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bar Punkte und Tangenten der Eigenschattengrenze u anzugeben. Ist l die Lichtstrahlrichtung und wollen wir auf der Erzeugenden DE (D“E, GE') den Punkt von u finden, so legen wir durch DCD“, G) den Lichtstrahl und zeichnen seinen zweiten Spurpunkt L, dann ist EL, die zweite und F"J" die dritte Spurlinie einer Ebene (EL, × y = F, F"J"e), deren Berührungspunkt P auf der Lichtgrenze liegt und wie oben gefunden wird (EK“ tangiert k, K"P"|EL). Die Lichtgrenze berührt nach 724 die vier Torsallinien in ihren Kuspidalpunkten, sie besteht also aus zwei Teilen. Der eine Teil liegt zwischen den Erzeugenden durch B und C, berührt erstere in H und nähert sich der andern asymptotisch; der zweite Teil liegt zwischen den Erzeugenden durch B und C und verhält sich analog. Die Aufrisse u“ beider Teile nähern sich der Geraden y asymptotisch. Um die Tangente der Lichtgrenze u in Po zu finden, suchen wir zunächst die Haupttangente PN in P in der vorher geschilderten Weise (P'M't). Nach 528 wird aber der Winkel zweier Kurven durch P, von denen die eine der Schlagschatten der andern ist, durch die Lichtgrenze und den Lichtstrahl harmonisch geteilt. Nun fällt der Schatten von e auf die Schnittkurve der Fläche mit der durch e gelegten Lichtebene und diese Kurve wird von der Haupttangente berührt. Folglich wird der Winkel der Geraden e und PN durch PO(| 1) und die Tangente PS von zu harmonisch geteilt; auch ihre dritten Spurpunkte auf JF liegen harmonisch. Da aber der Spurpunkt von e unendlich fern ist, so ist N'S' =N"0", wenn O den dritten Spurpunkt von PO und S den der gesuchten Tangente PS bedeutet. Somit ist die Tangente PS“ von u“ gefunden; durch Lotung von S“ auf y als S“ ergiebt sich die Tangente P"S“ von u“. Der Schlagschatten u. der Fläche auf TT, umhüllt die Schatten der Erzeugenden. Das gerade Konoid findet praktische Anwendung als Wölbfläche des Eingangs in einen runden Turm oder in ein Kuppelgewölbe. Seine Richtebene ist dann horizontal, seine Leitlinie vertikal und fällt mit der Achse des Cylinders oder dem vertikalen Durchmesser der Kugel zusammen. Die Wölbfläche kann als Stück eines Kreiskonoides gewählt werden, dessen Leitkreis ungefähr in der Mitte der Wölbfläche liegt; sie wird dann von zwei Cylinder- resp. Kugelschnitten begrenzt, die sich sehr einfach bestimmen lassen. Auch können einfache Leitkurven auf der äußeren Cylinderfläche des Turmes resp. auf der inneren Fläche des Kuppelgewölbes angenommen werden. Ist die Leitkurve der Wölbfläche beim Eingange in den runden Turm eine auf die äußere Cylinder

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fläche aufgewickelte Ellipse, deren eine Achse vertikal steht, oder ein Kreis, so ist auch die auf der inneren Cylinderfläche liegende Kurve der Wölbfläche eine aufgewickelte Ellipse, deren vertikale Achse mit jener von gleicher Länge ist. 731. Das schiefe Kreiskonoid, Schnitte und Tangentialebenen, seine Striktionslinie (Fig. 467). Wir wählen wieder seine Richtebene horizontal und die Ebene des Leitkreises k vertikal; sie sei zugleich Aufrißebene, während die Grundrißebene den Kreis 0Z %

Fig. 467.

im tiefsten Punkte B, berühren mag. Die Leitgerade g Doppelgerade der Fläche – habe eine beliebige Lage; BB, und CC, seien vertikaler und horizontaler Durchmesser von k. In der Figur ist nur das Stück der Fläche zwischen Leitkreis und Doppelgeraden dargestellt. Der Umriß unserer Fläche in TT, besteht aus k, g” und den Projektionen BH“ und B„G“ der Torsallinien BH und B,6 auf ihr. Der scheinbare Umriß unserer Fläche in TI, ist die gemeinsame Hüllkurve der ersten Projektionen aller Erzeugenden; der zu

