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aus, die mit jeder Erzeugenden zwei Punkte gemein hat, mithin wegen der Kontinuität auch mit g zwei Punkte Q, und Q. Während nun im allgemeinen die Haupttangenten in den Punkten von g drei unendlich nahe Punkte mit der Regelfläche gemein haben und sie außerdem noch in einer Anzahl davon getrennt liegender Punkte schneiden, die der Kurve q angehören, haben die beiden Haupttangenten durch Q% resp. Q, vier benachbarte Punkte mit der Regelfläche gemein, indem zugleich einer ihrer Schnittpunkte mit q nach Q, resp. Q, hereingerückt ist. Die Tangentialebenen in Q, resp. Q, schneiden deshalb die Regelfläche – abgesehen von g – in Kurven, die Q% resp. Q, zu Wendepunkten und die bezüglichen Haupttangenten zu Wendetangenten haben, denn diese müssen die ebenen Schnittkurven in vier unendlich nahen Punkten schneiden. Unter den Ebenen durch eine beliebige Erzeugende einer Regelfläche giebt es zwei, deren Berührungspunkte für die zugehörige Schnittkurve Wendepunkte sind. 722. Wird die Regelfläche von einem Hyperboloid längs einer Erzeugenden g oskuliert, so schneidet jede Ebene durch g Regelfläche und Hyperboloid in einer Kurve und einer Geraden, die durch den nämlichen Punkt von g gehen und sich daselbst berühren. In den Punkten von g stimmen also die zugehörigen Tangentialebenen der Regelfläche und des Hyperboloides überein. Nun ist aber bei einem Hyperboloide der Büschel der Ebenen durch eine Erzeugende projektiv zu der auf der Erzeugenden liegenden Reihe ihrer Berührungspunkte (663). Das muß also auch für die Regelfläche gelten und wir haben den Satz: Dreht sich eine Ebene um eine Erzeugende einer Regelfläche, so durchläuft ihr Berührungspunkt diese Erzeugende derart, daß der Büschel der Ebenen zu der Reihe ihrer Berührungspunkte projektiv ist. In jedem Punkte einer Erzeugenden g der Regelfläche ist die Flächennormale zu der betreffenden Tangentialebene senkrecht; es ist deshalb auch die Reihe der Punkte auf g projektiv zu dem Büschel der Ebenen durch g, welche die in den Punkten errichteten Flächennormalen enthalten. Wir schließen nun weiter, daß die Normalen einer Regelfläche in den Punkten einer Erzeugenden ein hyperbolisches Paraboloid bilden, das als Normalenparaboloid bezeichnet wird. Denn einerseits sind alle diese Normalen zu einer Ebene parallel, da sie auf der nämlichen Erzeugenden senkrecht stehen; andererseits bestimmt jede Normale auf der Erzeugenden einen Punkt und mit ihr eine Ebene, und die Reihe dieser Punkte ist mit dem Büschel dieser Ebenen projektiv. 723. Jede Ebene durch eine Erzeugende g einer Regelfläche berührt dieselbe in einem Punkte von g. Dieser Punkt liegt, wie wir sahen, auf der Schnittkurve der Ebene mit der Fläche und ist deshalb benachbart zu dem Schnittpunkte der Ebene mit einer zu g benachbarten Erzeugenden. Insbesondere heißt die Ebene, welche die Fläche im unendlich fernen Punkte von g berührt, eine asymptotische Ebene der Fläche. Ihre Schnittkurve kann also die zu g benachbarte Erzeugende nicht im Endlichen treffen, d. h. die asymptotische Ebene ist zu g und der benachbarten Erzeugenden parallel. Die asymptotischen Ebenen einer Regelfläche sind deshalb zu den Tangentialebenen ihres Richtkegels parallel, dessen Mantellinien den Erzeugenden der Fläche parallel laufen. Der Berührungspunkt derjenigen Ebene durch g, die auf der asymptotischen Ebene durch g senkrecht steht, heißt der Centralpunkt der Erzeugenden g. Nach (708) ist der Centralpunkt von g derjenige Punkt, der den kleinsten Abstand von der Nachbarerzeugenden besitzt. Der Ort der Centralpunkte aller Erzeugenden einer Regelfläche heißt ihre Striktionslinie.

