deren Konstruktion uns jetzt beschäftigen soll. Die Spitzen von u entsprechen solchen Punkten von u, die zur Lichtrichtung parallele Tangenten aufweisen (529); es sind das die Punkte der Fläche mit Lichtstrahlen als Haupttangenten. Die ersten Projektionen einer Haupttangente und der Erzeugenden durch ihren Berührungspunkt schließen aber einen doppelt so großen Winkel ein, wie die Erzeugende und die Gerade t (oder t1). Ist also h eine Erzeugende, auf der ein Punkt von der gesuchten Eigenschaft liegt, so muß h'l'=2 ht sein, wobei beide Winkel in entgegengesetztem Sinne gemessen sind. Man erhält also drei Erzeugende h, i, k, die je einen Punkt von u tragen, deren Schatten Spitzen von u sind. Für sie gelten die Beziehungen: 't = l't, Lit1 = {} _ It', Lk't = l't', so daß die Erzeugenden h, i, k zu je zwei und zwei einen Winkel von 60° einschließen. Wie man auf den Punkt P' von u' findet, ist schon oben angegeben, analog bestimmen sich D′ auf k und auf h'. P, D, L sind Spitzen von u, die zugehörigen Tangenten sind i, k, h; in der Figur ist L wegelassen, da es nicht deutlich eingetragen werden konnte. Das Kurvenstück K'P'C' von u' liegt nicht mehr auf dem dargestellten Teile der Fläche und ist deshalb gestrichelt, ebenso das Stück KPC von u Der Schlagschatten s der Randkurve s auf П, berührt u in K und C und schneidet u überdies in Ex Der Schatten im Grundriß wird sonach von je einem Stück von s und u begrenzt, u* u besteht aus drei

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die in E und K zusammenstoßen. Die Kurve Schlingen, auf denen beziehentlich die Punkte P', D' und ' liegen; demgemäß besteht der Eigenschatten auf der Oberseite der Fläche aus drei Lappen, die resp. von den Stücken TT, TM und MT der Achse (Mux a) und drei Bogenstücken von u, jenen Schlingen entsprechend, begrenzt werden. Auf der Unterseite der Fläche liegt umgekehrt der Teil im Eigenschatten, dessen obere Seite belichtet ist. Von den Punkten D und L (P liegt schon außerhalb der Fläche) gehen tangential zu u Grenzlinien des Schlagschattens der Fläche auf sich selbst aus. Die in D berührende Grenzlinie endet im Punkte E von s, dessen Schatten E ein Schnittpunkt von u⭑ und S* ist. Weitere Punkte von D'E' erhält man, indem man den Schatten geeigneter Erzeugenden mit DE, schneidet und die Lichtstrahlen durch die Schnittpunkte rückwärts bis zur Fläche verfolgt. Auf der Oberseite der Fläche liegen zwei Schlagschattengebiete; das eine wird von den Kurvenbogen MD, DE, EC, CT und dem Stück TM der Achse begrenzt, das andere von zwei Bogenstücken TL, LM und dem Achsenstück MT. Das letztere ist nur

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im Grundriß sichtbar, aber in der Figur weggelassen, da es in der Projektion nur sehr klein erscheint.

739. Die Regelflächen 3. Grades. Wir haben soeben in dem Plücker'schen Konoid einen speziellen Fall der Regelfläche 3. Grades kennen gelernt und wollen nun die allgemeine Regelfläche 3. Grades studieren und einige ihrer wesentlichsten Eigenschaften ableiten. Die gemeinsamen Sekanten eines Kegelschnittes c und zweier windschiefer Geraden d und l, von denen die. erstere den Kegelschnitt in einem Punkte schneidet, bilden eine Regelfläche 3. Grades. In der That giebt es unter diesen Sekanten drei, die eine beliebige Gerade g treffen. Denn die gemeinsamen Sekanten von g, l, d bilden die eine Schar eines Hyperboloides, das von c in vier Punkten getroffen wird, worunter sich auch der Punkt Dcxd befindet. Durch die drei übrigen Punkte geht je eine Gerade der Schar; diese Geraden sind aber Erzeugende der Regelfläche und schneiden g. Unsere Fläche ist von der 3. Ordnung und der 3. Klasse und heißt vom 3. Grade (726). Durch jeden Punkt P von 7 geht eine Erzeugende der Fläche, sie verbindet P mit dem Schnittpunkt R des Kegelschnittes c und der Ebene Pd. Durch jeden Punkt Q von d gehen zwei Erzeugende der Fläche, sie verbinden Q mit den Schnittpunkten R1 und R2 des Kegelschnittes und der Ebene Ql. d ist eine Doppel-, eine einfache Gerade der Regelfläche. Die beiden Tangentialebenen durch an die Kurve c schneiden die Doppelgerade d in den beiden Kuspidalpunkten; ihre Verbindungslinien mit den bez. Berührungspunkten auf c sind die Torsallinien. Kuspidalpunkte und Torsallinien können reell oder konjugiert imaginär sein.

