auf dem nämlichen Kurvenzweige von s und bewegt sich P auf d, so durchlaufen E1 und E2 den ganzen Kurvenzweig. Denn ein Umkehren der Bewegung kann nicht stattfinden, da durch jeden Punkt von s nur eine Erzeugende geht (in den Doppelpunkten kann jeder Zweig für sich betrachtet werden). Durchlaufen hierbei E, und E2 die Kurve in entgegengesetzter Richtung, so giebt es gewisse Lagen, für die e1 und e zusammenfallen. Eine solche Gerade wird Torsallinie der Regelfläche, der zugehörige Punkt auf der Doppelkurve Kuspidalpunkt genannt. Die Fläche wird längs der Torsallinie von der nämlichen Ebene berührt. Das eine der beiden Stücke der Doppelkurve, die in einem Kuspidalpunkt zusammenstoßen, verläuft isoliert, da keine reellen Erzeugenden durch seine Punkte hindurchgehen. Während jede Schnittkurve durch den beliebigen Punkt P von deinen Doppelpunkt besitzt, dessen beide Tangenten in Ebenen liegen, die durch die Tangente von d in P und die Erzeugenden e, resp. e gehen, schneidet jede Ebene durch einen Kuspidalpunkt die Fläche in einer Kurve mit Spitze. Jede Ebene durch eine Torsallinie berührt die Fläche in dem zugehörigen Kuspidalpunkt; denn alle übrigen Punkte der Torsallinie haben eine bestimmte gemeinsame Tangentialebene. Jede Umriẞlinie und jede Eigenschattengrenze geht durch alle Kuspidalpunkte hindurch und berührt in ihnen die zugehörige Torsallinie. Es folgt dieses einfach aus den Definitionen dieser Kurven. Vielfache Kurven der Regelfläche lassen sich ähnlich wie die Doppelkurven untersuchen, wenn man jedesmal nur zwei der Flächenmäntel durch die vielfache Kurve in Betracht zieht.

725. Wir wenden uns jetzt der Erzeugung der Regelflächen zu. Die Zahl der Geraden im Raume ist eine vierfach unendliche. Demnach ist die Zahl der Raumgeraden, welche drei einfache Bedingungen erfüllen, einfach unendlich groß, d. h. diese Geraden sind die Erzeugenden einer Regelfläche. Diese Bedingungen können von der verschiedensten Art sein und es möge einige hier aufgezählt werden.

Eine Regelfläche entsteht, wenn eine Gerade als Erzeugende an drei festen Kurven, den Leitkurven, hingleitet, wobei sie beständig gemeinsame Sekante dieser Kurven bleibt. Legt man aus einem Punkte der ersten Leitkurve Kegelflächen durch die zweite und dritte, so sind ihre gemeinsamen Mantellinien Erzeugende der Regelfläche. Von den drei Leitkurven kann auch eine unendlich. fern gewählt werden, d. h. es können zwei Leitkurven und der Richtungskegel der Regelfläche gegeben sein. Es lassen sich dann

die Erzeugenden als gemeinsame Mantellinien zweier Cylinder gewinnen.

An die Stelle der drei Leitkurven, oder auch einzelner derselben können Leitflächen treten, welche von den Erzeugenden berührt werden sollen. Ist noch eine Leitkurve vorhanden, so kann man von jedem ihrer Punkte die Tangentenkegel an die beiden Leitflächen legen, ihre gemeinsamen Mantellinien bilden dann die Regelfläche. Sind drei Leitflächen gegeben, so wählt man noch eine Gerade g, die auch unendlich fern sein kann, und bestimmt die Regelfläche zu dieser Geraden als Leitlinie und zu zwei von den gegebenen Flächen als Leitflächen. Diese Regelfläche schneidet man mit der dritten Leitfläche, dann sind die Tangenten der Schnittkurve, welche g treffen, Erzeugende der gesuchten Regelfläche. Besitzt nämlich der Punkt P der Schnittkurve eine die Gerade g schneidende Tangente t und wäre diese nicht gleichzeitig Tangente der beiden ersten Leitflächen, so müßten in der Ebene gt zwei gemeinsame benachbarte Tangenten dieser beiden Leitflächen liegen, die von P und dessen Nachbarpunkt ausgingen. Schneidet die Ebene gt beide Leitflächen in gewöhnlichen Kurven, so ist dieses unmöglich, es tritt jedoch ein, wenn sie eine von ihnen berührt. Solche Tangenten der Schnittkurve, die mit g eine Tangentialebene von einer der beiden Leitflächen bestimmen, gehören also der gesuchten Regelfläche nicht an.

