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OZ" die Normale errichtet, sie mit t“ in L“ und mit t“ in L' schneidet und zu f” die Parallelen s,“, so durch L,“ resp. L" zieht. Dann sind s, und s, die Spurlinien der Tangentialebene in den Horizontalebenen TT, und TT, (TT, durch t, TT, durch t). Ist umgekehrt s, (f) die Spur einer beliebigen Ebene durch f, so fälle man von L, =s, × t, ein Lot LQ auf f, dann hat der Berührungspunkt Z. dieser Ebene von der Achse a einen doppelt so großen Abstand wie Q. 737. Eigen- und Schlagschatten des Plücker'schen Konoides. Wir nehmen die Axe a wieder vertikal und legen TT,

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durch t und eine Hilfsebene TT |TT, durch t. Von der Fläche stellen wir nur den von einem Rotationscylinder mit der Achse a und dem Radius 2d umschlossenen Teil dar, wo: TT = 2d den Abstand der Kuspidalpunkte bedeutet (Fig. 471). Die Schnittkurve s

ROHN u. PAPPERITZ. II. 18

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von Cylinder und Fläche ist eine auf den Cylinder aufgewickelte Sinuslinie, die aus einem Kreise mit dem Radius d abgeleitet ist (vergl. 581). Ist nämlich Z ein Punkt von s und z sein Abstand von der Horizontalebene mn durch den Mittelpunkt O, so sind seine Abstände von TI, und TI, resp. gleich (d+2) und (d–z) und es gilt die Relation: (d– z): (d–z) = tang (45°+ 8): tang (459–8), wo 8 = z. mf“ und f die Erzeugende durch Zist. Dieser Relation kann man aber die Form geben: (d+2): (d– 2) = 1 – sin 28 : 1 – sin 28, oder : 2 = dsin 2e, damit ist aber unsere Behauptung erwiesen. Die Scheitelpunkte der Sinuslinie liegen auf t und t, ihre Wendepunkte auf m und n. Im Grundriß haben wir den Kreis s” in 24 gleiche Teile geteilt und die Projektionen der Erzeugenden durch diese Teilpunkte gezogen; unter ihnen befinden sich die Erzeugenden t, t, m, n. Um von einer Erzeugenden f den Aufriß zu finden, fällen wir von S=s" -x t“ ein Lot auff“ und von dessen Fußpunkt ein Lot auft,“. Das letztere Lot teilt S'0 (= 2d) in dem gleichen Verhältnis, wie der Punkt F= a ×f die Strecke TT (=2d); TT projiziert sich aber im Aufriß in natürlicher Größe. Die Eigenschattengrenze u auf der Fläche bestimmen wir, indem wir auf den einzelnen Erzeugenden Punkte derselben aufsuchen. Sind ", l“ die Projektionen eines Lichtstrahles und ist , (i) der Schatten einer Erzeugenden i auf TT, so fälle man von N = 1, x t das Lot NG auf i“ und trage OP“ = 20 G auf " auf, dann ist P" ein Punkt von u. Der Schlagschatten u. von u auf TT, berührt in P", dem Schatten von Po, die Gerade i. Die Tangente in einem beliebigen Punkte von u ergiebt sich daraus, daß in diesem Punkte die Erzeugende und die Haupttangente harmonisch liegen zum Lichtstrahl und der Tangente der Lichtgrenze. Man kann , ohne Aufriß finden, sobald man den Schatten S, von S kennt. Liegt nämlich R auf t und ist S“R Li', so ist Q" = SR x 1“ die Projektion eines Punktes Q von i und Q, auf RS, sein Schatten; man hat dann nur i. | i durch Q, zu ziehen. 738. Das Plücker'sche Konoid ist von der 3. Ordnung, da eine beliebige Ebene durch eine Erzeugende dasselbe noch in einem Kegelschnitt schneidet. Deshalb ist jede Central- oder Parallelprojektion des Konoides eine Kurve 3. Klasse. Denn jeder Punkt der Projektionsebene ist die Projektion dreier Flächenpunkte; die durch diese Punkte gehenden Erzeugenden projizieren sich als Tangenten des scheinbaren Umrisses. So ist auch u. eine Kurve 3. Klasse; sie besitzt drei Spitzen, deren Konstruktion uns jetzt beschäftigen soll. Die Spitzen von u. entsprechen solchen Punkten von u, die zur Lichtrichtung parallele Tangenten aufweisen (529); es sind das die Punkte der Fläche mit Lichtstrahlen als Haupttangenten. Die