nannten Geraden haben die beiden Flächen keinen Punkt gemein, denn sonst müßte ihnen auch die gemeinsame Sekante von d und 7 durch diesen Punkt angehören. Jede Ebene durch diese Gerade würde aber beide Flächen in zwei Kegelschnitten schneiden, die durch die nämlichen fünf Punkte auf e, eg, ... e gingen, also zusammenfielen.

744. Die Erzeugenden der Regelfläche schneiden sich zu zwei und zwei auf der Doppelgeraden; je zwei solche Erzeugenden sollen ein Paar und ihr Schnittpunkt sein Scheitel heißen. Wir können dann sagen: Die Paare von Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades schneiden die einfache Leitgerade in den Punktepaaren einer Involution, deren sich selbst entsprechende Punkte auf den Torsallinien liegen. Die Reihe der Scheitel jener Paare ist dabei projektiv zu den Punkte paaren der Involution, wenn jedem Scheitel das Punktepaar auf seinen Erzeugenden entspricht.

Zum Beweise benutzen wir wieder c, d und als Leitlinien; I sei der Schnittpunkt von 7 mit der Ebene П des Kegelschnittes c. Eine beliebige Ebene durch 7 treffe c in R, und R2 und d in Q; die Erzeugenden e1 = QR1 und e2 = QR2 mögen 7 in P1 resp. P2 schneiden. Dreht sich die Ebene um 1, so bilden die Punktepaare R1, R2 auf c eine Involution, denn ihre Verbindungslinien laufen alle durch L (325). Die Strahlenpaare aus D = d x П durch diese Punktepaare bilden ebenfalls eine Involution (323), folglich auch die Ebenenpaare durch d und diese Punktepaare, sowie die Punktepaare P1, P2 auf 7; damit ist aber der erste Teil des Satzes bewiesen.

2

745. Der Beweis des zweiten Teiles erfordert zunächst die Definition der projektiven Beziehung zwischen den Punktepaaren einer Involution und den Punkten einer einfachen Reihe. Man nennt einen Strahlbüschel projektiv zu den Punktepaaren einer Involution, die seine Strahlen auf einem beliebigen Kegelschnitte ausschneiden. Verbindet man diese Punktepaare mit einem festen Punkte des Kegelschnittes, so entsteht eine Involution von Strahlenpaaren und auch sie heißt zu jenem Strahlbüschel projektiv. Durch das Prinzip der Dualität oder durch das Schneiden dieser Gebilde mit einer Geraden gelangt man zu der Projektivität zwischen einer einfachen Punktreihe und den Punktepaaren einer Involution. Ersetzt man die einfache Reihe durch eine dazu projektive, so ist auch diese zu den Punktepaaren der Involution projektiv. Vermöge der obigen Definition können wir zu den Strahlenpaaren einer Involution unendlich viele, projek

tive einfache Strahlbüschel konstruieren; soll jene Definition einen Sinn haben, so müssen alle diese einfachen Büschel unter sich projektiv sein, und hierfür wollen wir den Beweis erbringen.

Seien aa1, bb1, cc1, dd1 bb1, cc1, dd1 . . . Strahlenpaare einer Involution; durch ihren Scheitel legen wir zwei Kegelschnitte k und k', die jene Strahlen in den Punkten A, A, B, B1, . . . resp. A', A', B', B1'. . . schneiden mögen. Die Geraden A4, BB,, . . . bilden einen Büschel mit dem Centrum O, die Geraden A'', B'B'... einen solchen mit dem Centrum O', und es ist zu zeigen, daß die beiden Büschel 0(ABCD...) und O' (A'B'C'D' . . .) projektiv sind. Nun kann das Viereck A'B'C'D' mit dem Viereck ABCD in perspektive Lage gebracht werden (201); dann befinden sich auch die Kegelschnitte k und und auf ihnen die Punktepaare 4,4,', B,B,',... in perspektiver Lage. Der Strahlbüschel abcd ab1 ist nämlich projektiv zu den Büscheln A (ABCDA,B1...) und A' (A'B'C' D'A'B'. ..), wo ▲▲ und A'Ẩ′ die Tangenten von k und k' in A resp. bedeuten; denn k und k können als Erzeugnis des ersten und zweiten, resp. des ersten und dritten Büschels angesehen werden. Hat man also die drei Strahlen A' (B'C'D') zu den drei Strahlen A (BCD) in perspektive Lage gebracht, so sind überhaupt je zwei entsprechende Strahlen der Büschel mit den Scheiteln A' und A in perspektiver Lage, insbesondere auch die Tangenten von k und k' in A und A. Damit ist auch die perspektive Lage von k und k' erwiesen (denn vier Punkte und eine Tangente von k sind perspektiv zu den entsprechenden Elementen von k') und endlich die perspektive Lage von 4,4,', B, B1',.. Dann sind auch die Büschel O (ABCD ...) und O′ (A'B'C'D' . . .) perspektiv und also in der ursprünglichen Lage projektiv.