740. Jede Ebene durch eine beliebige Erzeugende f der Regelfläche schneidet sie noch in einem Kegelschnitt i, da die gesamte Schnittkurve von der 3. Ordnung sein muß. Man kann das aber auch leicht direkt nachweisen. Sei П die Ebene durch c, seien D, L und F die Spurpunkte von d, und f in TT, sei ferner s (durch F) die Spurlinie der schneidenden Ebene Σ (durch f) und K ihr zweiter Schnittpunkt mit c (der erste ist F). Eine beliebige Ebene ▲ durch d schneide in P und c in R; dann ist PR eine Erzeugende, die Σ in einem Punkte J der Schnittkurve i trifft. In J schneiden sich die Ebenen Z, A und PRK, so daß J in Z als Schnittpunkt zweier Geraden u = EXA und v = Σ × PRK erscheint. Dreht sich nun ▲ um d, so bewegt sich auch P auf und Rauf c, und zwar ist der Büschel der Ebenen ▲ projektiv zu der Reihe der Punkte P und zu dem Büschel

ΣΧΔ

der Strahlen DR, folglich auch zu dem Büschel der Strahlen KR mit dem Scheitel K. Die Ebenen KPR umhüllen aber eine Kegelfläche 2. Ordnung, da sie aus den Ebenen Kl und Пentsprechende Strahlen KP und KR zweier projektiver Strahlbüschel mit gemeinsamem Scheitel K ausschneiden. Denn schneidet man das Ganze mit einer beliebigen Ebene, so erhält man Gerade, die auf zwei festen Geraden projektive Punktreihen ausschneiden und deshalb einen Kegelschnitt umhüllen (305). Zu den Ebenen KPR, d. h. zu den Ebenen durch die Erzeugenden der Regelfläche und den festen Punkt K, gehört auch ; die bewegliche Ebene KPR schneidet deshalb П, Kl und Σ in projektiven Strahlbüscheln. Denn die bewegliche Tangente eines Kegelschnittes schneidet auf je zwei festen Tangenten projektive Punktreihen aus. Somit ist der Büschel der Strahlen KR projektiv zu dem Büschel der Strahlen v; er ist aber auch projektiv zu dem Büschel der Strahlen u, da beide Büschel von dem Büschel der Ebenen ▲ ausgeschnitten werden. Die entsprechenden Strahlen u und v der beiden projektiven Strahlbüschel mit den Scheiteln Σ × d resp. K schneiden sich aber in den Punkten eines Kegelschnittes i.

Die Ebenen durch die Erzeugenden der Regelfläche und einen beliebigen festen Punkt K auf ihr umhüllen, wie wir soeben gesehen haben, eine Kegelfläche 2. Ordnung, was den Satz ergiebt: Projiziert man die Regelfläche 3. Grades aus einem ihrer Punkte auf eine beliebige Ebene, so ist ihr scheinbarer Umriß ein Kegelschnitt. Derselbe geht durch die Projektionen der Kuspidalpunkte.

741. Sei w' der scheinbare Umriß der Regelfläche, K das Centrum der Projektion und d' die Projektion der Doppelgeraden d. Aus einem Punkte Q' von d' gehen zwei Tangenten e' und c1' an w', es sind die Projektionen der beiden Erzeugenden e und e1 durch den Punkt Q von d. Die Verbindungslinie q' der Berührungspunkte von e' und e' ist die Projektion einer Geraden q, welche die Punkte des wahren Umrisses w auf e und e, verbindet, q ist also die Schnittlinie der Ebenen 1Q und Kq'. Da q' die Polare von Q' in Bezug auf w' ist, enthält sie den Pol O von d'; bewegt sich Q' auf d', SO dreht sich q' um 0, und die Reihe der Punkte Q' ist projektiv zu dem Büschel der Strahlen q'. Einerseits ist nun die Reihe der Punkte Q' zu der Reihe der Punkte Q auf d und zu dem Büschel der Ebenen 1Q mit der Achse 7 projektiv; andererseits ist der Büschel der Strahlen q' zu dem Büschel der Ebenen Kq' mit der Achse KO projektiv. Demnach bilden die Geraden q die eine Schar eines