724. Eine Regelfläche besitzt im allgemeinen eine oder mehrere Doppel- oder auch vielfache Kurven. Schneiden sich nämlich zwei Erzeugende g und h der Fläche, so wird auch, wie aus der Erzeugung der Fläche durch eine bewegte Gerade folgt, die zu g benachbarte Erzeugende g, von einer zu h benachbarten Erzeugenden h, getroffen werden u. s. f.; auf diese Weise entsteht eine Doppelkurve. Daß aber eine Erzeugende g im allgemeinen mehrere andere Erzeugende trifft, erkennt man in folgender Weise. Eine beliebige Ebene durch g schneidet die Fläche in einer Kurve s, die g in dem Berührungspunkt P der Ebene trifft und außerdem im allgemeinen noch in mehreren weiteren Punkten Q, Q,.... Durchläuft nun ein Punkt die Kurve s, so beschreibt die ihn tragende Erzeugende die Regelfläche. Passiert dabei der Punkt die Lage P, so passiert die zugehörige Erzeugende die Lage g; passiert dagegen der Punkt eine der Lagen Q, Q, . . . ., so nimmt die zugehörige Erzeugende Lagen an, die zu g nicht benachbart sind, weil Po und Q, nicht benachbart sind. Die Punkte Q, Q, . . . . gehören somit der Doppelkurve an.

Auf der Doppelkurve d einer Regelfläche giebt es besondere Punkte, zu denen wir durch folgende Überlegung gelangen. Durch einen beliebigen Punkt P von d gehen zwei Erzeugende e, und e, welche auf einer ebenen Schnittkurve s der Regelfläche die beiden Punkte E und E, ausschneiden mögen. Liegen nun E und E. auf dem nämlichen Kurvenzweige von s und bewegt sich P auf d, so durchlaufen E und E., den ganzen Kurvenzweig. Denn ein Umkehren der Bewegung kann nicht stattfinden, da durch jeden Punkt von s nur eine Erzeugende geht (in den Doppelpunkten kann jeder Zweig für sich betrachtet werden). Durchlaufen hierbei E und E. die Kurve in entgegengesetzter Richtung, so giebt es gewisse Lagen, für die e, und e, zusammenfallen. Eine solche Gerade wird Torsallinie der Regelfläche, der zugehörige Punkt auf der Doppelkurve Kuspidalpunkt genannt. Die Fläche wird längs der Torsallinie von der nämlichen Ebene berührt. Das eine der beiden Stücke der Doppelkurve, die in einem Kuspidalpunkt zusammenstoßen, verläuft isoliert, da keine reellen Erzeugenden durch seine Punkte hindurchgehen. Während jede Schnittkurve durch den beliebigen Punkt P von d einen Doppelpunkt besitzt, dessen beide Tangenten in Ebenen liegen, die durch die Tangente von d in P und die Erzeugenden e, resp. e, gehen, schneidet jede Ebene durch einen Kuspidalpunkt die Fläche in einer Kurve mit Spitze. Jede Ebene durch eine Torsallinie berührt die Fläche in dem zugehörigen Kuspidalpunkt; denn alle übrigen Punkte der Torsallinie haben eine bestimmte gemeinsame Tangentialebene. Jede Umrißlinie und jede Eigenschattengrenze geht durch alle Kuspidalpunkte hindurch und berührt in ihnen die zugehörige Torsallinie. Es folgt dieses einfach aus den Definitionen dieser Kurven. Vielfache Kurven der Regelfläche lassen sich ähnlich wie die Doppelkurven untersuchen, wenn man jedesmal nur zwei der Flächenmäntel durch die vielfache Kurve in Betracht zieht. 725. Wir wenden uns jetzt der Erzeugung der Regelflächen zu. Die Zahl der Geraden im Raume ist eine vierfach unendliche. Demnach ist die Zahl der Raumgeraden, welche drei einfache Bedingungen erfüllen, einfach unendlich groß, d. h. diese Geraden sind die Erzeugenden einer Regelfläche. Diese Bedingungen können von der verschiedensten Art sein und es möge einige hier aufgezählt werden. Eine Regelfläche entsteht, wenn eine Gerade als Erzeugende an drei festen Kurven, den Leitkurven, hingleitet, wobei sie beständig gemeinsame Sekante dieser Kurven bleibt. Legt man aus einem Punkte der ersten Leitkurve Kegelflächen durch die zweite und dritte, so sind ihre gemeinsamen Mantellinien Erzeugende der Regelfläche. Von den drei Leitkurven kann auch eine unendlich fern gewählt werden, d. h. es können zwei Leitkurven und der Richtungskegel der Regelfläche gegeben sein. Es lassen sich dann die Erzeugenden als gemeinsame Mantellinien zweier Cylinder gewinnen. An die Stelle der drei Leitkurven, oder auch einzelner derselben können Leitflächen treten, welche von den Erzeugenden berührt werden sollen. Ist noch eine Leitkurve vorhanden, so kann man von jedem ihrer Punkte die Tangentenkegel an die beiden Leitflächen legen, ihre gemeinsamen Mantellinien bilden dann die Regelfläche. Sind drei Leitflächen gegeben, so wählt man noch eine Gerade g, die auch unendlich fern sein kann, und bestimmt die Regelfläche