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ebene liegt auf dem Lichtstrahle TP. In der Figur sind einige Hilfslinien weggelassen.

Bewegt sich 7 und mit ihm seine Tangente t, so beschreibt ihre konjugierte Polare in Bezug auf die Kugel einen Kegel 2. Grades (657) mit dem Scheitel K; seine Mantellinien stehen senkrecht auf den Tangentialebenen eines anderen Kegels mit O als Scheitel und k als Grundkreis. Die Kurven u und v bilden demnach zusammen die Durchdringungskurve 4. Ordnung von der Kugel und dem Kegel mit dem Scheitel K. Die Schnittpunkte von u und v mit dem Kugelkreise in der Symmetrieebene Σ sind die Berührungspunkte C, C1, D, D1 der von A und A1 an 7 gelegten Tangenten (CD und C1D1 durch K). Ebenso schneiden u und v den in der Ebene K der Scheibe liegenden Kugelkreis m in vier Punkten E, F, E1, F1; es sind dies die Berührungspunkte der gemeinsamen Tangenten von k und m. In der Figur sind diese Punkte durch Anwendung einer zur Scheibe parallelen Seitenrißebene konstruiert. Die Tangenten in den Punkten E, F von u und E1, F1 von v gehen durch K.

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Da J und L harmonische Pole sowohl von k wie von m sind, so bilden sie zusammen mit dem unendlich fernen Punkte der Vertikalen das gemeinsame Polardreieck der beiden Kreise k und m. Die vier gemeinsamen Tangenten dieser beiden Kreise bilden aber ein Vierseit, dessen Diagonalen nichts anderes wie die Seiten jenes Polardreieckes sind (vergl. 374). Daraus folgt, daß EE, und FF durch J und EF1 und FE1 durch L gehen, daß also auch J und L harmonische Pole in Bezug auf den Kegel mit dem Scheitel K sind. Für den Büschel von Flächen 2. Grades, dessen Grundkurve in u und zerfällt, sind K, J, L und der unendlich ferne Punkt der Vertikalen die Ecken des gemeinsamen Polartetraëders. Die Kurven u und v liegen hiernach auch auf einem Kegel 2. Grades mit dem Scheitel L, einem Kegel mit dem Scheitel J und einem Cylinder 2. Grades mit vertikalen Mantellinien. Letzterer mag

die Symmetrieebene in dem Kegelschnitte w schneiden; u' und ' sind dann Stücke des Kegelschnittes w', für den J'K'L' ein Polardreieck ist und von dem bereits genügend viele Punkte bekannt sind, um ihn zu konstruieren. Aus u, v ergiebt sich dann der Aufriß u", " entweder mit Hilfe der Kugel, oder des Kegels mit dem Scheitel K in einfacher Weise.

Sucht man zu den Mantellinien des soeben genannten Cylinders die konjugierten Polaren, so umhüllen dieselben einen Kegelschnitt z in der Ebene Σ. Die Tangenten von z sind die Polaren der Punkte von w in Bezug auf den Kugelkreis 7; z und w sind also reciproke

Kegelschnitte in Bezug auf den Kreis l.

Die Tangentialebenen in den Punkten von u oder v schneiden in den Tangenten von z; die gemeinsame abwickelbare Fläche von Kugel und Scheibe besitzt eine in liegende Doppelkurve z. Natürlich besitzt sie auch in den Vertikalebenen durch JK und LK Doppelkurven. z geht durch die in Σ liegenden Schnittpunkte G und G, der gemeinsamen Tangenten von k und m (G' Pol von E'K' in Bezug auf l', G, Pol von EK'). Ferner berührt z die Geraden AC, AD, 411, 4D1 in den Punkten, deren Polaren in Bezug auf die Tangenten von w in den Punkten C, D, C1, D1 sind. Diese Berührungspunkte liegen auch auf den Polaren von A resp. 4, in Bezug auf z; die Polaren gehen aber durch K und je einen der beiden Punkte, die mit A resp. A1 die Strecke GG, harmonisch teilen.

