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543. Zieht man durch den Mittelpunkt M eines Hyperboloides eine Parallele i zu einer Erzeugenden e und läßt sie um die Achse a rotieren, so entsteht ein Rotationskegel, man nennt ihn den Asymptotenkegel des Hyperboloides. Die Erzeugenden des Hyperboloides sind paarweise parallel zu den Mantellinien des Asymptotenkegels; die drei Parallelen liegen in der nämlichen Ebene, die den Kegel längs der bezüglichen Mantellinie berührt (Fig346). In der That muß JJ + E„E/+ H„H" und M'J = M"J" sein; die letzteren Strecken sind aber die Radien des ersten und dritten Spurkreises (c, und c) des Asymptotenkegels und es wird c,= c' von EH und EH, in J, resp. J" berührt. Die Mantellinien des Asymptotenkegels schneiden das Hyperboloid nicht im Endlichen, so daß der Asymptotenkegel von dem Hyperboloid vollständig umschlossen wird. Denn ihre Parallelkreise in einer beliebigen, zur Achse normalen Ebene können nicht zusammenfallen, wie zwei parallele Erzeugende e und i zeigen, vielmehr sind ihre Radien M/E und M'J = /(ME) –(WW).

Man erkennt hieraus, daß die beiden in der nämlichen Ebene liegenden Parallelkreise von Hyperboloid und Asymptotenkegel einander um so näher rücken, je weiter diese Ebene sich - von der des Kehlkreises entfernt.

544. Die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Rotationshyperboloide und seinem Asymptotenkegel zu finden. Wir benutzen wieder zwei parallele Projektionsebenen TI, und TI, die das Hyperboloid in zwei kongruenten Kreisenc, und c, schneiden, so daß sich c, und c' decken. Ihr gemeinsamer Mittelpunkt M" ist zugleich Mittelpunkt von k“, der Fig. 347. Projektion des Kehlkreises k(Fig. 347). Die schneidende Gerade sei g, sie sei gegeben durch ihre Spurpunkte G, und G, ihre Projektion g' auf TT, verbindet G mit G. Wir verzeichnen nun eine Erzeugende e des Hyperboloides, deren Projektion e | g ist. Lassen wir die Erzeugende e um die Achse des Hyperboloides rotieren, so wird sie in bestimmten Lagen die Gerade g schneiden, dabei vereinigen sich im Schnittpunkte ein Punkt Q von e mit einem Punkte P von g. Diese Punkte P. und Q, resp. P", und Q, – es giebt, wie sich zeigt, immer zwei Lösungen, die wir durch Indices unterscheiden – lassen sich indes durch eine einfache Überlegung gewinnen. Damit Q, auf e durch Drehung um die Achse mit P, auf g zur Deckung gebracht werden kann, muß M'Q' = M'P' und Q. "E: Q, E = PG, : PG" sein. Es folgt das letztere daraus, daß die Spurlinien der Ebene zweier sich schneidenden Geraden in TI, und TT, parallel sind, so daß ähnliche Dreiecke entstehen. Schneiden sich nun E„G, und E„G' in S, so muß P/Q“ durch S gehen, damit jene Proportion erfüllt sei. Ferner ist Q/P, die Sehne eines Kreises mit dem Mittelpunkte M"; das von M" auf sie gefällte Lot trifft sie in ihrem Mittelpunkte R. Demnach erscheint R, als Schnittpunkt eines Kreises mit dem Durchmesser M’S und einer Geraden s, die von e” und g' gleich weit entfernt ist. SR, und SR, treffen dann g' in den gesuchten Punkten P" und P%. Ganz in der gleichen Weise bestimmen sich die Schnittpunkte A, und A., von g mit dem Asymptotenkegel. Man zeichne die Mantellinie i, deren Projektion | g ist, und ihre Spurpunkte J, J. (JE, L e-, JE' L. e), bestimme dann T'= / G. X / G„, schlage über TM" als Durchmesser einen Kreis und ziehe die Gerade t in gleichem Abstande von i" und g'; Gerade und Kreis treffen sich in den Punkten C und C+, deren Verbindungslinien mit T' auf g' die Projektionen A, und A, der gesuchten Punkte ausschneiden. Sehen wir nun g als Affinitätsachse und E, J, als affine Punkte zweier affinen Systeme an (EJ L g/), so sind auch E, J. und folglich S, T' affin (ST" L g/). Endlich sind auch die Mittelpunkte R, und C, der Sehnen R„R, resp. CC, affin; denn aus der Affinität von e” und i“ ergiebt sich die Affinität von s und t und außerdem ist R„C, Lg, da die Mittelpunkte N und O der beiden Hilfskreise auf einer Normalen zu g liegen. Die affinen Geraden R„S und CT" treffen aber die Affinitätsachseg" in dem nämlichen Punkte P", so daß P„P“ = P„P" und zugleich P„A“ = P„A“ wird. Daraus folgt die Gleichheit von A,"P" und AP" und natürlich auch von AP und AP, was sich in den Sätzen ausspricht: Die beiden Strecken auf einer beliebigen Geraden, die einerseits von dem Rotationshyperboloid, andererseits von seinem Asymptotenkegel begrenzt werden, sind einander gleich. Oder: Rotationshyperboloid und Asymptotenkegel schneiden aus einer beliebigen Geraden Sehnen aus, deren Mittelpunkte zusammenfallen."

