den rechtwinkligen Erzeugenden t und t1 ausgehen; jede Gerade gehört dann der Fläche an, die a und eine gemeinsame Sekante von und rechtwinklig schneidet. Durch Änderung der Sekante erhält man andere und andere Erzeugende. Der Beweis für die Richtigkeit dieser Behauptung ist durch eine einfache Rechnung zu erbringen und mag hier übergangen werden. 3 = 734. Wir wollen nun durch eine beliebige Erzeugende f eine Ebene legen und ihre Schnittkurve mit dem Konoid untersuchen. Dazu benutzen wir zwei horizontale Projektionsebenen П und П, die wir durch t und t1 legen. Bilden s1 || $ (f) die erste und dritte Spurlinie von Σ und ist L1 = s1 × t, L2 = Sg X t1, so ist L12 eine Gerade der Ebene Σ und schneidet die Erzeugende fin einem Punkte Q. Nun geht gemäß der Definition des Konoides durch Q eine Gerade, die t und schneidet und auf f senkrecht steht. Das kann aber keine andere Gerade sein, als die Gerade L1L, da ja t und t1 windschief zu einander sind. Folglich ist LL±ƒ und L'I' f'; f ist eine Hauptlinie und LL, eine Falllinie von Σ. Über L'L' als Durchmesser zeichnen wir jetzt einen Kreis k'; dieser geht durch A (da t'i t1') und ist die Projektion der gesuchten Schnittkurve. Zum Beweise zeigen wir, daß X' ik' die Projektion des Schnittpunktes der Ebene I mit der beliebigen Erzeugenden i ist. Dazu errichten wir in X' eine Normale auf ", welche die Geraden t', t, s' s,' der Reihe nach in N', N, R,R,' schneiden mag. Dann sind No auf t und N auf t, der erste und dritte Spurpunkt einer Geraden durch X (Definition des Konoides); ferner bilden R1 auf s1 und R, auf s, den ersten und dritten Spurpunkt einer zweiten Geraden. Beide Geraden N,N, und RR, schneiden sich im Punkte X, falls die Relation: N'X': R'X' In den ähnlichen Dreiecken X'L'N' N'X': R'X' erfüllt ist. und X'L'A sind L'R' und L'Y homologe Linien (Y=ï′ × L1'L'), demnach ist: N'X': R1'X' = AX': YX'. Ebenso sind L'R' und LY homologe Linien in den ähnlichen Dreiecken X'L'N' und X'L'A, also ist: N'X': R,'X' = AX': YX'. Aus beiden Relationen ergiebt sich die obige und daraus folgt, daß der Punkt X auf R1R, d. h. in der Ebene Σ liegt. Wir können dieses Resultat folgendermaßen aussprechen, indem wir die Achse a des Konoides, seinen Mittelpunkt O und die Erzeugenden m und n durch diesen zu Grunde legen. = 1 $1 1 3 1 3 Jede Ebene durch eine beliebige Erzeugende f des Plücker'schen Konoides schneidet dasselbe noch in einem Kegelschnitt, der sich auf eine Normalebene zu seiner Achse als Kreis projiziert. Dieser Kreis berührt die Projektion derjenigen Erzeugenden g, die sich mit f auf der Achse schneidet. In dem Punkte fx g der Achse a giebt es nämlich die beiden Tangentialebenen af und ag an die beiden Flächenmäntel, die sich längs a durchschneiden. Die Schnittlinie der Ebenen ag und Σ ist somit eine Tangente der in Σ liegenden Schnittkurve und g' eine Tangente von k'. Daraus folgt auch noch, daß der Mittelpunkt M' von k' auf fi' liegt ( m'f" = L fi'm' = L g'n'). 