2

1

746. Wenden wir uns zu unserer Regelfläche zurück, so ist der Büschel der Strahlen durch L projektiv zu der Involution der anf ihnen liegenden Punktepaare RR, und somit auch zu der Involution der Punktepaare PP2 auf 1. Jener Büschel mit dem Scheitel Z ist aber auch projektiv zu der Reihe der Punkte Q auf d, da entsprechende Elemente in Ebenen durch die Gerade 7 liegen. Die Reihe der Punkte Q auf d ist also projektiv zu den Punktepaaren P,P2 der Involution auf (744). Hiermit ist der zweite Teil unseres Satzes bewiesen, dem man auch folgenden Ausdruck verleihen kann. Die Verbindungslinien der Punktepaare einer Involution auf einer Geraden 7 mit den entsprechenden Punkten einer dazu projektiven Reihe auf einer zu 7 windschiefen Geraden d bilden die Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades.

2

747. Die Regelfläche 3. Grades geht durch eine reciproke Raumtransformation wieder in eine Regelfläche 3. Grades über. Denn die Flächen sind von der 3. Ordnung und der 3. Klasse, während also durch eine beliebige Gerade drei Tangentialebenen an die eine gehen, schneidet die entsprechende Gerade die andere in drei Punkten. Der Doppelgeraden der einen entspricht die einfache Leitgerade der anderen. In jedem Punkte der Doppelgeraden giebt es zwei Tangentialebenen, welche die Erzeugenden durch ihn enthalten; dementsprechend giebt es bei der anderen Fläche eine Gerade, deren Ebenen diese in zwei Erzeugenden schneiden, das ist aber die einfache Leitgerade.

Zu jedem Satze über Regelflächen 3. Gerades existiert demnach ein dualer Satz, der nicht besonders bewiesen zu werden braucht. Da jede Ebene durch eine Erzeugende die Fläche in einem Kegelschnitte schneidet, folgt sofort, daß die Fläche von jedem ihrer Punkte aus durch einen Kegel 2. Ordnung projiziert wird, wie wir auch bereits nachgewiesen haben. Da dieser Kegel die Fläche in einer Raumkurve 3. Ordnung berührt, welche die Torsallinien in den Kuspidalpunkten tangiert, folgt umgekehrt, daß die Tangentialebenen in den Punkten eines auf der Regelfläche liegenden Kegelschnittes die Schmiegungsebenen einer Raumkurve 3. Ordnung sind, welche die Torsallinien zu Tangenten und die zugehörigen Tangentialebenen zu Schmiegungsebenen hat.

So lassen sich auch den aufgeführten Erzeugungsarten der Regelfläche 3. Grades nach dem Prinzipe der Dualität andere an die Seite stellen. So bilden alle Tangenten einer Kegelfläche 2. Ordnung, die eine feste Tangente derselben und eine beliebige Gerade schneiden, eine Regelfläche 3. Grades. So schneiden auch die Tangentialebenen einer Kegelfläche 2. Ordnung die entsprechenden Ebenen eines zu ihnen projektiven Ebenenbüschels in den Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades.

748. Wir haben gesehen, daß die Kuspidalpunkte einer Regelfläche 3. Grades reell oder imaginär sein können. Es hängt das davon ab, ob die Tangentialebenen durch die Leitgerade 7 an den Leitkegelschnitt c reell oder imaginär sind, oder was dasselbe ist, ob der Schnittpunkt von 7 mit der Ebene des Kegelschnittes c außerhalb oder innerhalb dieser Kurve liegt. Wir wollen jetzt die spezielle Fläche untersuchen, für welche die beiden. Kuspidalpunkte zusammenfallen, und die kurz als Cayley'sche Fläche bezeichnet wird. Dann muß offenbar 7 die Kurve c

schneiden; die Erzeugenden der Regelfläche sind wie früher die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projektiver Punktreihen auf und c. Dabei darf der gemeinsame Punkt L = 1 × c beider Reihen sich nicht selbst entsprechen, sonst würde die erzeugte Fläche ein Hyperboloid sein. Wir nehmen deshalb an, daß dem Punkte L der Reihe auf e der Punkt 7 der Reihe auf entspricht.