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gehörige wahre Umriß ist nach 728 die Striktionslinie zu der Regelfläche. In der Figur sind die Projektionen u“ und u“ eingezeichnet; die Bestimmung von Punkten und Tangenten dieser Kurven findet sich weiter unten. Nach 724 berührt u die vier Torsallinien der Fläche in den zugehörigen Kuspidalpunkten. Zwei dieser Torsallinien gehen durch die Punkte B und B, die beiden anderen durch die Punkte L und L, von k. Die letzteren sind die Berührungspunkte der beiden Tangentialebenen, die man durch g an k legen kann. Die Tangenten von k in diesen Punkten gehen also durch den zweiten Spurpunkt J von g, d. h. L und L, werden auf k von dem Kreise mit dem Durchmesser JM ausgeschnitten. In der Figur ist der Mittelpunkt Z dieses Kreises gezeichnet, da J unerreichbar ist: er liegt auf einer Senkrechten zur x-Achse durch die Mitte von BJ" und auf einer Parallelen zug“ durch die Mitte von MA“ (M4", A auf g). u“ besteht hiernach aus zwei Asten; der eine beginnt in C und berührt BH" in H", seine Fortsetzung über H" hinaus hat eine zu x parallele Asymptote durch L, seine Fortsetzung über C hinaus hat eine zu x parallele Asymptote durch L. Der andere Ast beginnt in C und berührt B„G“ in G", seine Fortsetzungen nähern sich asymptotisch den nämlichen Geraden wie beim ersten Ast. Die beiden Äste von zu berühren C4" in C und BH" in H” resp. C'A' in C“ und B, G in G. Die ersten Projektionen der beiden Erzeugenden durch L und L, sind gemeinsame Asymptoten der Äste von u. Um die Tangentialebenen in den Punkten einer Erzeugenden e zu konstruieren, benutzen wir ein Paraboloid, dessen eine Schar zu TT, parallel ist und dessen andere Schar die Geraden g und ET" enthält, wo ET" die Tangente von k im Punkte E = kx e ist. Das Paraboloid berührt unsere Fläche längs e, hat also in den Punkten von e die nämlichen Tangentialebenen wie diese. Die Tangentialebene in einem Punkte P von e enthält sonach die durch ihn laufende zweite Erzeugende des Paraboloides. Alle Erzeugenden der zweiten Schar projizieren sich aber im Aufriß als Geraden eines Büschels mit dem Scheitel K = g” x ET; ihre ersten Spurpunkte liegen auf GT(T = 1 x ET), denn GT" ist eine Erzeugende der ersten Schar. Ist also P (P“, P”) gegeben, so enthält seine Tangentialebene die Gerade PS mit dem ersten Spurpunkte S (S" = 2 × P"K, S'S L x, S = GTXS"S); ihre erste Spur geht durch Sparallel zu e. Ist umgekehrt eine Ebene durch e gegeben, so schneide man ihre erste Spur mit GT" in S, suche S“ auf x und schneide S"K mit e” in Po“, dann ist Po der zugehörige Berührungspunkt. In der Figur ist die Vertikalebene durch e benutzt, so daß S = e’ X GT" und Po ein Punkt des wahren Umrisses u – der Striktionslinie – wird. Alle Haupttangenten unseres Konoides in den Punkten einer Erzeugenden e bilden die zweite Schar eines oskulierenden Paraboloides, dessen erste Schar aus Parallelen zu TT, besteht. Dieses Paraboloid ist bestimmt durch zwei Erzeugende der zweiten Schar, nämlich die Gerade g und die Haupttangente in in E = e × k, die alsbald konstruiert werden soll. Da von den Erzeugenden der ersten Schar eine auf TT, senkrecht steht, so projizieren sich alle Erzeugenden der zweiten Schar im Aufriß als ein Büschel mit dem Scheitel F = g” x n“, und es ist Po"F" der Aufriß der Haupttangente in P. Die Tangente von u in P teilt aber zusammen mit der Vertikalen durch Po den Winkel der Geraden e und der Haupttangente harmonisch, vergl. 