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Krümmungsmittelpunkt, J' und K' sind die Punkte von h' auf AA, resp. BB, (K'Qh', Q=K'Q × HO, QL'|| AA,, vergl. 405). Hieraus ergeben sich dann auch Aufriß und Seitenriß von h, J, K und L. Legt man durch einen beliebigen Punkt S den Richtungskegel und ist k sein Basiskreis in einer beliebigen Horizontalebene, ist ferner g die Mantellinie, für welche g' || h' wird, so ist auch h"g" und h""g", wodurch sich die Richtungen von h" und h"" bestimmen (siehe Nebenfigur).

Die Fläche von gleichförmiger Neigung hüllt eine Schar von Flächen 2. Grades ein, deren gemeinsamer Mittelpunkt mit O und deren gemeinsame Hauptebenen mit den Ebenen von i, l, m zusammenfallen. Die Hauptschnitte einer solchen Fläche 2. Grades bestimmen sich folgendermaßen. Der Hauptschnitt in der Ebene von 7 berührt die Gerade AE, sowie die drei dazu symmetrischen Geraden, der in der Ebene von m die Gerade BC, der in der Ebene von i die vier imaginären Brennpunktstangenten von i. Die Flächen berühren nämlich alle Ebenen, die zugleich und den unendlich fernen Kreis 9 des Richtungskegels tangieren. Durch die Kegelachse giebt es aber zwei konjugiert imaginäre Ebenen, die den Kreis q berühren, es sind die sich selbst entsprechenden Ebenen der von den rechtwinkligen Ebenenpaaren durch die Kegelachse gebildeten Involution. Verschiebt man diese Involution parallel mit sich selbst bis ihre Achse durch einen Brennpunkt von i geht, so berühren ihre sich selbst entsprechenden Ebenen sowohl den Kreis q, wie die Ellipse i (389); woraus die obige Behauptung folgt, da die Ebene von Symmetrieebene unserer Fläche ist. Die Schar der Flächen 2. Grades besitzt in der Ebene von Hauptschnitte, die mit i konfokal sind. Durch Wahl dieses Hauptschnittes bestimmen sich die anderen unmittelbar.

Jede Fläche der Schar wird von unserer Fläche längs einer Raumkurve 4. Ordnung berührt. Denn die Tangentialebenen in den Schnittpunkten dieser Kurve mit einer beliebigen Ebene gehen durch den Pol dieser Ebene in Bezug auf die Fläche 2. Grades; da aber jene Tangentialebenen auch die Fläche von gleichförmiger Neigung berühren und diese von der 4. Klasse ist, so gehen nur vier durch den genannten Pol, die Berührungskurve ist also von der 4. Ordnung. Sie projiziert sich demnach auf jede der drei Symmetrieebenen und somit auch auf П1, П1⁄2 und П, - als Kegelschnitt. Die Scheitel dieser Kegelschnitte sind die Projektionen der Berührungspunkte der betreffenden Fläche 2. Grades, oder ihrer Hauptschnitte, mit den Geraden AE, AE, BC, B,C und den vier Brennpunktstangenten von i.

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Die Schnittkurve unserer Fläche mit einer beliebigen Ebene E erhält man, indem man ihre Erzeugenden mit E schneidet. Zu diesem Zwecke lege man durch S eine zu E parallele Ebene ▲ und suche ihre Spur d1 in der Ebene des Kreises k, diese ist zur ersten Spur e von E parallel. Ist dann h eine Erzeugende, H ihr erster Spurpunkt, g die Parallele zu h durch S, G ihr Spurpunkt auf k; ist ferner R der gesuchte Schnittpunkt und p die zugehörige Tangente der Schnittkurve, so schneiden sich e, und die Tangente des Punktes H von i im ersten Spurpunkte P, von p. Die Gerade p ist aber parallel zu SN1, wenn N1 der Schnittpunkt von d mit der Tangente des Punktes G von k ist; denn die Ebenen, die sich in diesen Geraden schneiden, sind parallel. Man zeichne also P, und N1 und ziehe durch P1 eine Parallele zu NS, diese berührt dann die Schnittkurve in ihrem auf h liegenden Punkte R (PR' || N1S', HP ̧±h', GN1¦g). Die Asymptoten der Schnittkurve erhält man, indem man diese Konstruktion auf die zu E parallelen Erzeugenden der Fläche anwendet.

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Die Tangentialebenen, die man aus einem beliebigen Punkte an die Fläche legen kann, haben die Eigenschaft, daß ihre ersten Spuren einerseits die Ellipsei und andererseits den ersten Spurkreis des Richtungskegels aus dem gewählten Punkte berühren, woraus sie sich ergeben.

Regelflächen.

