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zeugenden ist eine Fläche von gleichförmiger Neigung bestimmt. Statt der Horizontalkurve kann auch irgend eine andere Kurve, welche auf der Fläche liegen soll, gegeben sein. Durch jeden ihrer Punkte giebt es zwei Erzeugende von der vorgeschriebenen Neigung. Man erhält sie, indem man den Punkt zur Spitze eines Rotationskegels von der gegebenen Neigung macht und durch seine Tangente die beiden Tangentialebenen an diesen Kegel legt; sie berühren denselben in den gesuchten Erzeugenden. Die Fläche kann man hierbei als Hüllfläche kongruenter Rotationskegel mit vertikaler Achse ansehen, deren Spitzen auf der gegebenen Kurve liegen. Ihre erste Spurkurve ist die Hüllkurve der ersten Spurkreise dieser Kegel; sie berührt jeden dieser Kreise in den beiden Punkten, deren Tangenten durch den Spurpunkt derjenigen Geraden gehen, welche die gegebene Kurve in der Spitze des zugehörigen Kegels berührt. Die gegebene Kurve ist Doppelkurve unserer Fläche. 719. Die Fläche von gleichförmiger Neigung, deren erste Spurkurve eine Ellipse ist (Fig. 465). Die Tangentialebenen dieser abwickelbaren Fläche berühren zwei feste Kegelschnitte, nämlich die gegebene Ellipse i und einen unendlich fernen Kreis q; dieser liegt auf dem Richtungskegel, dessen Spitze ein beliebiger Punkt S ist und dessen Mantellinien den Erzeugenden der Fläche parallel laufen. Demnach ist unsere Fläche eine abwickelbare Fläche 4. Klasse (713), für welche i und q Doppelkurven sind. Es existieren also noch zwei weitere Doppelkegelschnitte l und m, ihre Ebenen gehen durch die große, resp. kleine Achse der Ellipse i und stehen auf deren Ebene senkrecht. Die Ebenen der Kegelschnitte i, l., m sind Symmetrieebenen der Fläche. Bei der Darstellung nehmen wir TT, durch i und TI, resp. TT, parallel zu l resp. m. Seien nun O der Mittelpunkt, AA, die große und BB, die kleine Achse der Ellipse i; ferner gebe z. a. die Neigung der Fläche an. In jedem Punkte von l schneiden sich zwei Erzeugende der Fläche, deren erste Spurpunkte auf i symmetrisch zu AA, liegen. So schneiden sich die Erzeugenden durch B und B, in den Endpunkten der vertikalen Achse CC von 1 (0"C" =OC =OB tanga). In der Figur ist von den beiden Mänteln der Fläche durch i nur der eine berücksichtigt. Ferner schneiden sich die beiden benachbarten Erzeugenden, deren erste Spurpunkte zu A benachbart sind, in einem Punkte T' von l, dessen erste Projektion T" der Krümmungsmittelpunkt von i für den Punkt A ist (AT" =(OB)“: OA, z. O"A"T” = Z OAT = z. a). Nach 714 ist T' eine Spitze der Rückkehrkante zu unserer Fläche und AT" berührt in T" sowohl l wie u. Hierdurch ist auch die horizontale Achse DD, von l bestimmt; denn A und T“ liegen als konjugierte Pole von l harmonisch zu DD, es ist also: (0D)“ = 04.07“ = (04)“ –(OB)“. Mithin sind D, D, die Brennpunkte von i und es geht l durch die Brennpunkte V O IN 2. Die Kurve im ist eine Hyperbel mit der vertikalen Hauptachse EE (0"E" =OE = OAtanga). Auf der Erzeugenden durch B liegt

Fig. 465.