zu dieser Geraden als Leitlinie und zu zwei von den gegebenen Flächen als Leitflächen. Diese Regelfläche schneidet man mit der dritten Leitfläche, dann sind die Tangenten der Schnittkurve, welche g treffen, Erzeugende der gesuchten Regelfläche. Besitzt nämlich der Punkt P der Schnittkurve eine die Gerade g schneidende Tangente t und wäre diese nicht gleichzeitig Tangente der beiden ersten Leitflächen, so müßten in der Ebene gt zwei gemeinsame benachbarte Tangenten dieser beiden Leitflächen liegen, die von Po und dessen Nachbarpunkt ausgingen. Schneidet die Ebene gt beide Leitflächen in gewöhnlichen Kurven, so ist dieses unmöglich, es tritt jedoch ein, wenn sie eine von ihnen berührt. Solche Tangenten der Schnittkurve, die mit g eine Tangentialebene von einer der beiden Leitflächen bestimmen, gehören also der gesuchten Regelfläche nicht an. Eine Regelfläche entsteht auch, wenn eine Gerade als Erzeugende an zwei festen Leitkurven so hingleitet, daß die von den Leitkurven auf der Geraden begrenzte Strecke konstant bleibt, oder daß die Gerade eine der Leitkurven unter konstantem Winkel schneidet. Im ersten Falle verlaufen die Erzeugenden von einem Punkt der ersten Leitkurve nach denjenigen der zweiten, welche auf einer Kugel mit jenem Punkt als Mittelpunkt und mit der konstanten Strecke als Radius liegen. Im zweiten Falle tritt an die Stelle der Kugel ein Rotationskegel, dessen Spitze ein Punkt der ersten Leitkurve, dessen Achse die zugehörige Tangente ist und dessen Mantellinien den konstanten Winkel mit ihr einschließen. Eine Regelfläche wird auch von den Normalen gebildet, die auf einer gegebenen Fläche in den Punkten einer gegebenen Kurve errichtet sind; man bezeichnet sie als Normalenfläche. 726. Es mögen hier einige Sätze über algebraische Kurven und Flächen ohne Beweis mitgeteilt werden, deren Beweis in der analytischen Geometrie auf einige Fundamentalsätze der Algebra basiert wird. Sie werden gelegentlich hier und da eine Anwendung finden, doch wird der ganze Verlauf unserer Untersuchungen auch beim Weglassen dieser wenigen Stellen verständlich bleiben. Die Algebra zeigt, daß eine Gleichung n. Grades in Wurzeln besitzen muß, die teils reell, teils imaginär sein können. Die imaginären Wurzeln sind paarweise konjugiert, d. h. sie bilden die Wurzelpaare quadratischer Gleichungen mit reellen Koëffizienten. Zwei Gleichungen vom n. resp. m. Grade mit zwei Veränderlichen besitzen mm, drei Gleichungen vom n, m. und l. Grade mit drei Veränderlichen besitzen nml gemeinsame Lösungen; die auftretenden imaginären Lösungen sind wieder paarweise konjugiert. Die Anwendung dieser Sätze auf Kurven und Flächen ist es, um die es sich hier handelt. Eine ebene Kurve n. Ordnung ist eine solche, die von jeder Geraden in n Punkten geschnitten wird, die alle oder teilweise imaginär sein können. Die imaginären Schnittpunkte sind paarweise konjugiert und können durch Kegelschnitte (oder Kreise) ausgeschnitten werden, d. h. man kann sie als die imaginären, sich selbst entsprechenden Punkte gleichlaufender involutorischer Punktreihen definieren. Auch bei allen folgenden Definitionen und Sätzen können die auftretenden Punkte oder Geraden paarweise konjugiert imaginär sein, was nicht jedesmal erwähnt werden soll. Eine ebene Kurve ist von der k. Klasse, wenn man von jedem Punkte k Tangente an sie legen kann. Eine Fläche ist von der n. Ordnung und der k. Klasse, wenn jeder ebene Schnitt von der n. Ordnung und jeder Tangentenkegel von der k. Klasse ist. Die Fläche schneidet also jede Gerade in n. Punkten und schickt durch jede Gerade k Tangentialebenen. Eine Raumkurve ist von der n. Ordnung und der k. Klasse, wenn sie mit jeder Ebene in Punkte gemein hat und durch jeden Punkt k Schmiegungsebenen schickt. Ordnung und Klasse einer Kegelfläche sind zugleich Ordnung und Klasse ihrer Schnittkurven. Zwei ebene Kurven n. und m. Ordnung haben nm Punkte, zwei Kurven k. und 1. Klasse haben ki Tangenten gemein. Zwei Flächen n. und m. Ordnung schneiden sich in einer Raumkurve nm. Ordnung; zwei Flächen k. und i. Klasse werden von einer abwickelbaren Fläche ki. Klasse umhüllt. Drei Flächen n., m. und l. Ordnung haben mml Punkte gemein; ein Kurve v. Ordnung und eine Fläche l. Ordnung haben will Punkte gemein. Ordnung und Klasse einer Regelfläche sind einander

gleich, man bezeichnet diese Zahl als ihren Grad. ROHN u. PAPPERITz. II. 17

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