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545. Die Schnittkurve des Rotationshyperboloides mit einer Ebene ist zu untersuchen und zu zeichnen. Die soeben bewiesenen Sätze lassen uns weiter schließen, daß eine beliebige Ebene E das Hyperboloid A und seinen Asymptotenkegel K in ähnlichen und ähnlich liegenden, koncentrischen Kegelschnitten schneiden. Denn die Mittelpunkte eines Systems paralleler Sehnen der einen Kurve sind zugleich die Mittelpunkte der mit ihnen koincidierenden Sehnen der anderen; da aber die eine Kurve ein Kegelschnitt ist und je zwei konjugierte Durchmesser desselben auch konjugierte Durchmesser der anderen Kurve sind, so folgt die Richtigkeit unserer Behauptung (vergl. 555)

Die Mittelpunkte paralleler Schnitte eines Kegels liegen auf einer Geraden durch seine Spitze; in gleicher Weise liegen die Mittelpunkte paralleler Schnitte eines Hyperboloides auf einer Geraden durch den Mittelpunkt M seines Kehlkreises; diesen nennen wir kurz Mittelpunkt des Hyperboloides und die Geraden durch ihn seine Durchmesser. Durchmesser und Diametralebene, die in Bezug auf den Asymptotenkegel konjugiert sind, sind es auch in Bezug auf das Hyperboloid. Man bezeichnet nämlich jede Gerade durch die Spitze des Asymptotenkegels als Durchmesser und jede Ebene durch sie als Diametralebene und nennt Durchmesser und Diametralebene konjugiert in Bezug auf den Kegel resp. auf das Hyperboloid, wenn diese die zu dem Durchmesser parallelen Sehnen halbiert (vergl. 486). Aus dieser Definition erschließt man den voranstehenden Satz unmittelbar.