der Punkt V von m, dessen erste Projektion V" der Krümmungsmittelpunkt von i für den Punkt B ist (z. OBW = Z. a); W ist eine Spitze von u und BW tangiert zu und m in W. Das Quadrat der imaginären Halbachse von m ist gleich: OB-OW", da B und W" konjugierte Pole von m sind. Die Erzeugende h durch den Punkt II von i trägt drei Punkte J, K, L, die respective auf den Kurven l, m, u liegen; h' ist die Normale von i in H, L/ der zugehörige Krümmungsmittelpunkt, J’ und K“ sind die Punkte von h' auf AA, resp. BB, (K"QL h, Q= K'Q><HO, QL/|AA, vergl. 405). Hieraus ergeben sich dann auch Aufriß und Seitenriß von h, J, K und L. Legt man durch einen beliebigen Punkt S den Richtungskegel und ist k sein Basiskreis in einer beliebigen Horizontalebene, ist ferner g die Mantellinie, für welche g | h wird, so ist auch h” |g“ und h“|g“, wodurch sich die Richtungen von h“ und h” bestimmen (siehe Nebenfigur). Die Fläche von gleichförmiger Neigung hüllt eine Schar von Flächen 2. Grades ein, deren gemeinsamer Mittelpunkt mit O und deren gemeinsame Hauptebenen mit den Ebenen von i, l., m zusammenfallen. Die Hauptschnitte einer solchen Fläche 2. Grades bestimmen sich folgendermaßen. Der Hauptschnitt in der Ebene von l berührt die Gerade AE, sowie die drei dazu symmetrischen Geraden, der in der Ebene von m die Gerade BC, der in der Ebene von i die vier imaginären Brennpunktstangenten von i. Die Flächen berühren nämlich alle Ebenen, die zugleich i und den unendlich fernen Kreis q des Richtungskegels tangieren. Durch die Kegelachse giebt es aber zwei konjugiert imaginäre Ebenen, die den Kreis q berühren, es sind die sich selbst entsprechenden Ebenen der von den rechtwinkligen Ebenenpaaren durch die Kegelachse gebildeten Involution. Verschiebt man diese Involution parallel mit sich selbst bis ihre Achse durch einen Brennpunkt von i geht, so berühren ihre sich selbst entsprechenden Ebenen sowohl den Kreis q, wie die Ellipse i (389); woraus die obige Behauptung folgt, da die Ebene von i Symmetrieebene unserer Fläche ist. Die Schar der Flächen 2. Grades besitzt in der Ebene von i Hauptschnitte, die mit i konfokal sind. Durch Wahl dieses Hauptschnittes bestimmen sich die anderen unmittelbar. Jede Fläche der Schar wird von unserer Fläche längs einer Raumkurve 4. Ordnung berührt. Denn die Tangentialebenen in den Schnittpunkten dieser Kurve mit einer beliebigen Ebene gehen durch den Pol dieser Ebene in Bezug auf die Fläche 2. Grades; da aber jene Tangentialebenen auch die Fläche von gleichförmiger Neigung berühren und diese von der 4. Klasse ist, so gehen nur vier durch den genannten Pol, die Berührungskurve ist also von der 4. Ordnung. Sie projiziert sich demnach auf jede der drei Symmetrieebenen – und somit auch auf TI, TT, und TT, – als Kegelschnitt. Die Scheitel dieser Kegelschnitte sind die Projektionen der Berührungspunkte der betreffenden Fläche 2. Grades, oder ihrer Hauptschnitte, mit den Geraden AE, A, E, BC, B, C und den vier Brennpunktstangenten von i. Die Schnittkurve unserer Fläche mit einer beliebigen Ebene E erhält man, indem man ihre Erzeugenden mit E schneidet. Zu diesem Zwecke lege man durch S eine zu E parallele Ebene A und suche ihre Spur d', in der Ebene des Kreises k, diese ist zur ersten Spur e, von E parallel. Ist dann h eine Erzeugende, H ihr erster Spurpunkt, g die Parallele zu h durch S, G ihr Spurpunkt auf k; ist ferner R. der gesuchte Schnittpunkt und p die zugehörige Tangente der Schnittkurve, so schneiden sich e, und die Tangente des Punktes H von i im ersten Spurpunkte P. von p. Die Gerade p ist aber parallel zu SN, wenn N., der Schnittpunkt von d., mit der Tangente des Punktes G von k ist; denn die Ebenen, die sich in diesen Geraden schneiden, sind parallel. Man zeichne also P% und N, und ziehe durch P, eine Parallele zu N„S, diese berührt dann die Schnittkurve in ihrem auf h liegenden Punkte R (PR“ [MS", HP, Lh, GN Lg). Die Asymptoten der Schnittkurve erhält man, indem man diese Konstruktion auf die zu E parallelen Erzeugenden der Fläche anwendet.