Hyperboloides (664); dasselbe enthält die Gerade 7 und die beiden Torsallinien der Regelfläche, denn ihre Projektionen gehen durch O. Außerdem schneidet das Hyperboloid die Regelfläche noch in dem wahren Umriß w, der auch auf dem projizierenden Kegel mit dem Scheitel K liegt. Dieser Kegel hat mit dem Hyperboloide eine Gerade gemein. Er wird nämlich von der Ebene IK in einer Geraden berührt, die auf der Polarebene von d'× IK in Bezug auf den Kegel liegt und also auch dem Hyperboloide angehört als Schnittlinie entsprechender Ebenen durch und KO. Kegel und Hyperboloid schneiden sich außerdem noch in einer Raumkurve 3. Ordnung (680). Das giebt den Satz: Projiziert man die Regelfläche 3. Grades aus einem ihrer Punkte, so ist ihr wahrer Umriß eine Raumkurve 3. Ordnung; diese liegt auf einem Hyberboloid, das außerdem die beiden Torsallinien und die einfache Leitgerade der Fläche enthält. Die Raumkurve 3. Ordnung berührt die Torsallinien in den Kuspidalpunkten, geht durch das Projektionscentrum und trifft die einfache Leitgerade in dem Punkte, dessen Erzeugende sich mit der Erzeugenden durch das Centrum auf der Doppelgeraden schneidet. Von der Richtigkeit des zuletzt Gesagten überzeugt man sich durch folgende Überlegung. Jede Ebene durch 7 schneidet die Regelfläche in zwei Erzeugenden und die Raumkurve 3. Ordnung in drei Punkten; von diesen liegt einer auf jeder Erzeugenden und einer auf 7. Jede Ebene durch das Centrum K und eine Erzeugende berührt die Raumkurve in einem Punkte, der auf der Erzeugenden liegt. Zu diesen Ebenen gehört auch die Ebene Kl; da aber ein Punkt der Raumkurve auf 7 liegt, muß ihr Berührungspunkt mit der Ebene Kl in den Schnittpunkt von 7 mit der zweiten Erzeugenden in dieser Ebene fallen, die nicht durch K geht.

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742. Die bewegliche Ebene ▲ durch die Doppelgerade d schneidet in einer Reihe von Punkten P und c in einer Reihe von Punkten R; dabei ist die Reihe der Punkte P projektiv zu dem Büschel der Strahlen DR, und nach 323 sind direkt die Reihen der Punkte P auf und der Punkte R auf e projektiv. Die Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades schneiden also die einfache Leitgerade I und alle Kegelschnitte auf ihr in projektiven Punktreihen. Dieses Resultat läßt sich aber auch umkehren. Sind eine Gerade / und ein Kegelschnitt c Träger projektiver Punktreihen, So bilden die Verbindungslinien entsprechender Punkte die Erzeugenden einer Regelfläche 3. Grades. Drei Punkte auf 7 kann man dabei drei beliebigen Punkten von c entsprechen lassen;

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jedem weiteren Punkt auf c entspricht dann ein bestimmter Punkt auf l, indem vier Punkte auf c und die entsprechenden auf 7 gleiches Doppelverhältnis aufweisen müssen. Um uns von der Richtigkeit des voranstehenden Satzes zu überzeugen, gehen wir von drei Punkten R1, R, R ̧ auf c und den entsprechenden P1, P2, P, auf 1 aus und suchen zu dem Punkte P1 auf 7, der in der Ebene von c liegt, den entsprechenden Punkt R1 auf c. Die Gerade RP schneidet c noch in einem Punkte D; durch diesen legen wir eine Gerade d, welche die Erzeugenden R1P1 und R2P2 schneidet. Der Ebenenbüschel mit der Achse d schneidet 7 und e in projektiven Punktreihen, in denen sich die Punkte R1 und P1, R1⁄2 und P2, R1 und P1 entsprechen. Eine beliebige Erzeugende trifft also c und 7 in entsprechenden Punkten dieser Reihen, d. h. alle Erzeugenden treffen die Gerade d, die eine Doppelgerade der Regelfläche sein muß. Hiermit sind aber die Erzeugenden wiederum als gemeinsame Sekanten von d, I und c nachgewiesen.

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743. Durch die Doppelgerade d, die Leitgerade 7 und fünf Erzeugende e, eg, eg, es, es, die d und schneiden, sonst aber beliebig gewählt werden können, ist eine Regelfläche 3. Grades völlig bestimmt. Denn legt man durch eine dieser fünf Erzeugenden etwa es, eine beliebige Ebene, so schneidet sie die übrigen in vier Punkten R1, R2, R., R1 resp. und man kann durch diese und den Punkt D= d x e einen Kegelschnitt c legen. Die gemeinsamen Sekanten. Ꭰ von d, l, und c liegen auf einer Regelfläche 3. Grades, der die Geraden e1, 2,..., e̟ angehören.

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Jede Regelfläche 3. Grades kann aber auch in der soeben geschilderten Weise erzeugt werden. Denn sind e1, eg,..., eg fünf beliebige Erzeugende auf ihr, so kann man zu e1, е2, eg, e̟ die beiden gemeinsamen Sekanten d und aufsuchen; diese gehören dann der Regelfläche an, da sie vier Punkte mit ihr gemein haben, sie schneiden deshalb auch die Erzeugende e, und ebenso jede andere. Eine beliebige Ebene durch e, muß die Fläche noch in einem Kegelschnitt c schneiden, ihre Erzeugenden sind also die gemeinsamen Sekanten von c, d und l. Eine der Geraden d und 7 es sei dies d muß aber die Kurve e schneiden, denn sonst wäre die Regelfläche mit den Leitlinien c, d, I vom 4. Grade; hiermit sind wir wieder zu der ursprünglichen Erzeugung der Fläche gelangt.

Durch fünf Geraden e, eg, ..., es mit zwei gemeinsamen Sekanten d und 7 giebt es offenbar zwei Regelflächen 3. Grades; die eine hat d zur Doppel-, 7 zur einfachen Geraden, die andere hat zur Doppel- und d zur einfachen Geraden. Außer den ge