Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

das die Regelfläche längs der betreffenden Erzeugenden berührt; jene Ebene berührt beide Flächen in dem nämlichen Punkte. Führt man das Paraboloid ein, welches das Konoid längs einer Erzeugenden e oskuliert, so gehen die scheinbaren Umrisse beider Flächen durch den nämlichen Punkt von e und berühren sich daselbst; auch ihre Lichtgrenzen berühren sich in einem Punkt von e.

729. Das gerade Kreiskonoid, seine Tangentialebenen, das oskulierende Paraboloid (Fig. 466). Wir nehmen seine

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

Richtebene horizontal, seine Leitgerade g

eine Doppelgerade der Fläche also vertikal und auch die Ebene seines Leitkreises k möge vertikal gestellt sein. Diese machen wir zur Aufriẞebene П2, g" möge k in A und A, schneiden, B und B, seien die Punkte von k mit horizontaler, C und C1 die mit vertikaler Tangente. Die

27

3

-Achse möge k in B, berühren; außerdem benutzen wir noch eine Horizontalebene П, durch den Mittelpunkt M von k. Das Konoid soll nicht in seiner unendlichen Ausdehnung, sondern es soll nur sein zwischen g und k liegender Teil dargestellt werden. Die Erzeugenden durch C und C, sind Torsallinien der Fläche; längs derselben wird sie von Vertikalebenen berührt, also gehören GC' und GC dem Umriß in П, an (G erster Spurpunkt von g). Ebenso sind die Erzeugenden durch B und B1 Torsallinien; längs derselben wird die Fläche von Horizontalebenen berührt, also gehören BH" und BG" dem Umriß in П2 an (H" = g′′ × BH", BH" || x).

2

Die Parallelebenen zu П, schneiden das Konoid in Ellipsen, deren Aufrisse zu k affin sind, wobei g" die Affinitätsachse bildet. Ist nämlich d, die erste Spur einer solchen Ebene, s ihre Schnittkurve, und trifft eine beliebige Erzeugende e die Kurven k, s und g bezüglich in den Punkten E, P und D (D' = G, ED''|| x, P'=d1 × GE'), so ist P"D": ED" P'G:EG eine konstante, von der Wahl der Erzeugenden unabhängige Größe, nämlich gleich dem Verhältniß der Abstände der Parallelen d1 und x von G. Das beweist aber das Gesagte; zugleich folgt daraus, daß die Tangenten von k in E und von s" in P" sich in einem Punkte K" von g' schneiden.

=

2

π3,

3

Die Erzeugende durch P und die Tangente von s in P liegen in der Tangentialebene von P, ihre Spurlinie JF in П, ist parallel zu E'G und geht durch den in ПT, liegenden Spurpunkt J der Tangente von s (y = π2 × П3, J'' = K"P" × y, J'F' || GE'). Man kann die Tangente von s in P auch durch folgende Überlegung gewinnen. Alle horizontalen Geraden, die g und die im Punkte E an den Kreis k gelegte Tangente treffen, liegen auf einem Paraboloide, das die Regelfläche längs der Erzeugenden DE berührt; zu diesen horizontalen Geraden gehört auch die in K" auf П, senkrechte Gerade. Die andere Schar von Erzeugenden des Paraboloides sind zu П1⁄2 parallel, zu ihnen gehört auch die Tangente von s in P; ihre Aufrißprojektion muß folglich durch K" gehen.

Ist umgekehrt eine Ebene durch die Erzeugende DE gegeben und soll ihr Berührungspunkt gefunden werden, so suche man ihre Spurlinien in П2 und П, etwa EF und J'F' || GE', schneide die Tangente im Punkte E von k mit g′′ in K′′ und ziehe K"P" || EF, dann ist P" der Aufriß des gesuchten Punktes.

Das die Regelfläche längs e oskulierende Paraboloid hat ebenfalls eine Schar horizontaler Erzeugenden, die andere Schar wird von den Haupttangenten in den Punkten von e gebildet. Zu diesen gehört die Gerade g, deshalb sind die ersten Projektionen

jener Haupttangenten parallel und es genügt die Bestimmung der Haupttangente im Punkte E von k. Sie liegt in der zugehörigen Tangentialebene T, deren zweite Spur die Tangente ET von k ist (T = ET × y) und deren dritte Spur TU durch T parallel zu e läuft (T′ auf x, T'U' || e'). Wir gelangen nun zur Haupttangente t in E durch folgenden Grenzprozeß. Der Büschel der Ebenen durch e ist projektiv zur Reihe ihrer Berührungspunkte auf e (722) und zu dem Büschel ihrer zweiten Spurlinien, also auch zu der Reihe ihrer Schnittpunkte mit k (323). Zieht man in einer Ebene Σ jenes Büschels die Verbindungslinie v ihres Berührungspunktes und ihres Schnittpunktes mit k, so berührt sie die Fläche in ersterem und schneidet sie in letzterem. Dreht sich Σ um e bis sie in die Lage T kommt, so bewegt sich v derart, daß ihr Berührungs- und ihr Schnittpunkt gleichzeitig nach Erücken; v geht also in die Haupttangente t von E über. Die Geraden v verbinden aber entsprechende Punkte der projektiven Punktreihen auf e und k. Projiziert man nun die auf k liegende Punktreihe aus einem beliebigen Punkte von k auf ET, so ist auch die Punktreihe auf ET projektiv zu der Reihe auf e; diese Reihen sind, sogar perspektiv, da ihr gemeinsamer Punkt E sich selbst entspricht. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte der Reihen auf e und ET laufen somit alle durch den nämlichen Punkt, er liegt auf der Haupttangente t. Die Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von e und ET fällt nämlich mit der Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von e und k zusammen. Denn der Abstand der entsprechenden Punkte von k und ET wird unendlich klein von der 2. Ordnung, wenn ihre Abstände von E unendlich klein von der 1. Ordnung werden. Gleiches gilt auch für die Projektionen.