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Die Tangentialebenen, die man aus einem beliebigen Punkte an die Fläche legen kann, haben die Eigenschaft, daß ihre ersten Spuren einerseits die Ellipse i und andererseits den ersten Spurkreis des Richtungskegels aus dem gewählten Punkte berühren, woraus sie sich ergeben.

Regelflächen.

720. Bewegt sich eine Gerade nach irgend einem Gesetz, so erzeugt sie eine Regelfläche, d. h. die Gerade gehört in allen durch die Bewegung angenommenen Lagen der Regelfläche an; diese Geraden heißen die Erzeugenden der Fläche. Zwei benachbarte Erzeugenden sind im allgemeinen windschief zu einander, so daß die Tangentialebenen in den Punkten einer Erzeugenden von einander verschieden sind. Wenn dagegen je zwei benachbarte Erzeugende sich schneiden, so ist die Fläche abwickelbar und jede Tangentialebene berührt sie längs einer Erzeugenden (711). Von den abwickelbaren Flächen sehen wir hier ab und betrachten nur die allgemeinen Regelflächen, die auch windschiefe Regelflächen genannt werden.

Die Schnittkurve s einer Regelfläche mit einer Ebene E enthält die Gesamtheit der Durchstoßpunkte der Erzeugenden mit der Ebene; jede Erzeugende trägt einen Punkt der Schnittkurve. Geht die schneidende Ebene durch eine Erzeugende g, so wird jede weitere Erzeugende diese Ebene in einem Punkte schneiden und alle diese Punkte liegen auf der Schnittkurve s. Während eine Gerade durch Bewegung die Regelfläche erzeugt, erzeugt ihr Schnittpunkt mit E die Kurve s; passiert die Gerade dabei die Lage g, so passiert auch der zugehörige Punkt von s die Erzeugende g wegen der Kontinuität; dieser Schnittpunkt von s und g sei P. Daß es im allgemeinen noch weitere Schnittpunkte von g und s giebt, werden wir weiterhin sehen. Die Ebene E durch g berührt die Regelfläche im Punkte P von g. Denn die volle Schnittkurve von E mit der Fläche besteht aus s und g, sie hat in Po einen Doppelpunkt und jede durch P laufende Gerade von Eberührt daselbst die Fläche. Speziell ist die Tangente t im Punkte Po von s eine Haupttangente der Regelfläche, d. h. sie oskuliert dieselbe (470); die andere Haupttangente wird von der Erzeugenden g gebildet. Dreht sich die Ebene E um g, so verschiebt sich auch ihr Berührungspunkt P auf g und damit die zugehörige Haupttangente t. Wir haben nun den Satz, daß die Haupttangenten in allen Punkten einer Erzeugenden auf einem Hyperboloide liegen, dessen eine Schar sie bilden. Sind nämlich P., P., P. drei Punkte auf g und t, t, t, die zugehörigen Haupttangenten, so kann man durch t, t, t, ein Hyperboloid legen (664), und dieses oskuliert die Regelfläche längs der Erzeugenden g. Denn jede der Geraden 1, , , trifft außerg noch zwei benachbarte Erzeugende der Regelfläche, und diese drei benachbarten Erzeugenden gehören auch dem Hyperboloid an. Man kann auch zu dem längs g oskulierenden Hyperboloide gelangen, indem man zuerst ein Hyperboloid durch g und zwei weitere Erzeugende legt und dann einen Grenzprozeß macht, bei dem die beiden weiteren Erzeugenden nacheinander auf der Regelfläche nach g hin verschoben werden. Jede Erzeugende des oskulierenden Hyperboloides, die zu der gleichen Schar wie t, t, t, gehört, ist eine Haupttangente der Regelfläche, da sie drei benachbarte Punkte mit ihr gemein hat. Nimmt man in P., P., P., statt der Haupttangenten irgend welche andere Tangenten der Regelfläche, so geht durch sie ein Hyperboloid, das die Regelfläche längs g berührt. 721. Die Schnittkurve der Regelfläche mit einem beliebigen Hyperboloide wird von jeder Erzeugenden jener Fläche in je zwei Punkten getroffen. Das gilt auch noch, falls das Hyperboloid die Erzeugende g enthält und längs ihr die Fläche oskuliert. Das oskulierende Hyperboloid schneidet also aus der Regelfläche eine Kurve q

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