Da zwei parallele Ebenen den Kegel in ähnlichen und ähnlich liegenden Kurven schneiden, so schneiden sie auch das Hyperboloid in ähnlichen und ähnlich liegenden Kegelschnitten, d. h. je zwei parallele Durchmesser derselben stehen in dem nämlichen Verhältnisse. Verbindet man also die Endpunkte je zweier paralleler, gleichgerichteter Halbmesser, so treffen diese Verbindungslinien die Gerade durch die Mittelpunkte in dem nämlichen Punkte; Gleiches gilt, wenn man die Endpunkte paralleler, entgegengesetzt gerichteter Halbmesser verbindet. Durch je zwei parallele Schnitte des Hyperboloides kann man also zwei Kegel legen, die beide Schnitte enthalten und deren Spitzen auf dem Durchmesser durch die Mittelpunkte der Schnitte liegen. Rücken die beiden Parallelebenen einander unendlich nahe, so geht der eine Kegel in eine Ebene, der andere in einen Tangentialkegel über. Die Tangenten aus einem beliebigen Punkte an ein Hyperboloid gelegt berühren dasselbe in den Punkten eines Kegelschnittes; der Durchmesser durch jenen Punkt enthält seinen Mittelpunkt. Die hier dargelegten Verhältnisse zeigen, daß die Meridiankurven des Hyperboloides Hyperbeln sind, deren Nebenachsen in die Rotationsachse fallen. 546. Bei der Konstruktion der Schnittkurve s des Hyperboloides A mit einer Ebene E gehen wir wieder von zwei parallelen Projektionsebenen TT, und TT, aus, die E in "We den parallelen Spuren - e, e, und A in den Spurkreisen c, c, schneiden (c, = c) (Fig.348). Um einzelne Punkte des Kegelschnittes s zu zeichnen, können wir die Durchstoßpunkte von E mit den einzelnen Erzeugenden aufsuchen. Sind G, G., die Spurpunkte einer Erzeugenden und ziehen wir durch sie in den Ebenen TI, TT, irgendwie zwei Parallelen, so treffen diese e, resp. e. Fig. 348. in Punkten Q% resp. Q, und P= G„G, X Q, Q, ist der gesuchte Punkt; denn G„Q, und G„Q, bilden die erste und dritte Spur einer durch die Erzeugende gelegten Hilfsebene. Die Achse von s liegt offenbar in der Ebene, die senkrecht zu E durch die Rotationsachse gelegt werden kann, da die Punkte von s paarweise symmetrisch zu dieser Ebene sind. Zieht man also durch M“ eine senkrechte y/ zu e, so ist Y = y/x e, der erste und K" – y/ >x e, die Projektion des dritten Spurpunktes der Achse y von s; natürlich ist auch y/ eine Achse von s. Die Endpunkte dieser Achse und den Mittelpunkt kann man nach 544 bestimmen; in dem in der Figur verzeichneten Falle sind die Endpunkte imaginär, während sich der Mittelpunkt unter Vereinfachung des Verfahrens von 544 folgendermaßen ergiebt. Man ziehe an k“ eine Tangente h |y, verbinde die Schnittpunkte H, H' von h' und c, , c' mit K. und K.' resp, fälle von S = II X4 x H "P" ein Lot auf h', dessen Fußpunkt T" sei; die Verbindungslinie von S mit dem Mittelpunkte der Strecke TM" trifft dann y in dem gesuchten Mittelpunkte O' von s. Die zweite Achse von s ist parallel zu e, ihre Endpunkte A, B liegen auf dem Parallelkreise, dessen Ebene durch O geht. Diese Ebene teilt aber WM, und die Erzeugende H, H. in dem nämlichen Verhältnisse und der Teilpunkt R der letzteren gehört dem gesuchten Parallelkreise an (S0/ x h' = R, AB II e, , M'A' = M'B' = M'R).

* Dieser Satz gilt auch noch, wenn die Schnittpunkte mit dem Hyperboloid oder dem Kegel, oder mit beiden imaginär werden, denn die Mittelpunkte bleiben dann immer noch reell; nur kann man hier unter Sehne keine reell begrenzte Strecke mehr verstehen.

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In gleicher Weise kann man die Punkte von s auf einem beliebigen Parallelkreise finden. Man schlage um M“ einen Kreis i – er stellt die Projektionen zweier Parallelkreise dar – schneide i mit h' in C und D und ziehe durch die Punkte SC x y“ und SD xy Parallelen zu e, so tragen diese die vier Schnittpunkte von s' und i. Hiernach liegt T' auf s. Analog sind auch die Berührungspunkte von s‘ und k“ bestimmt.

Die Kurve s ist im vorliegenden Falle eine Hyperbel, ihre Asymptoten sind den beiden zu E parallelen Mantellinien des Asymptotenkegels parallel. Die zwischen TI, und TT, liegenden Stücke seiner Mantellinien sind alle gleich lang, nämlich gleich H„H, und ihre Projektionen werden gleich H„H"; demnach sind auch die zwischen e, und es liegenden Stücke der Asymptoten von so gleich H„H“, diese treffen also e, in den beiden Punkten, die von einem Kreise um 0" mit dem Radius H. R“ ausgeschnitten werden. Will man die wahre Gestalt der Hyperbel s zeichnen, so muß man den Abstand der Ebenen TI, TT, kennen.

547. Auf einem Rotationshyperboloid sei Eigenschatten und Schlagschatten bei paralleler Beleuchtung zu bestimmen (Fig. 349). Das Hyperboloid mag wieder in der früheren Weise gegeben sein; L. und L., seien erster und dritter Spurpunkt des Lichtstrahles l durch M. Die Lichtgrenze u auf dem Hyperboloid ist eine ebene Kurve – in der Figur ist es eine Hyperbel – deren Ebene den Asymptotenkegel in zwei Mantellinien schneidet, die auf diesen ebenfalls die Lichtgrenze bilden. Legt man aber von L,

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