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Hyperboloides (664); dasselbe enthält die Gerade l und die beiden Torsallinien der Regelfläche, denn ihre Projektionen gehen durch O. Außerdem schneidet das Hyperboloid die Regelfläche noch in dem wahren Umriß w, der auch auf dem projizierenden Kegel mit dem Scheitel K. liegt. Dieser Kegel hat mit dem Hyperboloide eine Gerade gemein. Er wird nämlich von der Ebene lK in einer Geraden berührt, die auf der Polarebene von d’ X lK in Bezug auf den Kegel liegt und also auch dem Hyperboloide angehört als Schnittlinie entsprechender Ebenen durch l und KO. Kegel und Hyperboloid schneiden sich außerdem noch in einer Raumkurve 3. Ordnung (680). Das giebt den Satz: Projiziert man die Regelfläche 3. Grades aus einem ihrer Punkte, so ist ihr wahrer Umriß eine Raumkurve 3. Ordnung; diese liegt auf einem Hyberboloid, das außerdem die beiden Torsallinien und die einfache Leitgerade der Fläche enthält. Die Raumkurve 3. Ordnung berührt die Torsallinien in den Kuspidal punkten, geht durch das Projektionscentrum und trifft die einfache Leit gerade in dem Punkte, dessen Erzeugende sich mit der Erzeugenden durch das Centrum auf der Doppelgeraden schneidet. Von der Richtigkeit des zuletzt Gesagten überzeugt man sich durch folgende Überlegung. Jede Ebene durch l schneidet die Regelfläche in zwei Erzeugenden und die Raumkurve 3. Ordnung in drei Punkten; von diesen liegt einer auf jeder Erzeugenden und einer auf l. Jede Ebene durch das Centrum K und eine Erzeugende berührt die Raumkurve in einem Punkte, der auf der Erzeugenden liegt. Zu diesen Ebenen gehört auch die Ebene Kl; da aber ein Punkt der Raumkurve auf l liegt, muß ihr Berührungspunkt mit der Ebene Kl in den Schnittpunkt von l mit der zweiten Erzeugenden in dieser Ebene fallen, die nicht durch K. geht. 742. Die bewegliche Ebene A durch die Doppelgerade d schneidet l in einer Reihe von Punkten Po und c in einer Reihe von Punkten R; dabei ist die Reihe der Punkte Poprojektiv zu dem Büschel der Strahlen DR, und nach 323 sind direkt die Reihen der Punkte Paufl und der Punkte R auf c projektiv. Die Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades schneiden also die einfache Leitgerade l und alle Kegelschnitte auf ihr in projektiven Punktreihen. Dieses Resultat läßt sich aber auch umkehren. Sind eine Gerade l und ein Kegelschnitt c Träger projektiver Punktreihen, so bilden die Verbindungslinien entsprechender Punkte die Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades. Drei Punkte auf l kann man dabei drei beliebigen Punkten von c entsprechen lassen; jedem weiteren Punkt auf c entspricht dann ein bestimmter Punkt auf l, indem vier Punkte auf c und die entsprechenden auf l gleiches Doppelverhältnis aufweisen müssen. Um uns von der Richtigkeit des voranstehenden Satzes zu überzeugen, gehen wir von drei Punkten R, R., R. auf c und den entsprechenden Po, P, P, auf l aus und suchen zu dem Punkte P, auf l, der in der Ebene von c liegt, den entsprechenden Punkt R, auf c. Die Gerade R„P, schneidet c noch in einem Punkte D; durch diesen legen wir eine Gerade d, welche die Erzeugenden R„P, und R„P, schneidet. Der Ebenenbüschel mit der Achse d schneidet l und c in projektiven Punktreihen, in denen sich die Punkte R. und P., R. und P., R. und P. entsprechen. Eine beliebige Erzeugende trifft also c und l in entsprechenden Punkten dieser Reihen, d. h. alle Erzeugenden treffen die Gerade d, die eine Doppelgerade der Regelfläche sein muß. Hiermit sind aber die Erzeugenden wiederum als gemeinsame Sekanten von d, l und c nachgewiesen. 743. Durch die Doppelgerade d, die Leitgerade l und fünf Erzeugende e, e, e, e, e, die d und l schneiden, sonst aber beliebig gewählt werden können, ist eine Regelfläche 3. Grades völlig bestimmt. Denn legt man durch eine dieser fünf Erzeugenden etwa e, eine beliebige Ebene, so schneidet sie die übrigen in vier Punkten R, R, R., R, resp. und man kann durch diese und den Punkt D=d × e, einen Kegelschnitt c legen. Die gemeinsamen Sekanten von d, l, und c liegen auf einer Regelfläche 3. Grades, der die Geraden e, e, . . ., e, angehören. Jede Regelfläche 3. Grades kann aber auch in der soeben geschilderten Weise erzeugt werden. Denn sind e, e, . . ., e, fünf beliebige Erzeugende auf ihr, so kann man zu e, e, e, e, die beiden gemeinsamen Sekanten d und l aufsuchen; diese gehören dann der Regelfläche an, da sie vier Punkte mit ihr gemein haben, sie schneiden deshalb auch die Erzeugende e, und ebenso jede andere. Eine beliebige Ebene durch er muß die Fläche noch in einem Kegelschnitt c schneiden, ihre Erzeugenden sind also die gemeinsamen Sekanten von c, d und 1. Eine der Geraden d und l – es sei dies d muß aber die Kurve c schneiden, denn sonst wäre die Regelfläche mit den Leitlinien c, d, l vom 4. Grade; hiermit sind wir wieder zu der ursprünglichen Erzeugung der Fläche gelangt. Durch fünf Geraden e, e, . . ., e, mit zwei gemeinsamen Sekanten d und l giebt es offenbar zwei Regelflächen 3. Grades; die eine hat d zur Doppel-, l zur einfachen Geraden, die andere hat l zur Doppel- und d zur einfachen Geraden. Außer den genannten Geraden haben die beiden Flächen keinen Punkt gemein, denn sonst müßte ihnen auch die gemeinsame Sekante von d und l durch diesen Punkt angehören. Jede Ebene durch diese Gerade würde aber beide Flächen in zwei Kegelschnitten schneiden, die durch die nämlichen fünf Punkte auf e, e, . . . es gingen, also zusammenfielen. 744. Die Erzeugenden der Regelfläche schneiden sich zu zwei und zwei auf der Doppelgeraden; je zwei solche Erzeugenden sollen ein Paar und ihr Schnittpunkt sein Scheitel heißen. Wir können dann sagen: Die Paare von Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades schneiden die einfache Leitgerade in den Punktepaaren einer In volution, deren sich selbst entsprechende Punkte auf den Torsallinien liegen. Die Reihe der Scheitel jener Paare ist dabei projektiv zu den Punktepaaren der In volution, wenn jedem Scheitel das Punktepaar auf seinen Erzeugenden entspricht. Zum Beweise benutzen wir wieder c, d und l als Leitlinien; L sei der Schnittpunkt von l mit der Ebene TT des Kegelschnittes c. Eine beliebige Ebene durch l treffe c in R, und R, und d in Q; die Erzeugenden e, = QR, und e, = QR, mögen l in P resp. P. schneiden. Dreht sich die Ebene um l, so bilden die Punktepaare R, R, auf c eine Involution, denn ihre Verbindungslinien laufen alle durch L. (325). Die Strahlenpaare aus D = dx TT durch diese Punktepaare bilden ebenfalls eine Involution (323), folglich auch die Ebenenpaare durch d und diese Punktepaare, sowie die Punktepaare P., P., auf l; damit ist aber der erste Teil des Satzes bewiesen. 745. Der Beweis des zweiten Teiles erfordert zunächst die Definition der projektiven Beziehung zwischen den Punktepaaren einer Involution und den Punkten einer einfachen Reihe. Man nennt einen Strahlbüschel projektiv zu den Punktepaaren einer Involution, die seine Strahlen auf einem beliebigen Kegelschnitte ausschneiden. Verbindet man diese Punktepaare mit einem festen Punkte des Kegelschnittes, so entsteht eine Involution von Strahlenpaaren und auch sie heißt zu jenem Strahlbüschel projektiv. Durch das Prinzip der Dualität oder durch das Schneiden dieser Gebilde mit einer Geraden gelangt man zu der Projektivität zwischen einer einfachen Punktreihe und den Punktepaaren einer Involution. Ersetzt man die einfache Reihe durch eine dazu projektive, so ist auch diese zu den Punktepaaren der Involution projektiv. Vermöge der obigen Definition können wir zu den Strahlenpaaren einer Involution unendlich viele, projekSinn haben, so müssen alle diese einfachen Büschel unter sich projektiv sein, und hierfür wollen wir den Beweis erbringen.