735. Die Haupttangenten der Fläche in den Punkten einer beliebigen Erzeugenden f projizieren sich auf eine Normalebene zur Achse als Parallelen, die mit f den gleichen Winkel einschließen wie die Erzeugende g, welche sich mit f auf der Achse schneidet. Es ist das nach dem Vorangehenden unmittelbar klar, denn die Tangente von k' in Z' ist die Projektion einer solchen Haupttangente. Alle Haupttangenten in den Punkten der nämlichen Erzeugenden f bilden die eine Schar eines oskulierenden Paraboloides. Zwei Geraden seiner anderen Schar liegen in П1 und П ̧; ihre Projektionen sind O'U' resp. O'U' wenn die Tangente von k' in Z′ die Parallelen s1 und s,' bezüglich in U1 und U' schneidet. In der Figur sind diese Geraden weggelassen. 39 Die Haupttangentenkurven des Plücker'schen Konoides. projizieren sich auf eine Normale bene zur Achse als Lemniskaten und berühren die Torsallinien in den Kuspidalpunkten; für alle Lemniskaten sind also die Projektionen der Torsallinien die Doppelpunktstangenten. Die Haupttangentenkurven einer Fläche sind nach Kap. XIII dadurch definiert, daß ihre Tangenten Haupttangenten der Fläche sind. Bei den Regelflächen geht, von den erzeugenden Geraden abgesehen, durch jeden Punkt eine solche Kurve h; im vorliegenden Falle hat ihre Projektion h' auf eine Normalebene zur Achse folgende charakteristische Eigenschaft, wie aus dem vorher Gesagten ersichtlich ist. Die Verbindungslinie eines beliebigen Punktes P' der Kurve h' mit ihrem Doppelpunkte O' schließt mit der Tangente in P' einen doppelt so großen Winkel ein, wie mit einer Doppelpunktstangente. Dabei ist der Drehsinn der beiden Winkel entgegengesetzt, wenn man jedesmal von dem Schenkel O'P' ausgeht. m' und n' sind Symmetrielinien von h', 'und t' die Tangenten im Doppelpunkt O' (Fig. 470). Diese Eigenschaft kommt aber der Lemniskate zu, wie wir jetzt zeigen wollen. Wir gehen zunächst von der bekannten Definition der Lemniskate aus als Ort der Punkte, für welche das Produkt ihrer Abstände von zwei festen 2 Punkten Fund F2 kon- ť'm' in = und ▲ m't' = 45o). Nun O' berührt, derselbe Dann ist: FP'. F„P' t die Tangenten im Doppelpunkte O′ ( ▲ ziehen wir einen Kreis durch P', der m' möge FP' in R und FP' in 8 schneiden. = (FO)2 = FP'. FR und FP'· F1P′ = (F20′)2 FP-FS, also: P'R-P'S. Deshalb halbiert die Kreistangente in P' den Nebenwinkel von RP'S, d. h. ▲ FP'F2, und da O'P' mit den Kreistangenten gleiche Winkel einschließt, gilt die Beziehung: α = } (ε1 + ε1⁄2) − ε1 (−), wenn wir: ▲ P'O'F2 = a, FP'O' =&, und ▲ O'P'F, ε setzen. Die Tangente der Lemniskate in P' geht durch 7 (438), wenn QP'P'F2, TQ 1 FP' und TFI FP' ist. In dem Kreisviereck FPQT ist aber FPT ▲ F1QT = R daraus folgt: ▲ OPT = R &1⁄2 + &1 = R — 2a. O'P' mit einer Tangente im Doppelpunkt den Winkel († R — «) ein, dieser ist also in der That die Hälfte von O'PT. = = = 2 1 2 &, (F1Q || O ́P'), Ferner schließt Durch die beiden zu einander rechtwinkligen Tangenten im Doppelpunkte, die soeben dargelegte Eigenschaft der Tangenten und einen beliebigen Punkt ist die Kurve völlig bestimmt, da ja hierdurch eine stetige Folge von Kurvenpunkten gegeben ist. Die Projektionen der Haupttangentenkurven des Konoides sind demnach wirklich Lemniskaten. 