=

4

1 2

4

Zunächst erkennt man nun, daß die Doppelgerade d der Fläche mit zusammenfällt. Die Geraden d und 7 können nämlich als die gemeinsamen Sekanten von vier Erzeugenden e1, eg, ez, es angesehen werden; diese schneiden auf d und zweimal vier Punkte von verschiedenem Doppelverhältnis aus. Wäre dies nicht der Fall, so lägen die vier Erzeugenden auf einem Hyperboloide, das auch c enthielte und deshalb mit unserer Regelfläche identisch wäre. Sind nun R1, R, R, R1 und P1, P2, P3, P4 die Schnittpunkte der vier Erzeugenden bezüglich mit e und 1, so ist (PPPP) = L(R2R2R,R) (RRRR). Die Ebenen IR1,... IR schneiden aber d in vier Punkten Q1, 22, 23, 24 mit dem Doppelverhältnis (PPPP1), und durch sie gehen die vier Erzeugenden e̟1, е2, е, e̟ hindurch. Das widerspricht dem vorher gefundenen Resultat, daß (P1P2P3P1) ≥(Q1Q2 Q3 Q4) ist. Wir schließen daraus, daß d nicht von 7 verschieden sein kann. Beschreibt die Erzeugende e die Fläche, so durchläuft ihr Schnittpunkt R mit e die Kurve e und ihr Schnittpunkt P mit l = d die Gerade 7. Nähert sich dabei R dem Punkte L, so nähert sich P dem Punkte T, die Erzeugende e nimmt deshalb bei ihrer Bewegung einmal die Lage 7d an. I ist also selbst eine Erzeugende 7: = der Fläche und ihre beiden Kuspidalpunkte fallen mit 7 zusammen. Jede Ebene durch 7 d schneidet die Fläche in zwei Erzeugenden, von denen die eine mit zusammenfällt. Die Ebene durch 7, die. c in Z berührt, schneidet die Fläche in 7 und einer unendlich nahen Erzeugenden; sie berührt also den einen der beiden Flächenmäntel, die durch die Doppelgerade d = gehen, längs dieser Geraden. Der andere Flächenmantel hat in jedem Punkte von eine andere Tangentialebene und zwar ist die Punktreihe auf 7 projektiv zu dem Büschel der zugehörigen Tangentialebenen, die natürlich durch 7 gehen.

7:

=

Die für die allgemeine Regelfläche 3. Grades abgeleiteten Resultate erleiden für die Cayley'sche Fläche Modifikationen, die sich leicht ergeben, die wir jedoch nicht weiter verfolgen wollen. Es mag nur noch die folgende Erzeugungsweise der Fläche hervorgehoben werden. Die Tangentialebenen einer Kegelfläche 2. Ordnung schneiden die entsprechenden Ebenen eines zu ihnen projek

tiven Ebenenbüschels, dessen Achse die Kegelfläche berührt, in den Erzeugenden einer Cayley'schen Fläche.

749. Wir wollen hier noch eine Frage beantworten, welche auch bei den Konoiden ihre Erledigung gefunden hat, nämlich die Frage nach den oskulierenden Hyperboloiden. Die eine Schar eines solchen Hyperboloides liefert dann die Haupttangenten der Regelfläche in den Punkten einer Erzeugenden. Hiermit ist dann die Möglichkeit gegeben bei beliebiger Parallel- oder Centralprojektion nicht nur die Punkte, sondern auch die Tangenten des wahren Umrisses (oder der Lichtgrenze) zu zeichnen. Denn in einem beliebigen Punkte des Umrisses liegen seine Tangente und der projizierende Strahl harmonisch zur Erzeugenden und der Haupttangente.

i

=

=

Zum Ausgangspunkt unserer Betrachtung wählen wir die Punktreihen auf der Doppelgeraden d und der einfachen Leitgeraden 7. Die Punkte der Reihe auf d bezeichnen wir mit Q1, Q2, Q3 die Reihe selbst mit (Q), die Punktepaare der Involution auf 7 mit A1В1, A2В2,.. die involutorische Reihe selbst mit (AB). Dann sind (Q) und (AB) projektiv; die entsprechenden Punkte haben gleichen Index, ihre Verbindungslinien Q;4; = e; und Q¿B;=f; (i = 1, 2, 3, ....) sind die Erzeugenden der Regelfläche. Legen wir jetzt durch d und ein Hyperboloid, so wird seine eine Schar auf diesen Geraden projektive Punktreihen (Q) und (P) ausschneiden; die Geraden dieser Schar sind QPg. Hyperboloid und Regelfläche mögen die Erzeugende e1 = 91 gemein haben (also 4, P1), sie haben dann noch zwei weitere Erzeugende gemein, die wir durch folgende Überlegung gewinnen. Für jede gemeinsame Erzeugende fallen ein Paar entsprechende Punkte der projektiven Reihen (P) und (AB) auf 1 zusammen. Um diese gemeinsamen Punkte zu finden, ziehen wir in einer Ebene durch einen beliebigen Kreis k und projizieren die Reihen (P) und (AB) von einem seiner Punkte K auf ihn. Dadurch entstehen auf k zwei projektive Reihen (P′) und (A'B') und die Geraden AB = s; schneiden sich in einem Punkte S. Der Strahlbüschel (s) ist projektiv zur Punktreihe (P′) und auch zu dem Strahlbüschel, der seine Strahlen aus B' durch die Punkte der Reihe (P') schickt. Da s1 = AB1' = P1'B' ist, sind diese Strahlbüschel perspektiv und ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich in den Punkten einer Geraden u (u geht durch 8 X B'P' und §3 × B1P ̧'). Bei der projektiven Beziehung der Reihen (P') und (A'B') entspricht jeder der beiden Punkte u x k sich selbst. Ihre Verbindungslinien mit K schneiden 7 in den sich selbst entsprechenden Punkten der Reihen (P) und (AB) (abgesehen von dem sich selbst

1 3

1