720. Bewegt sich eine Gerade nach irgend einem Gesetz, so erzeugt sie eine Regelfläche, d. h. die Gerade gehört in allen durch. die Bewegung angenommenen Lagen der Regelfläche an; diese Geraden heißen die Erzeugenden der Fläche. Zwei benachbarte Erzeugenden sind im allgemeinen windschief zu einander, so daß die Tangentialebenen in den Punkten einer Erzeugenden von einander verschieden sind. Wenn dagegen je zwei benachbarte Erzeugende sich schneiden, so ist die Fläche abwickelbar und jede Tangentialebene berührt sie längs einer Erzeugenden (711). Von den abwickelbaren Flächen sehen wir hier ab und betrachten nur die allgemeinen Regelflächen, die auch windschiefe Regelflächen genannt werden.

Die Schnittkurve s einer Regelfläche mit einer Ebene E enthält die Gesamtheit der Durchstoßpunkte der Erzeugenden mit der Ebene; jede Erzeugende trägt einen Punkt der Schnittkurve. Geht die schneidende Ebene durch eine Erzeugende g, so wird jede

weitere Erzeugende diese Ebene in einem Punkte schneiden und alle diese Punkte liegen auf der Schnittkurve s. Während eine Gerade durch Bewegung die Regelfläche erzeugt, erzeugt ihr Schnittpunkt mit E die Kurve s; passiert die Gerade dabei die Lage g, so passiert auch der zugehörige Punkt von s die Erzeugende g wegen der Kontinuität; dieser Schnittpunkt von s und g sei P. Daß es im allgemeinen noch weitere Schnittpunkte von g und s giebt, werden wir weiterhin sehen. Die Ebene E durch g berührt die Regelfläche im Punkte P von g. Denn die volle Schnittkurve von E mit der Fläche besteht aus s und g, sie hat in P einen Doppelpunkt und jede durch P laufende Gerade von E berührt daselbst die Fläche. Speziell ist die Tangente t im Punkte P von s eine Haupttangente der Regelfläche, d. h. sie oskuliert dieselbe (470); die andere Haupttangente wird von der Erzeugenden g gebildet.

Dreht sich die Ebene E um g, so verschiebt sich auch ihr Berührungspunkt P auf g und damit die zugehörige Haupttangente t. Wir haben nun den Satz, daß die Haupttangenten in allen Punkten einer Erzeugenden auf einem Hyperboloide liegen, dessen eine Schar sie bilden. Sind nämlich P1, P2, P3 drei Punkte auf g und t1, ta, t, die zugehörigen Haupttangenten, so kann man durch t, ta, ta ein Hyperboloid legen (664), und dieses oskuliert die Regelfläche längs der Erzeugenden g. Denn jede der Geraden t, ta, ta trifft außer g noch zwei benachbarte Erzeugende der Regelfläche, und diese drei benachbarten Erzeugenden gehören auch dem Hyperboloid an. Man kann auch zu dem längs g oskulierenden Hyperboloide gelangen, indem man zuerst ein Hyperboloid durch g und zwei weitere Erzeugende legt und dann einen Grenzprozeß macht, bei dem die beiden weiteren Erzeugenden nacheinander auf der Regelfläche nach g hin verschoben werden. Jede Erzeugende des oskulierenden Hyperboloides, die zu der gleichen Schar wie t, ta, ta gehört, ist eine Haupttangente der Regelfläche, da sie drei benachbarte Punkte mit ihr gemein hat.

Nimmt man in P1, P2, P3 statt der Haupttangenten irgend welche andere Tangenten der Regelfläche, so geht durch sie ein Hyperboloid, das die Regelfläche längs g berührt.

721. Die Schnittkurve der Regelfläche mit einem beliebigen Hyperboloide wird von jeder Erzeugenden jener Fläche in je zwei Punkten getroffen. Das gilt auch noch, falls das Hyperboloid die Erzeugende g enthält und längs ihr die Fläche oskuliert. Das oskulierende Hyperboloid schneidet also aus der Regelfläche eine Kurve q

aus, die mit jeder Erzeugenden zwei Punkte gemein hat, mithin wegen der Kontinuität auch mit g zwei Punkte Q1 und Q2. Während nun im allgemeinen die Haupttangenten in den Punkten von g drei unendlich nahe Punkte mit der Regelfläche gemein haben und sie außerdem noch in einer Anzahl davon getrennt liegender Punkte schneiden, die der Kurve q angehören, haben die beiden Haupttangenten durch Q1 resp. Q2 vier benachbarte Punkte mit der Regelfläche gemein, indem zugleich einer ihrer Schnittpunkte mit 9 nach 21 resp. Q2 hereingerückt ist. Die Tangentialebenen in Q1 resp. Q schneiden deshalb die Regelfläche — abgesehen von gin Kurven, die Q1 resp. Q2 zu Wendepunkten und die bezüglichen Haupttangenten zu Wendetangenten haben, denn diese müssen die ebenen Schnittkurven in vier unendlich nahen Punkten schneiden. Unter den Ebenen durch eine beliebige Erzeugende einer Regelfläche giebt es zwei, deren Berührungspunkte für die zugehörige Schnittkurve Wendepunkte sind.