736. Die Konstruktion von Tangentialebenen und Berührungspunkten des Konoides lehrt uns Fig. 469. Im Punkte Z von f erhält man die Tangentialebene, indem man im Mittelpunkte Q' von O'Z' die Normale errichtet, sie mit t' in L' und mit t' in L' schneidet und zu f' die Parallelen s', s,' durch L, resp. L' zieht. Dann sind $1 und $3 die Spurlinien der Tangentialebene in den Horizontalebenen П1 und П (П, durch t, П, durch t1). Ist umgekehrt s. (f) die Spur einer beliebigen Ebene durch f, so fälle man von L3 3 3 = S3 Xt ein Lot LQ auf f, dann hat der Berührungspunkt Z dieser Ebene von der Achse a einen doppelt so großen Abstand wie Q. 737. Eigen- und Schlagschatten des Plücker'schen Konoides. Wir nehmen die Axe a wieder vertikal und legen П, Fig. 471. 3 durch t und eine Hilfsebene П, TT, durch t1. Von der Fläche stellen wir nur den von einem Rotationscylinder mit der Achse a und dem Radius 2d umschlossenen Teil dar, Abstand der Kuspidalpunkte bedeutet (Fig. 471). ROHN u. PAPPERITZ. II. wo: TT = 2d den Die Schnittkurve s 18 1 von Cylinder und Fläche ist eine auf den Cylinder aufgewickelte Sinuslinie, die aus einem Kreise mit dem Radius d abgeleitet ist (vergl. 581). Ist nämlich Z ein Punkt von s und z sein Abstand von der Horizontalebene mn durch den Mittelpunkt O, so sind seine Abstände von П1 und П, resp. gleich (d+ z) und (d — z) und es gilt die Relation: (d+ z): (dz) = tang (45°+): tang (45°- ε), wo ε m'f" und f die Erzeugende durch Z ist. Dieser Relation kann. man aber die Form geben: (d + z): (d − z) = 1 + sin 2ɛ : 1 − sin 2ɛ, oder: 2 d sin 2ɛ, damit ist aber unsere Behauptung erwiesen. Die Scheitelpunkte der Sinuslinie liegen auf t und t1, ihre Wendepunkte auf m und n. z = Im Grundriß haben wir den Kreis s' in 24 gleiche Teile geteilt und die Projektionen der Erzeugenden durch diese Teilpunkte gezogen; unter ihnen befinden sich die Erzeugenden t, t1, m, n. Um von einer Erzeugenden f den Aufriß zu finden, fällen wir von S = s't' ein Lot auff" und von dessen Fußpunkt ein Lot auf t'. Das letztere Lot teilt S'O'(= 2d) in dem gleichen Verhältnis, wie der Punkt Fax f die Strecke TT, (= 2d); TT, projiziert sich aber im Aufriß in natürlicher Größe. * * = Die Eigenschattengrenze u auf der Fläche bestimmen wir, indem wir auf den einzelnen Erzeugenden Punkte derselben aufsuchen. Sind ', ' die Projektionen eines Lichtstrahles und ist (|| ") der Schatten einer Erzeugenden i auf T1, so fälle man von Nixx t das Lot NG auf und trage O'P' 20'G auf auf, dann ist P' = i' ein Punkt von u. Der Schlagschatten u von u auf П, berührt in P, dem Schatten von P, die Gerade i Die Tangente in einem beliebigen Punkte von u ergiebt sich daraus, daß in diesem Punkte die Erzeugende und die Haupttangente harmonisch liegen zum Lichtstrahl und der Tangente der Lichtgrenze. Man kann ohne Aufriß finden, sobald man den Schatten S von S kennt. Liegt nämlich Rauft und ist S'RL, so ist QSRX die Projektion eines Punktes Q von i und Q auf RS sein Schatten; man hat dann nur durch Q zu ziehen.. * * * = * 738. Das Plücker'sche Konoid ist von der 3. Ordnung, da eine beliebige Ebene durch eine Erzeugende dasselbe noch in einem Kegelschnitt schneidet. Deshalb ist jede Central- oder Parallelprojektion des Konoides eine Kurve 3. Klasse. Denn jeder Punkt der Projektionsebene ist die Projektion dreier Flächenpunkte; die durch diese Punkte gehenden Erzeugenden projizieren sich als Tangenten des scheinbaren Umrisses. So ist auch eine Kurve 3. Klasse; sie besitzt drei Spitzen, * |