528 u. 730. Zeichnet man also irgend eine vertikale Strecke, deren Endpunkte auf e” und FP" liegen, so geht die Tangente von u“ in P“ durch den Mittelpunkt dieser Strecke (sie ist in der Figur strichpunktiert). Die Tangentialebenen in E, D und oo haben die Geraden ET", EJ und EX(| x) zu ihren zweiten Spuren, und diese schneiden k in den Punkten E, Y und X. Diese projizieren wir aus einem Punkte von k, etwa C, auf die Gerade ET" und erhalten die Punkte E, Y- und X4. Dann ist die Reihe E, D, oo, . . . auf e perspektiv zu der Reihe E, Y., X, . . . auf ET", und es schneiden sich die Gerade DX", und die Parallele zu e durch X, in einem Punkte Q von n (729). In der Figur ist die Konstruktion im Aufriß durchgeführt und Q“ als Schnittpunkt von D"X", mit der Parallelen zu e” durch X. gefunden (n“ = EQ"). Lotet man die Punkte Y. und X, auf die X-Achse, verbindet den ersteren mit D" und zieht durch den letzteren eine Parallele zu e, so schneiden sich diese Linien im Punkte Q" von n. In der Figur ist M" =n“ × x und daraus der erste Spurpunkt N von in bestimmt worden (N"NL, TW |e). Will man im Punkte C die Haupttangente zeichnen, so hat man zu C, A und oo die entsprechenden Punkte von k zu suchen, sie liegen in C, k × CJ und C. Diese Punkte sind nun aus einem beliebigen Punkte von k auf die Tangente von k im Punkte C zu projizieren. Als Centrum dieser Projektion können wir aber nicht mehr C nehmen, sondern irgend einen anderen Punkt, etwa k × CJ. Die Konstruktion ist in der Zeichnung nicht durchgeführt, es sind aber in C und C, die Aufrisse der bezüglichen Haupttangenten angegeben (als gestrichelte Linien). Ferner ist noch die Tangente von u“ in C eingezeichnet (als strichpunktierte Linie); sie geht durch den Mittelpunkt einer beliebigen vertikalen Strecke, deren Endpunkte auf CA“ und dem Aufriß der Haupttangente des Punktes C liegen. 732. Auf die Konstruktion der Schnittkurve des Konoides mit einer beliebigen Ebene braucht hier nicht näher eingegangen zu werden, da nach dem Vorausgehenden die Bestimmung ihrer Punkte auf den einzelnen Erzeugenden und der zugehörigen Tangenten auf der Hand liegt. Es soll hier nur gezeigt werden, daß auf dem schiefen Konoid ein System von Kegelschnitten liegt, dem der Leitkreis k angehört. Zieht man nämlich in der Ebene des Leitkreises k eine Parallele i zur Richtebene, welche die Doppelgerade g trifft (sie geht also durch den zweiten Spurpunkt J von g parallel zur x-Achse), so schneidet jede Ebene durch i das Konoid in einem Kegelschnitte. Zum Beweise diene Fig. 468, in der die Buchstaben die gleiche Bedeutung haben, wie in Fig. 467. P ist ein beliebiger Punkt des Konoides; Fig. 468. die Ebene iPo schneidet dasselbe in einer Kurve c durch Po, die wir näher untersuchen wollen. Dabei bedienen wir uns eines Kegels mit dem Basiskreise k und dem Scheitel A auf g (MA“| ); die Ebene iPo schneidet ihn in einem Kegelschnitte c, und seine Mantellinie AE im Punkte P% von c,. Offenbar liegt JP in den beiden Ebenen iPo und g P; in der letzteren liegen aber ED und EA, folglich ist P% = JP × EA. Durch A“ als Centrum, i als Achse und zwei entsprechende Punkte E und P“ ist eine perspektive Beziehung definiert, in der dem Kreise k der Kegelschnitt c,“ entspricht. Zu jedem Punkte des ersten Systems, dem k angehört, ergiebt sich ein Punkt des zweiten Systems, dem c“ angehört. Entsprechen sich z. B. Fo und Q“, so schneiden sich EF und Po"Q“ auf i und FQ“ geht durch A“. Zu je zwei entsprechenden Punkten dieser beiden Systeme läßt sich

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