722. Wird die Regelfläche von einem Hyperboloid längs einer Erzeugenden g oskuliert, so schneidet jede Ebene durch g Regelfläche und Hyperboloid in einer Kurve und einer Geraden, die durch den nämlichen Punkt von g gehen und sich daselbst berühren. In den Punkten von g stimmen also die zugehörigen Tangentialebenen der Regelfläche und des Hyperboloides überein. Nun ist aber bei einem Hyperboloide der Büschel der Ebenen durch eine Erzeugende projektiv zu der auf der Erzeugenden liegenden Reihe ihrer Berührungspunkte (663). Das muß also auch für die Regelfläche gelten und wir haben den Satz: Dreht sich eine Ebene um eine Erzeugende einer Regelfläche, so durchläuft ihr Berührungspunkt diese Erzeugende derart, daß der Büschel der Ebenen zu der Reihe ihrer Berührungspunkte projektiv ist.

In jedem Punkte einer Erzeugenden g der Regelfläche ist die Flächennormale zu der betreffenden Tangentialebene senkrecht; es ist deshalb auch die Reihe der Punkte auf g projektiv zu dem Büschel der Ebenen durch g, welche die in den Punkten errichteten Flächennormalen enthalten. Wir schließen nun weiter, daß die Normalen einer Regelfläche in den Punkten einer Erzeugenden ein hyperbolisches Paraboloid bilden, das als Normalenparaboloid bezeichnet wird. Denn einerseits sind alle diese Normalen zu einer Ebene parallel, da sie auf der nämlichen Erzeugenden senkrecht stehen; andererseits bestimmt jede Normale auf der Erzeugenden einen Punkt und mit ihr eine Ebene, und die Reihe dieser Punkte ist mit dem Büschel dieser Ebenen projektiv.

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723. Jede Ebene durch eine Erzeugende g einer Regelfläche berührt dieselbe in einem Punkte von g. Dieser Punkt liegt, wie wir sahen, auf der Schnittkurve der Ebene mit der Fläche und ist deshalb benachbart zu dem Schnittpunkte der Ebene mit einer zu g benachbarten Erzeugenden. Insbesondere heißt die Ebene, welche die Fläche im unendlich fernen Punkte von g berührt, eine asymptotische Ebene der Fläche. Ihre Schnittkurve kann also die zu g benachbarte Erzeugende nicht im Endlichen treffen, d. h. die asymptotische Ebene ist zu g und der benachbarten Erzeugenden parallel. Die asymptotischen Ebenen einer Regelfläche sind deshalb zu den Tangentialebenen ihres Richtkegels parallel, dessen Mantellinien den Erzeugenden der Fläche parallel laufen. Der Berührungspunkt derjenigen Ebene durch g, die auf der asymptotischen Ebene durch g senkrecht steht, heißt der Centralpunkt der Erzeugenden g. Nach (708) ist der Centralpunkt von g derjenige Punkt, der den kleinsten Abstand von der Nachbarerzeugenden besitzt. Der Ort der Centralpunkte aller Erzeugenden einer Regelfläche heißt ihre Striktionslinie.

724. Eine Regelfläche besitzt im allgemeinen eine oder mehrere Doppel- oder auch vielfache Kurven. Schneiden sich nämlich zwei Erzeugende g und h der Fläche, so wird auch, wie aus der Erzeugung der Fläche durch eine bewegte Gerade folgt, die zu g benachbarte Erzeugende g1 von einer zu h benachbarten Erzeugenden h1 getroffen werden u. s. f.; auf diese Weise entsteht eine Doppelkurve. Daß aber eine Erzeugende g im allgemeinen mehrere andere Erzeugende trifft, erkennt man in folgender Weise. Eine beliebige Ebene durch g schneidet die Fläche in einer Kurve s, die 9 in dem Berührungspunkt P der Ebene trifft und außerdem im allgemeinen noch in mehreren weiteren Punkten Q1, Q.... Durchläuft nun ein Punkt die Kurve s, so beschreibt die ihn tragende Erzeugende die Regelfläche. Passiert dabei der Punkt die Lage P, so passiert die zugehörige Erzeugende die Lage g; passiert dagegen der Punkt eine der Lagen Q1, Q2 ...., so nimmt die zugehörige Erzeugende Lagen an, die zu g nicht benachbart sind, weil P und Q nicht benachbart sind. Die Punkte Q1, Q2 gehören somit der Doppelkurve an.

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Auf der Doppelkurve d einer Regelfläche giebt es besondere Punkte, zu denen wir durch folgende Überlegung gelangen. Durch einen beliebigen Punkt P von d gehen zwei Erzeugende e, und e2, welche auf einer ebenen Schnittkurve s der Regelfläche die beiden Punkte E und E, ausschneiden mögen. Liegen nun E, und E

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