, s deren Schnittlinie, A, A, A, . . . . und A,“A, A, . . . . die projektiven Punktreihen auf c resp. c', die wir kurz durch (A) und (A) bezeichnen. Dann lassen sich die projektiven Reihen (A) und (A) und damit auch ihre Träger c und c“ in perspektive Lage bringen. Zu diesem Zwecke braucht man nur die Punkte A," . . A, zu den Punkten A, . . A, perspektiv zu legen (201), denn dann liegen auch die Tangenten in den entsprechenden Punkten von c und c' perspektiv, z. B. t, in A, und t“ in A,“. A, A, A, A, A, A+", t“ sind nämlich perspektiv zu A, A, AA, A, A, t, da die ersten vier Strahlen das gleiche Doppelverhältnis haben wie die letzten vier, und drei Strahlen von jenen zu drei Strahlen von diesen bereits perspektiv liegen. Hierdurch ist eine perspektive Lage der Ebenen TT und TT“ hergestellt, zu jedem Punkt in TT giebt es einen perspektiven Punkt in TT“ und umgekehrt. Bringen wir jetzt die Ebene TT“ wieder in ihre ursprüngliche Lage, so sagen wir: die Ebenen TT und TT" sind zu einander projektiv, wenn sich je zwei Punkte in ihnen entsprechen, die vorher perspektiv waren. Um nun zu zeigen, daß jede Gerade g unsere Fläche in vier Punkten schneidet, benutzen wir die projektive Beziehung der Ebenen TT und TT. Der Ebenenbüschel durch g schneidet TT in einem Strahlbüschel (l) mit dem Scheitel G=g × TT und TT" in einem dazu projektiven Büschel (f") mit dem Scheitel H' =g × TT". Vermöge der Projektivität der Ebenen TT und TT entspricht dem Büschel (f") mit dem Scheitel H' ein projektiver Büschel (f) in TT mit dem Scheitel H. Die projektiven Büschel (l) und (f) erzeugen einen Kegelschnitt, der c in vier Punkten schneidet. Schneiden sich in einem dieser Punkte A, die Strahlen - und fi, so liegen - und f' in einer Ebene durch g als entsprechende Strahlen der Büschel () und (f“); f' geht durch A“ und die Erzeugende A, A,“ trifft g. Das beweist, daß jede Gerade g von vier Erzeugenden der Fläche geschnitten wird. 752. Jede Erzeugende der Regelfläche trifft zwei andere Erzeugende, d. h. sie trägt zwei Punkte ihrer Doppelkurve d; sie bestimmen sich wie folgt. Sind A, und A" entsprechende Punkte von c und c, also e, = A, A,“ eine Erzeugende, so sind A, und A.“ die Scheitel projektiver Büschel, deren entsprechende Strahlen die Kurven c und c“ in entsprechenden Punkten schneiden. Treffen sich zwei entsprechende Strahlen dieser Büschel, so liegt in ihrer Ebene eine Erzeugende, die natürlich e, schneidet. Dieses tritt aber zweimal ein, da beide Strahlbüschel die Gerade s in zwei projektiven Punktreihen schneiden und diese zwei Doppelpunkte besitzen (320). Jede Ebene durch zwei Erzeugende schneidet die Regelfläche noch in einem Kegelschnitt; die Erzeugenden treffen alle diese Kegelschnitte in projektiven Punktreihen. Je zwei dieser Reihen können zur Definition der Regelfläche benutzt werden. Auch in den Ebenen TT und TT“ liegen je zwei Erzeugende; die beiden in TT verbinden die Schnittpunkte c' x TT mit den entsprechenden Punkten auf c. 753. Alle Ebenen durch je zwei Erzeugende schneiden jede solche Ebene in den Tangenten eines Kegelschnittes. Wir brauchen nur zu zeigen, daß die Spurlinien aller dieser Ebenen in TT einen Kegelschnitt k umhüllen. Zwei Erzeugende A, A, und B, B,“ (A und B, auf c, A,“ und B“ auf c) schneiden sich, wenn A, B, und A/B,“ sich in einem Punkte P" von s treffen. In den projektiven Fbenen TT“ und TT entsprechen sich aber A, B, und A, B, und dem Punkte P" von A, B,“ ein Punkt P% auf A, B, so daß A, B, = P„P“ ist. Der Punktreihe (P) auf s in TT“ entspricht in TT eine projektive Punktreihe (P) auf einer Geraden r, und die Verbindungslinien PP" ( = 1,2,3, . . .) entsprechender Punkte umhüllen einen Kegelschnitt k. Der Geraden P„P" in TT entspricht eine Gerade durch P" in TT", die erstere schneidet c in A, B, die letztere c' in den entsprechenden Punkten A“„B“; beide liegen in der nämlichen Ebene durch Po“, so daß sich AA“ und B„B“ schneiden.

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