Den Punkten D', E und ∞ von e" entsprechen die Punkte X1, E und X von k (EX=e", EX ||g"). Projizieren wir die letzteren aus E, auf ET (EE, Durchmesser von k), so erhalten wir die Punkte TA, E und Y (ET1 = 2ET, EY^ = 2EY, wenn Y = ET × BB1 ist). TAD" und die Parallele zu e" durch Y schneiden sich dann in einem Punkte von t'. Da in der Figur dieser Schnittpunkt zu weit hinausfällt, wurde 7' mit dem Mittelpunkte Q" von D'E verbunden und diese Gerade mit der Parallelen zu e" durch Y in V" geschnitten. EV"t" ist der Aufriß der Haupttangente t; ihr Grundriß ist t = E'V', wo V' der Schnittpunkt von 7'Q' mit der Parallelen zu e durch B1 ist (Q'GQ'E'). In der Figur ist noch der dritte Spurpunkt t : U von eingetragen (U" = txy, U'ť × TU', T'U' || é', U'U′ 1 x). 730. Eigenschatten beim geraden Kreiskonoid. Die vorausgehenden Darlegungen setzen uns in den Stand, jetzt unmittel

ť

1

=

[ocr errors]

bar Punkte und Tangenten der Eigenschattengrenze u anzugeben. Ist die Lichtstrahlrichtung und wollen wir auf der Erzeugenden DE (D'E, GE') den Punkt von u finden, so legen wir durch D(D", G) den Lichtstrahl und zeichnen seinen zweiten Spurpunkt L2, dann ist EL2 die zweite und F'J' die dritte Spurlinie einer Ebene (EL2 × y = F, F'J' || e'), deren Berührungspunkt P auf der Lichtgrenze liegt und wie oben gefunden wird (EK" tangiert k, K"P" || EL2). Die Lichtgrenze berührt nach 724 die vier Torsallinien in ihren Kuspidalpunkten, sie besteht also aus zwei Teilen. Der eine Teil liegt zwischen den Erzeugenden durch B und C, berührt erstere in H und nähert sich der andern asymptotisch; der zweite Teil liegt zwischen den Erzeugenden durch B, und C, und verhält sich analog. Die Aufrisse u" beider Teile nähern sich der Geraden y asymptotisch.

Um die Tangente der Lichtgrenze u in P zu finden, suchen wir zunächst die Haupttangente PN in P in der vorher geschilderten Weise (P'N' || t). Nach 528 wird aber der Winkel zweier Kurven durch P, von denen die eine der Schlagschatten der andern ist, durch die Lichtgrenze und den Lichtstrahl harmonisch geteilt. Nun fällt der Schatten von e auf die Schnittkurve der Fläche mit der durch e gelegten Lichtebene und diese Kurve wird von der Haupttangente berührt. Folglich wird der Winkel der Geraden e und PN durch PO(|| 1) und die Tangente PS von u harmonisch geteilt; auch ihre dritten Spurpunkte auf JF liegen harmonisch. Da aber der Spurpunkt von e unendlich fern ist, so ist N'S' = N'O', wenn den dritten Spurpunkt von PO und S den der gesuchten Tangente PS bedeutet. Somit ist die Tangente P'S' von u' gefunden; durch Lotung von S' auf y als S" ergiebt sich die Tangente P"S" von u". Der Schlagschatten u der Fläche auf П, umhüllt die Schatten der Erzeugenden.

*

Das gerade Konoid findet praktische Anwendung als Wölbfläche des Eingangs in einen runden Turm oder in ein Kuppelgewölbe. Seine Richtebene ist dann horizontal, seine Leitlinie vertikal und fällt mit der Achse des Cylinders oder dem vertikalen Durchmesser der Kugel zusammen. Die Wölbfläche kann als Stück eines Kreiskonoides gewählt werden, dessen Leitkreis ungefähr in der Mitte der Wölbfläche liegt; sie wird dann von zwei Cylinder- resp. Kugelschnitten begrenzt, die sich sehr einfach bestimmen lassen. Auch können einfache Leitkurven auf der äußeren Cylinderfläche des Turmes resp. auf der inneren Fläche des Kuppelgewölbes angenommen werden. Ist die Leitkurve der Wölbfläche beim Eingange in den runden Turm eine auf die äußere Cylinder

fläche aufgewickelte Ellipse, deren eine Achse vertikal steht, oder ein Kreis, so ist auch die auf der inneren Cylinderfläche liegende Kurve der Wölbfläche eine aufgewickelte Ellipse, deren vertikale Achse mit jener von gleicher Länge ist.

731. Das schiefe Kreiskonoid, Schnitte und Tangentialebenen, seine Striktionslinie (Fig. 467). Wir wählen wieder seine Richtebene horizontal und die Ebene des Leitkreises k vertikal; sie sei zugleich Aufrißebene, während die Grundrißebene den Kreis

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small]

1

G

Fig. 467.

im tiefsten Punkte B1 berühren mag. Die Leitgerade g Doppelgerade der Fläche - habe eine beliebige Lage; BB1 und CC1 seien vertikaler und horizontaler Durchmesser von k. In der Figur ist nur das Stück der Fläche zwischen Leitkreis und Doppelgeraden dargestellt. Der Umriß unserer Fläche in П, besteht aus k, g" und den Projektionen BH" und B1G" der Torsallinien BH und B1G auf ihr. Der scheinbare Umriß unserer Fläche in П, ist die gemeinsame Hüllkurve der ersten Projektionen aller Erzeugenden; der zu

2

« ZurückWeiter »