ersten Projektionen einer Haupttangente und der Erzeugenden durch ihren Berührungspunkt schließen aber einen doppelt so großen Winkel ein, wie die Erzeugende und die Gerade t (oder t). Ist also h eine Erzeugende, auf der ein Punkt von der gesuchten Eigenschaft liegt, so muß Z h'' = 2 Z. ht sein, wobei beide Winkel in entgegengesetztem Sinne gemessen sind. Man erhält also drei Erzeugende h, i, k, die je einen Punkt von u tragen, deren Schatten Spitzen von u. sind. Für sie gelten die Beziehungen: z. ht = " Z. lt, z. "t,“ = z. /t,“, z. kt,“ = .. z lt,“, so daß die Erzeugenden h, i, k zu je zwei und zwei einen Winkel von 609 einschließen. Wie man auf " den Punkt Po von u“ findet, ist schon oben angegeben, analog bestimmen sich D/ auf k“ und L/ auf h'. P., D, L, sind Spitzen von u., die zugehörigen Tangenten sind i, k, h; in der Figur ist L. wegelassen, da es nicht deutlich eingetragen werden konnte. Das Kurvenstück K"P"C“ von u“ liegt nicht mehr auf dem dargestellten Teile der Fläche und ist deshalb gestrichelt, ebenso das Stück K„PC, von u. Der Schlagschatten s, der Randkurve s auf TT, berührt u. in K. und C, und schneidet u. überdies in E. Der Schatten im Grundriß wird sonach von je einem Stück von s, und u. begrenzt, die in E. und K. zusammenstoßen. Die Kurve zu besteht aus drei Schlingen, auf denen beziehentlich die Punkte P', Do und L' liegen; demgemäß besteht der Eigenschatten auf der Oberseite der Fläche aus drei Lappen, die resp. von den Stücken TT, TM und MT" der Achse (M = u X a) und drei Bogenstücken von u, jenen Schlingen entsprechend, begrenzt werden. Auf der Unterseite der Fläche liegt umgekehrt der Teil im Eigenschatten, dessen obere Seite belichtet ist. Von den Punkten D und L (P liegt schon außerhalb der Fläche) gehen tangential zu u Grenzlinien des Schlagschattens der Fläche auf sich selbst aus. Die in D berührende Grenzlinie endet im Punkte E von s, dessen Schatten E, ein Schnittpunkt von u, und s, ist. Weitere Punkte von DE" erhält man, indem man den Schatten geeigneter Erzeugenden mit D„E, schneidet und die Lichtstrahlen durch die Schnittpunkte rückwärts bis zur Fläche verfolgt. Auf der Oberseite der Fläche liegen zwei Schlagschattengebiete; das eine wird von den Kurvenbogen MD, DE, EC, CT" und dem Stück TM der Achse begrenzt, das andere von zwei Bogenstücken TL, LM und dem Achsenstück MT. Das letztere ist nur im Grundriß sichtbar, aber in der Figur weggelassen, da es in der Projektion nur sehr klein erscheint. 739. Die Regelflächen 3. Grades. Wir haben soeben in dem Plücker'schen Konoid einen speziellen Fall der Regelfläche 3. Grades kennen gelernt und wollen nun die allgemeine Regelfläche 3. Grades studieren und einige ihrer wesentlichsten Eigenschaften ableiten. Die gemeinsamen Sekanten eines Kegelschnittes c und zweier windschiefer Geraden d und l, von denen die erstere den Kegelschnitt in einem Punkte schneidet, bilden eine Regelfläche 3. Grades. In der That giebt es unter diesen Sekanten drei, die eine beliebige Gerade g treffen. Denn die gemeinsamen Sekanten von g, l, d bilden die eine Schar eines Hyperboloides, das von c in vier Punkten getroffen wird, worunter sich auch der Punkt D = c ×d befindet. Durch die drei übrigen Punkte geht je eine Gerade der Schar; diese Geraden sind aber Erzeugende der Regelfläche und schneiden g. Unsere Fläche ist von der 3. Ordnung und der 3. Klasse und heißt vom 3. Grade (726). Durch jeden Punkt P von l geht eine Erzeugende der Fläche, sie verbindet P mit dem Schnittpunkt R des Kegelschnittes c und der Ebene Pd. Durch jeden Punkt Q von d gehen zwei Erzeugende der Fläche, sie verbinden Q mit den Schnittpunkten R, und R, des Kegelschnittes und der Ebene Ql. d ist eine Doppel-, l eine