Eine Regelfläche entsteht auch, wenn eine Gerade als Erzeugende an zwei festen Leitkurven so hingleitet, daß die von den Leitkurven auf der Geraden begrenzte Strecke konstant bleibt, oder daß die Gerade eine der Leitkurven unter konstantem Winkel schneidet. Im ersten Falle verlaufen die Erzeugenden von einem Punkt der ersten Leitkurve nach denjenigen der zweiten, welche auf einer Kugel mit jenem Punkt als Mittelpunkt und mit der konstanten Strecke als Radius liegen. Im zweiten Falle tritt an die Stelle der Kugel ein Rotationskegel, dessen Spitze ein Punkt der ersten Leitkurve, dessen Achse die zugehörige Tangente ist und dessen Mantellinien den konstanten Winkel mit ihr einschließen.

Eine Regelfläche wird auch von den Normalen gebildet, die auf einer gegebenen Fläche in den Punkten einer gegebenen Kurve errichtet sind; man bezeichnet sie als Normalenfläche.

726. Es mögen hier einige Sätze über algebraische Kurven und Flächen ohne Beweis mitgeteilt werden, deren Beweis in der analytischen Geometrie auf einige Fundamentalsätze der Algebra basiert wird. Sie werden gelegentlich hier und da eine Anwendung

finden, doch wird der ganze Verlauf unserer Untersuchungen auch beim Weglassen dieser wenigen Stellen verständlich bleiben. Die Algebra zeigt, daß eine Gleichung n. Grades n Wurzeln besitzen muß, die teils reell, teils imaginär sein können. Die imaginären Wurzeln sind paarweise konjugiert, d. h. sie bilden 'die Wurzelpaare quadratischer Gleichungen mit reellen Koëffizienten. Zwei Gleichungen vom n. resp. m. Grade mit zwei Veränderlichen besitzen nm, drei Gleichungen vom n., m. und 7. Grade mit drei Veränderlichen besitzen nml gemeinsame Lösungen; die auftretenden imaginären Lösungen sind wieder paarweise konjugiert. Die Anwendung dieser Sätze auf Kurven und Flächen ist es, um die es sich hier handelt. Eine ebene Kurve n. Ordnung ist eine solche, die von jeder Geraden in n Punkten geschnitten wird, die alle oder teilweise imaginär sein können. Die imaginären Schnittpunkte sind paarweise konjugiert und können durch Kegelschnitte (oder Kreise) ausgeschnitten werden, d. h. man kann sie als die imaginären, sich selbst entsprechenden Punkte gleichlaufender involutorischer Punktreihen definieren. Auch bei allen folgenden Definitionen und Sätzen können die auftretenden Punkte oder Geraden paarweise konjugiert imaginär sein, was nicht jedesmal erwähnt werden soll.

Eine ebene Kurve ist von der k. Klasse, wenn man von jedem Punkte k Tangente an sie legen kann.

Eine Fläche ist von der n. Ordnung und der k. Klasse, wenn jeder ebene Schnitt von der n. Ordnung und jeder Tangentenkegel von der k. Klasse ist. Die Fläche schneidet also jede Gerade in n. Punkten und schickt durch jede Gerade k Tangentialebenen.

Eine Raumkurve ist von der n. Ordnung und der k. Klasse, wenn sie mit jeder Ebene n Punkte gemein hat und durch jeden Punkt k Schmiegungsebenen schickt.

Ordnung und Klasse einer Kegelfläche sind zugleich Ordnung und Klasse ihrer Schnittkurven. Zwei ebene Kurven n. und m. Ordnung haben nm Punkte, zwei Kurven k. und i. Klasse haben ki Tangenten gemein.

Zwei Flächen n. und m. Ordnung schneiden sich in einer Raumkurve nm. Ordnung; zwei Flächen k. und i. Klasse werden von einer abwickelbaren Fläche ki. Klasse umhüllt.

Drei Flächen n., m. und l. Ordnung haben nml Punkte gemein; ein Kurve v. Ordnung und eine Fläche 7. Ordnung haben vl Punkte gemein.

Ordnung und Klasse einer Regelfläche sind einander gleich, man bezeichnet diese Zahl als ihren Grad.

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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Schneidet nämlich eine Gerade die Fläche in n Punkten, so geht durch jeden eine Erzeugende derselben, diese Erzeugenden bestimmen. mit jener Geraden n Ebenen, welche die Fläche in den zugehörigen Punkten von g berühren. Andere Tangentialebenen durch g giebt es nicht, da jede eine Erzeugende enthalten muß.

Jede Erzeugende trifft die Doppelkurve in n-2 Punkten; denn eine Ebene durch sie schneidet die Fläche noch in einer Kurve (n-1). Ordnung, und von den n-1 Schnittpunkten der Kurve mit der Erzeugenden stellt einer den Berührungspunkt der Ebene dar, während die übrigen n-2 Punkte der Doppelkurve angehören.