Seien aa, bb, cc, dd, . . . Strahlenpaare einer Involution; durch ihren Scheitel legen wir zwei Kegelschnitte k und k“, die jene Strahlen in den Punkten A, A, B, B, . . . resp. A, A, B, B," . . . schneiden mögen. Die Geraden AA, BB, . . . bilden einen Büschel mit dem Centrum O, die Geraden A'A,“, B'B,“ . . . einen solchen mit dem Centrum O, und es ist zu zeigen, daß die beiden Büschel O(ABCD . . .) und O" (A"B"C/D" . . .) projektiv sind. Nun kann das Viereck A/B/C/D" mit dem Viereck ABCD in perspektive Lage gebracht werden (201); dann befinden sich auch die Kegelschnitte k und k“ und auf ihnen die Punktepaare A, A, B, B, , . . . in perspektiver Lage. Der Strahlbüschel abcda, b, . . . ist nämlich projektiv zu den Büscheln A (ABCDA, B, . . .) und A“ (A“BC“D/A/B,“ . . .), wo AA und AA“ die Tangenten von k. und k“ in A resp. A“ bedeuten; denn k und k“ können als Erzeugnis des ersten und zweiten, resp. des ersten und dritten Büschels angesehen werden. Hat man also die drei Strahlen A" (BC"D) zu den drei Strahlen A (BCD) in perspektive Lage gebracht, so sind überhaupt je zwei entsprechende Strahlen der Büschel mit den Scheiteln A“ und A in perspektiver Lage, insbesondere auch die Tangenten von k und k“ in A und A“. Damit ist auch die perspektive Lage von k und k“ erwiesen (denn vier Punkte und eine Tangente von k sind perspektiv zu den entsprechenden Elementen von k“) und endlich die perspektive Lage von A, A, B, B,",... Dann sind auch die Büschel O (ABCD . . .) und O" (A“B"C/D" . . .) perspektiv und also in der ursprünglichen Lage projektiv.

