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nun ein Punkt eines dritten Systems konstruieren, indem man durch den Punkt des ersten Systems eine Parallele zu i, durch den des zweiten Systems eine Gerade durch J zieht. So ergiebt sich Po" aus E und P“ (EP“|i, Po"P“ durch J), ebenso Q“ aus F und Q.“ (FQ" |i, Q“Q” durch J). Zeigen wir nun noch, daß das zweite und dritte System perspektiv sind, so muß die Kurve c“ des dritten Systems, d. h. die Projektion der Schnittkurve c des Konoides und der Ebene Pi, ein Kegelschnitt sein, da sie zu dem Kegelschnitte c,“ perspektiv ist. Beschreibt aber E auf einer beliebigen Geraden EF" eine Punktreihe, so beschreibt der entsprechende Punkt P“ des zweiten Systems eine dazu projektive Punktreihe auf P"Q“. Die Punkte der ersten Reihe verbinden wir mit dem unendlich fernen Punkte von i, die der zweiten Reihe mit J und erhalten so zwei projektive Strahlbüschel. Da aber in diesen Büscheln i sich selbst entspricht, so sind sie perspektiv und ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich in Punkten einer Geraden. Beschreibt also E eine Punktreihe EF so beschreiben sowohl P“, als auch Po“ dazu projektive Punktreihen, nämlich P'9“ und P"Q". Das zweite und dritte System sind somit perspektiv, J ist das Centrum, MA“ die Achse dieser Perspektive; denn die Punkte von MA“ entsprechen sich selbst in beiden Systemen (P"Q"><P"Q" liegt auf MA“). Damit ist bewiesen, daß c“ und folglich auch c ein Kegelschnitt ist. Zur Konstruktion von c“ können die eben geschilderten perspektiven Beziehungen benutzt werden. 733. Das Plücker'sche Konoid, seine Tangentialebenen, das oskulierende Paraboloid. Sind e und e, zwei beliebige Geraden und ist a ihre gemeinsame Normale, dann gehören alle Geraden, die a und je eine gemeinsame Sekante von e und e, senkrecht schneiden, dem Plücker'schen Konoid an. Wir wählen a vertikal, dann sind die Erzeugenden des Konoides horizontal und ihre ersten Projektionen gehen durch den ersten Spurpunkt A von a (ex e,“ = A) Fig. 469. Sind Po und P. beliebige Punkte von e und e, dann ist die gemeinsame Normalef von a und PP, eine Erzeugende (f“ durch A, f' LP"P", Q=f"><PP) und es ist: FE: FE =QP“: QP" = tangfe: tang fe, wenn E, E, F die Schnittpunkte von e, e, f mit a sind. Hierdurch ist aber die Lage von f bestimmt. Andert man die Lagen von Po und P% aufe

Diese Fläche wurde von Plücker in seiner Theorie der linearen Komplexe behandelt und spielt in der Theorie der Schraubenbewegung eine besondere Rolle.

und e, so, daß PE: PE, konstant bleibt, so besitzen alle diese Geraden die nämliche Normale f. Man kann ersichtlich alle Erzeugenden des Konoides

