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gehörige wahre Umriß ist nach 728 die Striktionslinie u der Regelfläche. In der Figur sind die Projektionen u' und u" eingezeichnet; die Bestimmung von Punkten und Tangenten dieser Kurven findet sich weiter unten. Nach 724 berührt u die vier Torsallinien der Fläche in den zugehörigen Kuspidalpunkten. Zwei dieser Torsallinien gehen durch die Punkte B und B1, die beiden anderen durch die Punkte L und L1 von k. Die letzteren sind die Berührungspunkte der beiden Tangentialebenen, die man durch g an k legen kann. Die Tangenten von k in diesen Punkten gehen also durch den zweiten Spurpunkt J von g, d. h. Z und Z1 werden auf k von dem Kreise mit dem Durchmesser JM ausgeschnitten. In der Figur ist der Mittelpunkt Z dieses Kreises gezeichnet, da J unerreichbar ist; er liegt auf einer Senkrechten zur -Achse durch die Mitte von BJ und auf einer Parallelen zu g" durch die Mitte von MA” (MA" || x, A auf g). u" besteht hiernach aus zwei Ästen; der eine beginnt in C und berührt BH" in H", seine Fortsetzung über H" hinaus hat eine zu a parallele Asymptote durch L1, seine Fortsetzung über C hinaus hat eine zu x parallele Asymptote durch L. Der andere Ast beginnt in C1 und berührt B1G" in G", seine Fortsetzungen nähern sich asymptotisch den nämlichen Geraden wie beim ersten Ast. Die beiden Äste von u berühren CA in C und B'H' in H' resp. CA' in C und B1G in G. Die ersten Projektionen der beiden Erzeugenden durch I und I1 sind gemeinsame Asymptoten der Äste von u'.

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Um die Tangentialebenen in den Punkten einer Erzeugenden e zu konstruieren, benutzen wir ein Paraboloid, dessen eine Schar zu П, parallel ist und dessen andere Schar die Geraden g und ET enthält, wo ET die Tangente von k im Punkte E=kxe ist. Das Paraboloid berührt unsere Fläche längs e, hat also in den Punkten von e die nämlichen Tangentialebenen wie diese. Die Tangentialebene in einem Punkte P von e enthält sonach die durch ihn laufende zweite Erzeugende des Paraboloides. Alle Erzeugenden der zweiten Schar projizieren sich aber im Aufriß als Geraden eines Büschels mit dem Scheitel K=g" × ET; ihre ersten Spurpunkte liegen auf GT (1 = x X ET), denn GT ist eine Erzeugende der ersten Schar. Ist also P (P', P") gegeben, so enthält seine Tangentialebene die Gerade PS mit dem ersten Spurpunkte S (S" × P"K, S"Sx, S = GTX S'S); ihre erste Spur geht durch S parallel zu e. Ist umgekehrt eine Ebene durch e gegeben, so schneide man ihre erste Spur mit GT in S, suche S" auf x und schneide S'K mit e" in P", dann ist P der zugehörige Berührungspunkt. In der Figur

= x

ist die Vertikalebene durch e benutzt, so daß S= e' × GT und P ein Punkt des wahren Umrisses u der Striktionslinie wird.

Alle Haupttangenten unseres Konoides in den Punkten einer Erzeugenden e bilden die zweite Schar eines oskulierenden Paraboloides, dessen erste Schar aus Parallelen zu П1 besteht. Dieses Paraboloid ist bestimmt durch zwei Erzeugende der zweiten Schar, nämlich die Gerade g und die Haupttangente n in Ee x k, die alsbald konstruiert werden soll. Da von den Erzeugenden der ersten Schar eine auf П2 senkrecht steht, so projizieren sich alle Erzeugenden der zweiten Schar im Aufriß als ein Büschel mit dem Scheitel F = g′′ × n", und es ist PF der Aufriß der Haupttangente in P.

Die Tangente von u in P teilt aber zusammen mit der Vertikalen durch P den Winkel der Geraden e und der Haupttangente harmonisch, vergl. 528 u. 730. Zeichnet man also irgend eine vertikale Strecke, deren Endpunkte auf e" und FP" liegen, so geht die Tangente von u" in P" durch den Mittelpunkt dieser Strecke (sie ist in der Figur strichpunktiert).