einfache Gerade der Regelfläche. Die beiden Tangentialebenen durch l an die Kurve c schneiden die Doppelgerade d in den beiden Kuspidalpunkten; ihre Verbindungslinien mit den bez. Berührungspunkten auf c sind die Torsallinien. Kuspidalpunkte und Torsallinien können reell oder konjugiert imaginär sein. 740. Jede Ebene durch eine beliebige Erzeugende f der Regelfläche schneidet sie noch in einem Kegelschnitt , da die gesamte Schnittkurve von der 3. Ordnung sein muß. Man kann das aber auch leicht direkt nachweisen. Sei TT die Ebene durch c, seien D, L und F die Spurpunkte von d., l und f in TT, sei ferner s (durch F) die Spurlinie der schneidenden Ebene X (durch f) und K ihr zweiter Schnittpunkt mit c (der erste ist F). Eine beliebige Ebene A durch d schneide l in P und c in Ro; dann ist Pft eine Erzeugende, die X in einem Punkte J der Schnittkurve i trifft. In J schneiden sich die Ebenen XE, A und PRK, so daß J in X als Schnittpunkt zweier Geraden u = X x A und v= X X PRK erscheint. Dreht sich nun A um d, so bewegt sich auch Po auf l und R auf c, und zwar ist der Büschel der Ebenen A projektiv zu der Reihe der Punkte Pound zu dem Büschel der Strahlen DR, folglich auch zu dem Büschel der Strahlen KR mit dem Scheitel K. Die Ebenen KPR umhüllen aber eine Kegelfläche 2. Ordnung, da sie aus den Ebenen Kl und TT entsprechende Strahlen KP und KR zweier projektiver Strahlbüschel mit gemeinsamem Scheitel K. ausschneiden. Denn schneidet man das Ganze mit einer beliebigen Ebene, so erhält man Gerade, die auf zwei festen Geraden projektive Punktreihen ausschneiden und deshalb einen Kegelschnitt umhüllen (305). Zu den Ebenen KPR, d. h. zu den Ebenen durch die Erzeugenden der Regelfläche und den festen Punkt K, gehört auch X; die bewegliche Ebene KPR schneidet deshalb TT, Kl und XT in projektiven Strahlbüscheln. Denn die bewegliche Tangente eines Kegelschnittes schneidet auf je zwei festen Tangenten projektive Punktreihen aus. Somit ist der Büschel der Strahlen KR projektiv zu dem Büschel der Strahlen v; er ist aber auch projektiv zu dem Büschel der Strahlen u, da beide Büschel von dem Büschel der Ebenen A ausgeschnitten werden. Die entsprechenden Strahlen zu und v der beiden projektiven Strahlbüschel mit den Scheiteln X X d resp. K. schneiden sich aber in den Punkten eines Kegelschnittes i. Die Ebenen durch die Erzeugenden der Regelfläche und einen beliebigen festen Punkt K auf ihr umhüllen, wie wir soeben gesehen haben, eine Kegelfläche 2. Ordnung, was den Satz ergiebt: Projiziert man die Regelfläche 3. Grades aus einem ihrer Punkte auf eine beliebige Ebene, so ist ihr scheinbarer Umriß ein Kegelschnitt. Derselbe geht durch die Projektionen der Kuspidalpunkte. 741. Sei w“ der scheinbare Umriß der Regelfläche, K. das Centrum der Projektion und d‘ die Projektion der Doppelgeraden d. Aus einem Punkte Q" von d’ gehen zwei Tangenten e’ und c, an w", es sind die Projektionen der beiden Erzeugenden e und e, durch den Punkt Q von d. Die Verbindungslinie q“ der Berührungspunkte von e’ und e,“ ist die Projektion einer Geraden q, welche die Punkte des wahren Umrisses w auf e und e, verbindet, q ist also die Schnittlinie der Ebenen l(Q und Kq“. Da q“ die Polare von Q" in Bezug auf w“ ist, enthält sie den Pol O. von d’; bewegt sich Q" auf d", so dreht sich q“ um O, und die Reihe der Punkte Q" ist projektiv zu dem Büschel der Strahlen q“. Einerseits ist nun die Reihe der Punkte Q" zu der Reihe der Punkte Q auf d und zu dem Büschel der Ebenen l9 mit der Achse l projektiv; andererseits ist der Büschel der Strahlen q" zu dem Büschel der Ebenen Kg“ mit der Achse KO projektiv. Demnach bilden die Geraden q die eine Schar eines

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