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Geraden im und n, deren FET Projektionen m' und in die Winkel von e’ und e, halbieren (m/ L. n); sie gehen durch den Mittelpunkt O z: „X“ , der Strecke EE, der zugleich als Mittelpunkt – – – – =------ ------- FT der Fläche bezeichnet wird. Je zwei Erzeugende f und fi, die mit m (oder m) "__ gleiche Winkel bilden, s treffen a in zwei Punkten F" Fig. 469. und F", die von Ogleichen Abstand haben, da offenbar FE: FE = FE: FE ist. Sind fund g zwei Erzeugende, zwischen denen die Beziehung z. fn = Z. ng besteht, so treffen sie a in dem nämlichen Punkte Po= G. Denn setzen wir z. me=– z. me,=8 und 4-fm = Z. ng =7, so ist: FE: F/ =tang fe: tang fe, und GE: GE = tang ge: tang ge; die rechten Seiten beider Relationen sind aber gleich tang (7 + 8): tang (y–8), also fallen F und G zusammen. Sind speziell t und t, die beiden Erzeugenden der Fläche, die mit m und in Winkel von 45° einschließen (t L. t), so ist z. tm = Z. nt und ebenso z. tm = Z. nt, d. h. durch T = txa und T = t, × a geht nur je eine einzige Erzeugende der Fläche (eigentlich je zwei unendlich nahe). Die Gerade a ist eine Doppelgerade des Konoides und heißt seine Achse, T und T sind Kuspidalpunkte, t und Torsallinien auf ihm. Wir sind ursprünglich von den beiden Erzeugenden e und er ausgegangen; ganz die gleiche Rolle können bei der Definition unserer Fläche auch irgend zwei andere Erzeugende spielen, die mit m (oder m) gleiche Winkel bilden. Insbesondere kann man von den rechtwinkligen Erzeugenden t und t, ausgehen; jede Gerade gehört dann der Fläche an, die a und eine gemeinsame Sekante von t und t, rechtwinklig schneidet. Durch Änderung der Sekante erhält man andere und andere Erzeugende. Der Beweis für die Richtigkeit dieser Behauptung ist durch eine einfache Rechnung zu erbringen und mag hier übergangen werden. 734. Wir wollen nun durch eine beliebige Erzeugende f eine Ebene X legen und ihre Schnittkurve mit dem Konoid untersuchen. Dazu benutzen wir zwei horizontale Projektionsebenen TT, und TT, die wir durch t und t, legen. Bilden s, |s, (f) die erste und dritte Spurlinie von X und ist L,=s, × t, L,=s, × t, so ist LL eine Gerade der Ebene X und schneidet die Erzeugende fin einem Punkte Q. Nun geht gemäß der Definition des Konoides durch Q eine Gerade, die t und t, schneidet und auffsenkrecht steht. Das kann aber keine andere Gerade sein, als die Gerade LL, da ja t und t, windschief zu einander sind. Folglich ist LL, Lf und La La Lf; f ist eine Hauptlinie und L, L, eine Falllinie von X. Uber L/L' als Durchmesser zeichnen wir jetzt einen Kreis k’; dieser geht durch A. (da t“ Lt,") und ist die Projektion der gesuchten Schnittkurve. Zum Beweise zeigen wir, daß X" = " × k“ die Projektion des Schnittpunktes der Ebene X mit der beliebigen Erzeugenden i ist. Dazu errichten wir in X" eine Normale auf i", welche die Geraden t“, t“, s,“ so der Reihe nach in N’, N", R, „R“ schneiden mag. Dann sind N% auf t und N% auf t, der erste und dritte Spurpunkt einer Geraden durch X (Definition des Konoides); ferner bilden R, auf s, und R, auf s, den ersten und dritten Spurpunkt einer zweiten Geraden. Beide Geraden N„N, und R„R, schneiden sich im Punkte X, falls die Relation: N'X': R, X" = N'X': R'X' erfüllt ist. In den ähnlichen Dreiecken X"L'N' und X"L'A sind L'R, und L'F homologe Linien (P = "XL"L"), demnach ist: N'X': R'X' = AX": XX". Ebenso sind L'R' und LP homologe Linien in den ähnlichen Dreiecken X"L'N' und X"L'A, also ist: MX": R„K“ = AX: XX". Aus beiden Relationen ergiebt sich die obige und daraus folgt, daß der Punkt X auf R„R, d. h. in der Ebene X liegt. Wir können dieses Resultat folgendermaßen aussprechen, indem wir die Achse a des Konoides, seinen Mittelpunkt O und die Erzeugenden im und n durch diesen zu Grunde legen. Jede Ebene durch eine beliebige Erzeugende f des Plücker'schen Konoides schneidet dasselbe noch in einem Kegelschnitt, der sich auf eine Normalebene zu seiner Achse als Kreis projiziert. Dieser Kreis berührt die Projektion derjenigen Erzeugenden g, die sich mit f auf der Achse schneidet. In dem Punkte fxg der Achse a giebt es nämlich die beiden Tangentialebenen af und ag an die beiden Flächenmäntel, die sich längs a durchschneiden. Die Schnittlinie der Ebenen ag und X ist somit eine Tangente der in X liegenden Schnittkurve und g' eine Tangente von k“. Daraus folgt auch noch, daß der Mittelpunkt M“ von k“ auff" liegt (z. mf“ = Z f'm“ = Z. g/n) 735. Die Haupttangenten der Fläche in den Punkten einer beliebigen Erzeugenden f projizieren sich auf eine Normalebene zur Achse als Parallelen, die mit f den gleichen Winkel einschließen wie die Erzeugende g, welche sich mit f auf der Achse schneidet. Es ist das nach dem Vorangehenden unmittelbar klar, denn die Tangente von k“ in Zoo ist die Projektion einer solchen Haupttangente. Alle Haupttangenten in den Punkten der nämlichen Erzeugenden f bilden die eine Schar eines oskulierenden Paraboloides. Zwei Geraden seiner anderen Schar liegen in TT, und TT; ihre Projektionen sind O/U," resp. O/U", wenn die Tangente von k“ in Z" die Parallelen s, und s” bezüglich in U' und U" schneidet. In der Figur sind diese Geraden weggelassen. Die Haupttangentenkurven des Plücker'schen Konoides projizieren sich auf eine Normalebene zur Achse als Lemniskaten und berühren die Torsallinien in den Kuspidalpunkten; für alle Lemniskaten sind also die Projektionen der Torsallinien die Doppelpunkt stangenten. Die Haupttangentenkurven einer Fläche sind nach Kap. XIII dadurch definiert, daß ihre Tangenten Haupttangenten der Fläche sind. Bei den Regelflächen geht, von den erzeugenden Geraden abgesehen, durch jeden Punkt eine solche Kurve h; im vorliegenden Falle hat ihre Projektion h' auf eine Normalebene zur Achse folgende charakteristische Eigenschaft, wie aus dem vorher Gesagten ersichtlich ist. - Die Verbindungslinie eines beliebigen Punktes Po der Kurve h' mit ihrem Doppelpunkte O' schließt mit der Tangente in Po" einen doppelt so großen Winkel ein, wie mit einer Doppelpunktstangente. Dabei ist der Drehsinn der beiden Winkel entgegengesetzt, wenn man jedesmal von dem Schenkel OP“ ausgeht. m' und 'n' sind Symmetrielinien von h, t“ und t, die Tangenten im Doppelpunkt O' (Fig. 470). Diese Eigenschaft kommt aber der Lemniskate zu, wie wir jetzt zeigen wollen.