746. Wenden wir uns zu unserer Regelfläche zurück, so ist der Büschel der Strahlen durch L. projektiv zu der Involution der anf ihnen liegenden Punktepaare R„R, und somit auch zu der Involution der Punktepaare PP, auf l. Jener Büschel mit dem Scheitel L ist aber auch projektiv zu der Reihe der Punkte Q auf d, da entsprechende Elemente in Ebenen durch die Gerade l liegen. Die Reihe der Punkte Q auf d ist also projektiv zu den Punktepaaren P„P, der Involution auf l (744). Hiermit ist der zweite Teil unseres Satzes bewiesen, dem man auch folgenden Ausdruck verleihen kann. Die Verbindungslinien der Punktepaare einer In volution auf einer Geraden l mit den entsprechenden Punkten einer dazu projektiven Reihe auf einer zu l windschiefen Geraden d bilden die Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades.

747. Die Regelfläche 3. Grades geht durch eine reciproke Raumtransformation wieder in eine Regelfläche 3. Grades über. Denn die Flächen sind von der 3. Ordnung und der 3. Klasse, während also durch eine beliebige Gerade drei Tangentialebenen an die eine gehen, schneidet die entsprechende Gerade die andere in drei Punkten. Der Doppelgeraden der einen entspricht die einfache Leitgerade der anderen. In jedem Punkte der Doppelgeraden giebt es zwei Tangentialebenen, welche die Erzeugenden durch ihn enthalten; dementsprechend giebt es bei der anderen Fläche eine Gerade, deren Ebenen diese in zwei Erzeugenden schneiden, das ist aber die einfache Leitgerade.

Zu jedem Satze über Regelflächen 3. Gerades existiert demnach ein dualer Satz, der nicht besonders bewiesen zu werden braucht. Da jede Ebene durch eine Erzeugende die Fläche in einem Kegelschnitte schneidet, folgt sofort, daß die Fläche von jedem ihrer Punkte aus durch einen Kegel 2. Ordnung projiziert wird, wie wir auch bereits nachgewiesen haben. Da dieser Kegel die Fläche in einer Raumkurve 3. Ordnung berührt, welche die Torsallinien in den Kuspidalpunkten tangiert, folgt umgekehrt, daß die Tangentialebenen in den Punkten eines auf der Regelfläche liegenden Kegelschnittes die Schmiegungsebenen einer Raumkurve 3. Ordnung sind, welche die Torsallinien zu Tangenten und die zugehörigen Tangentialebenen zu Schmiegungsebenen hat.

So lassen sich auch den aufgeführten Erzeugungsarten der Regelfläche 3. Grades nach dem Prinzipe der Dualität andere an die Seite stellen. So bilden alle Tangenten einer Kegelfläche 2. Ordnung, die eine feste Tangente derselben und eine beliebige Gerade schneiden, eine Regelfläche 3. Grades. So schneiden auch die Tangentialebenen einer Kegelfläche 2. Ordnung die entsprechenden Ebenen eines zu ihnen projektiven Ebenenbüschels in den Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades.

748. Wir haben gesehen, daß die Kuspidalpunkte einer Regelfläche 3. Grades reell oder imaginär sein können. Es hängt das davon ab, ob die Tangentialebenen durch die Leitgerade l an den Leitkegelschnitt c reell oder imaginär sind, oder was dasselbe ist, ob der Schnittpunkt von l mit der Ebene des Kegelschnittes c außerhalb oder innerhalb dieser Kurve liegt. Wir wollen jetzt die spezielle Fläche untersuchen, für welche die beiden Kuspidalpunkte zusammenfallen, und die kurz als Cayley"sche Fläche bezeichnet wird. Dann muß offenbar l die Kurve c

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