С1

727. Sind die drei Leitkurven c1, c2, c2 einer Regelfläche beziehentlich von der n., n. unḍ n. Ordnung, so ist die Regelfläche von der 2n1nn. Ordnung und die Leitkurven sind vielfache Kurven beziehentlich von der nn., nn. und nn. Ordnung. Dabei ist vorausgesetzt, daß sich die Leitkurven nicht gegenseitig schneiden. Zum Beweis gehen wir von einem Hyperboloid mit den Leitgeraden 91, 92, 93 aus; die Kurve c, schneidet dasselbe in 2c, Punkten, d. h. 91, 92, 93 und 1 haben 2n, gemeinsame Sekanten. Deshalb ist die Regelfläche mit den Leitlinien c1, 92, 93 von der 2n,. Ordnung, denn sie schneidet die beliebige Gerade g1 in 2n, Punkten. Diese Regelfläche schneidet C2 in 2n1n Punkten, so daß c1, c2, J2, Jз zusammen 2n1n, Sekanten aufweisen; deshalb ist die Regelfläche mit den Leitlinien c1, C2, 93 von der 2nn. Ordnung, da sie die beliebige Gerade g2 in 2nn 92 Punkten schneidet. Die letztgenannte Regelfläche trifft c, in 2n12ng C3 Punkten, die vier Kurven c1, C2, C3, 93 haben also 2nnn, gemeinsame Sekanten, so daß die Regelfläche mit den drei gegebenen Leitkurven c1, c2, c ̧ den Grad 2n1n2n besitzt. Durch jeden Punkt von c1 gehen nn, Erzeugende, es sind die gemeinsamen Mantellinien der Kegelflächen durch c2 resp. c, mit dem gemeinsamen Scheitel auf c1.

C1.

་

Haben die Leitkurven C2 und C3 einen Punkt gemein, so ist er der Scheitel eines Kegels n. Ordnung mit c1 als Leitkurve; seine Mantellinien sind ebenfalls gemeinsame Sekanten der drei Kurven C1, C2, C. Sehen wir von dieser Kegelfläche ab, so ist die eigentliche Regelfläche mit den Leitkurven c1, c2, c, nur noch von der Ordnung (2nnnз n); c, ist nur noch vielfache Kurve von der Ordnung (n,n,-1). Man erkennt hieraus die Wirkung jedes gemeinsamen Punktes zweier Leitkurven auf die Reduktion der Ordnung.

Als Beispiel mag das Hyperboloid dienen; drei Kegelschnitte k1, ką, ką, die sich zu zwei und zwei je zweimal schneiden, können

als Leitkurven benutzt werden. Die gemeinsamen Sekanten der drei Kegelschnitte bilden eine Fläche 16. Ordnung, zu der auch sechs Kegelflächen 2. Ordnung gehören, so daß die eigentliche Regelfläche nur noch von der 4. Ordnung ist. Es ist diese Fläche nichts anderes, als das doppelt gezählte Hyperboloid, das einmal von den Erzeugenden der einen Schar und einmal von denen der andern Schar gebildet wird.

Die Regelfläche mit den Leitkurven c1, C2, C3 weist auf jeder dieser Kurven eine Anzahl Kuspidalpunkte auf. Die Kuspidalpunkte auf c, werden durch die abwickelbare Fläche mit den Leitkurven c2 und c, ausgeschnitten. Denn ist P ein solcher Punkt, e die Erzeugende der abwickelbaren Fläche durch ihn und sind Q2 und Q ihre Schnittpunkte mit c2 und c; dann berührt die Tangentialebene längs e die beiden Kurven c, und c, in diesen Punkten. Es giebt also durch P zwei unendlich nahe gemeinsame Sekanten von c, und c,, da die Kegel aus P durch c, resp. c, sich längs e berühren.

Wir wollen nun zur Behandlung einzelner Regelflächen übergehen.

728. Das Konoid, Umriß und Eigenschatten. Besitzt eine Regelfläche außer einer Leitcurve c noch eine Leitgerade g im Endlichen und eine unendlich ferne Leitgerade, so heißt sie Konoid. Die Erzeugenden des Konoides sind die gemeinsamen Sekanten von g und c, die einer bestimmten Ebene, der Richte bene parallel sind; c ist eine einfache Kurve der Fläche. An die Stelle der Leitkurve c kann auch eine Leitfläche treten. Man unterscheidet gerade und schiefe Konoide, je nachdem g auf der Richtebene senkrecht steht oder nicht.

Da hier alle asymptotischen Ebenen der Richtebene parallel sind, so stehen die Tangentialebenen in den Centralpunkten der einzelnen Erzeugenden auf derselben senkrecht. Die Striktionslinie — der Ort der Centralpunkte - fällt sonach mit dem scheinbaren Umriß zusammen, der sich bei senkrechter Projektion auf die Richtebene ergiebt. Die Tangentialebenen an c parallel zur Richtebene schneiden g in den Kuspidalpunkten; ebenso schneiden die Tangentialebenen an c durch g die unendlich ferne Leitgerade in Kuspidalpunkten; die zugehörigen Erzeugenden sind Torsallinien der Fläche.

Um Punkte des Umrisses oder der Eigenschattengrenze zu erhalten, bestimmt man auf jeder Erzeugenden den Berührungspunkt der durch sie parallel zur Projektions- oder Lichtrichtung gelegten Ebene. Diese Bestimmung geschieht mit Hilfe eines Paraboloides,