Die Tangentialebenen in E, D und oo haben die Geraden ET, EJ und EX(|| x) zu ihren zweiten Spuren, und diese schneiden k in den Punkten E, Y und X. Diese projizieren wir aus einem Punkte von k, etwa C, auf die Gerade ET und erhalten die Punkte E, Y und X. Dann ist die Reihe E, D, oo, . . . auf e perspektiv zu der Reihe E, Y, X ... auf ET, und es schneiden sich die Gerade DY und die Parallele zu e durch X in einem Punkte Q von n (729). (729). In der Figur ist die Konstruktion im Aufriß durchgeführt und Q" als Schnittpunkt von D'Y mit der Parallelen zu e′′ durch gefunden (n" = EQ′′). Lotet man die Punkte Y und X X auf die x-Achse, verbindet den ersteren mit D' und zieht durch den letzteren eine Parallele zu e', so schneiden sich diese Linien im Punkte von n'. In der Figur ist N"n" xx und daraus der erste Spurpunkt N von n bestimmt worden (N"N_x, TN || e'). Will man im Punkte C die Haupttangente zeichnen, so hat man zu C, A und die entsprechenden Punkte von k zu suchen, sie liegen in C, kx CJ und C. Diese Punkte sind nun aus einem beliebigen Punkte von k auf die Tangente von k im Punkte C zu projizieren. Als Centrum dieser Projektion können wir aber nicht mehr C nehmen, sondern irgend einen anderen Punkt, etwa k× CJ. Die Konstruktion ist in der Zeichnung nicht durchgeführt, es sind aber in C und C1 die Aufrisse der bezüglichen Haupttangenten angegeben (als gestrichelte Linien). Ferner ist noch die Tangente

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von u" in C eingezeichnet (als strichpunktierte Linie); sie geht durch den Mittelpunkt einer beliebigen vertikalen Strecke, deren Endpunkte auf CA" und dem Aufriß der Haupttangente des Punktes C liegen.

732. Auf die Konstruktion der Schnittkurve des Konoides mit einer beliebigen Ebene braucht hier nicht näher eingegangen zu werden, da nach dem Vorausgehenden die Bestimmung ihrer Punkte auf den einzelnen Erzeugenden und der zugehörigen Tangenten auf der Hand liegt. Es soll hier nur gezeigt werden, daß auf dem schiefen Konoid ein System von Kegelschnitten. liegt, dem der Leitkreis k angehört. Zieht man nämlich in der Ebene des Leit

kreises keine Parallele i
zur Richtebene, welche
die Doppelgerade g
trifft (sie geht also durch
den zweiten Spurpunkt
J von g parallel zur
x-Achse), so schneidet
jede Ebene durch i das
Konoid in einem Kegel-
schnitte. Zum Beweise
diene Fig. 468,
der die Buchstaben
die gleiche Bedeutung
haben, wie in Fig. 467.
P ist ein beliebiger
Punkt des Konoides;
die Ebene iP schneidet

von C1.

in

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die wir näher untersuchen

=

dasselbe in einer Kurve e durch P, wollen. Dabei bedienen wir uns eines Kegels mit dem Basiskreise k und dem Scheitel A auf g (MA" || i); die Ebene iP schneidet ihn in einem Kegelschnitte c, und seine Mantellinie AE im Punkte P1 Offenbar liegt JP in den beiden Ebenen iP und gP; in der letzteren liegen aber ED und EA, folglich ist P1 JP × EA. Durch 4" als Centrum, i als Achse und zwei entsprechende Punkte E und P" ist eine perspektive Beziehung definiert, in der dem Kreise k der Kegelschnitt c," entspricht. Zu jedem Punkte des ersten Systems, dem k angehört, ergiebt sich ein Punkt des zweiten Systems, dem c" angehört. Entsprechen sich z. B. F und Q1", so schneiden sich EF und P1"Q" auf i und FQ," geht durch A". Zu je zwei entsprechenden Punkten dieser beiden Systeme läßt sich.

nun ein Punkt eines dritten Systems konstruieren, indem man durch den Punkt des ersten Systems eine Parallele zu i, durch den des zweiten Systems eine Gerade durch J zieht. So ergiebt sich P" aus E und P" (EP" ||i, P ̧"P" durch J), ebenso Q" aus Fund Q," (FQ" || i, Q,"Q" durch J).