Wir gehen zunächst von der bekannten Definition der Lemniskate aus als Ort der Punkte, für welche das Produkt ihrer Abstände von zwei festen Punkten F. und F. konstant und gleich dem Quadrat der halben Entfernung der festen Punkte ist. Sie erscheint also als spezieller Fall der Cassini'schen Kurve (438) und die Tangentenkonstruktion wird wie bei dieser ausgeführt. Der Mittelpunkt 0 von FF, ist der Mittelpunkt der Lemniskate; m/= FF, und n“ (L m) sind Symmetrielinien, die Geraden t“ und t“ die Tangenten im Doppelpunkte 0/(z. tm/= Amt,“ =45). Nun ziehen wir einen Kreis durch Po", der m' in O' berührt, derselbe möge F„P“ in R und FP“ in S schneiden. Dann ist: FP-FP" =(F0) = FP". FR und FP-FP“ = (F0)“ = FP-F„S, also: PR = PS. Deshalb halbiert die Kreistangente in Po den Nebenwinkel von z. RPS, d. h. Z. FPF, und da OP“ mit den Kreistangenten gleiche Winkel einschließt, gilt die Beziehung: c = " (e, – e) – 8, = (e,– e), wenn wir: A PO/F =a, z. FPO/ = 8, und Z O/PP, = -, setzen. Die Tangente der Lemniskate in Po geht durch T' (438), wenn QP" = PF, TQL F„P“ und TF L F„P“ ist. In dem Kreisviereck FP'91' ist aber z. FP"T" z. FQT = R – , (FQ| OP), daraus folgt: z. OPT" = R– 8, + 8, = R – 2a. Ferner schließt O/P“ mit einer Tangente im Doppelpunkt den Winkel (+ R – a) ein, dieser ist also in der That die Hälfte von Z O'PoT".

Durch die beiden zu einander rechtwinkligen Tangenten im Doppelpunkte, die soeben dargelegte Eigenschaft der Tangenten und einen beliebigen Punkt ist die Kurve völlig bestimmt, da ja hierdurch eine stetige Folge von Kurvenpunkten gegeben ist. Die Projektionen der Haupttangentenkurven des Konoides sind demnach wirklich Lemniskaten.

736. Die Konstruktion von Tangentialebenen und Berührungspunkten des Konoides lehrt uns Fig. 469. Im Punkte Z von f erhält man die Tangentialebene, indem man im Mittelpunkte Q/ von

Fig. 470.

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