1

Zeigen wir nun noch, daß das zweite und dritte System perspektiv sind, so muß die Kurve c" des dritten Systems, d. h. die Projektion der Schnittkurve c des Konoides und der Ebene Pi, ein Kegelschnitt sein, da sie zu dem Kegelschnitte c," perspektiv ist. Beschreibt aber E auf einer beliebigen Geraden EF eine Punktreihe, so beschreibt der entsprechende Punkt P" des zweiten Systems eine dazu projektive Punktreihe auf P1"Q1". Die Punkte der ersten Reihe verbinden wir mit dem unendlich fernen Punkte von i, die der zweiten Reihe mit J und erhalten so zwei projektive Strahlbüschel. Da aber in diesen Büscheln i sich selbst entspricht, so sind sie perspektiv und ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich in Punkten einer Geraden. Beschreibt also E eine Punktreihe EF, so beschreiben sowohl P1", als auch P" dazu projektive Punktreihen, nämlich P"Q" und P"Q". Das zweite und dritte System sind somit perspektiv, J ist das Centrum, MA" die Achse dieser Perspektive; denn die Punkte von MA" entsprechen sich selbst in beiden Systemen (P"Q"×P"Q" liegt auf MA"). Damit ist bewiesen, daß c' und folglich auch ein Kegelschnitt ist. Zur Konstruktion von c" können die eben geschilderten perspektiven Beziehungen benutzt werden.

733. Das Plücker'sche Konoid,1 seine Tangentialebenen, das oskulierende Paraboloid.

Sind e und e, zwei beliebige Geraden und ist a ihre gemeinsame Normale, dann gehören alle Geraden, die a und je eine gemeinsame Sekante von e und e, senkrecht schneiden, dem Plücker'schen Konoid an. Wir wählen a vertikal, dann sind die Erzeugenden des Konoides horizontal und ihre ersten Projektionen gehen durch den ersten Spurpunkt A von a (e' × e1 = A) Fig. 469. Sind P und P1 beliebige Punkte von e und e,, dann ist die gemeinsame Normale f von a und PP, eine Erzeugende (ƒ' durch A, f' ■ P'P1', Q' = f' × P'P1') und es ist: FE: FE1 = Q'P' : Q'P1' tang fe: tang fe1, wenn E, E1, F die Schnittpunkte von e, e, f mit a sind. Hierdurch ist aber die Lage von f bestimmt. Ändert man die Lagen von P und P1 auf e

=

1 Diese Fläche wurde von Plücker in seiner Theorie der linearen Komplexe behandelt und spielt in der Theorie der Schraubenbewegung eine besondere Rolle.

und e1 so, daß PE: PE, konstant bleibt, so besitzen alle diese Geraden die nämliche Normale f. Man kann ersichtlich alle Erzeugenden des Konoides.

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=

Abstand haben, da offenbar FE: FE
zwei Erzeugende, zwischen denen die
steht, so treffen sie a in dem nämlichen
wir Lme=
▲ me1 = ε und fm
tang fe: tang fe, und GE: GE
Seiten beider Relationen sind aber
also fallen F und G zusammen.

=

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=

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Punkte F= G. Denn setzen. Lng=y, so ist: FE: FE1 tang ge: tang ge1; die rechten gleich tang (7+8): tang (7-8), Sind speziell und t, die beiden Erzeugenden der Fläche, die mit m und n Winkel von 45° einschließen (t), so ist tmnt und ebenso

=

tmnt1,

d. h. durch T t × a und T1 = t1 × a geht nur je eine einzige Erzeugende der Fläche (eigentlich je zwei unendlich nahe). Die Gerade a ist eine Doppelgerade des Konoides und heißt seine Achse, T und T, sind Kuspidalpunkte, t und t1 Torsallinien auf ihm.

Wir sind ursprünglich von den beiden Erzeugenden e und e ausgegangen; ganz die gleiche Rolle können bei der Definition unserer Fläche auch irgend zwei andere Erzeugende spielen, die mit m (oder n) gleiche Winkel bilden. Insbesondere kann man von

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