mag 44, in S treffen. AA,

S

Die Tangentialebene in einem Punkte P von u oder v berührt auch den Kreis k in einem Punkte 7; die zugehörige Tangente Dann ist & der Pol der Vertikalebene durch PK, also S'O' P'K', so daß sich S' unmittelbar aus P' ergiebt und daraus auch 7" und T (ST" tangiert k" in 7""). PT ist eine Erzeugende der abwickelbaren Fläche; ihr Schnittpunkt P* mit der Aufrißebene ist ein Punkt der Schlagschattenkurve u* oder v*. Damit ist eine punktweise Konstruktion der Kurven u* und v* gegeben. Da die Tangentialebene in P aus der Aufrißebene die Tangente von u* im Punkte P* ausschneidet, so geht diese durch den zweiten Spurpunkt S2 der Geraden s, in der jene Tangentialebene die Ebene schneidet (S'S' O'P', §¿§1⁄2 1x). Je nachdem P' und Tauf der nämlichen oder auf verschiedenen Seiten von s' liegen, liegen auch P" und 7" auf der gleichen oder auf verschiedenen Seiten von O′′M" = s′′.

Die abwickelbare Fläche 4. Klasse, deren Erzeugende (z. B. PT) wir soeben bestimmt haben, besitzt eine Rückkehrkurve r; die Projektionen rund r" dieser Kurve werden umhüllt von den Projektionen der Erzeugenden (z. B. von P'T' resp. P"T"). Die Kurve r besitzt, wie wir früher gesehen haben, acht Spitzen; von diesen liegen vier auf k und vier auf z. Die Spitzen auf k sind die Berührungspunkte der gemeinsamen Tangenten von k und m; nämlich U, U1, V, V1; nur die Kreisbogenstücke UV und U11 liegen wirklich auf der abwickelbaren Fläche, die beiden anderen verlaufen isoliert. Die Spitzen auf z sind die Berührungspunkte der Tangenten AC, AD, Д1С1, A1D1, nämlich X, Y, X1, Y1; die Kurvenstücke XY und X liegen auf der Fläche, während die Kurvenstücke XX1 und YY, isoliert verlaufen.

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718. Die Flächen von gleichförmiger Neigung. Die Fläche von gleichförmiger Neigung bildet einen besonderen Fall der abwickelbaren Flächen; sie ist dadurch definiert, daß die Tangentialebenen in allen ihren Punkten gleiche Neigung gegen die Horizontalebene zeigen. Alle Tangentialebenen einer solchen Fläche sind demnach zu denjenigen eines Rotationskegels mit vertikaler Achse parallel. Legt man also von einem beliebigen Punkte den Tangentenkegel an die Fläche, so muß er entweder in mehrere Ebenen zerfallen, oder seine Mantellinien müßten zu denen des Rotationskegels parallel sein. Das letztere ist aber unmöglich, wie man beim Betrachten der Tangentenkegel aus den Punkten einer beliebigen Geraden erkennt. Denn jede Ebene durch diese Gerade müßte die Fläche in einer Kurve schneiden, die von einem System paralleler Geraden berührt würde, nämlich den Geraden der Ebene, die zu einer Mantellinie des Rotationskegels parallel laufen. aus einem Punkte an die Fläche gelegten Tangentialebenen berühren sie somit längs Kurven; dieselbe erscheint also als Hüllfläche von Ebenen, die gegen die Horizontalebene gleich geneigt sind. Daraus folgt weiter, daß unsere Fläche eine abwickelbare Fläche ist, deren Erzeugende zu den Mantellinien jenes Rotationskegels parallel sind, die also ebenfalls gleiche Neigung gegen die Horizontalebene haben.

Die

Die Erzeugenden der Fläche von gleichförmiger Neigung sind Falllinien in den zugehörigen Tangentialebenen, da das Gleiche für den genannten Rotationskegel der Fall ist. Erster Spurpunkt einer Erzeugenden und erste Spurlinie ihrer Tangentialebene bilden einen Punkt und die zugehörige Tangente der ersten Spurkurve unserer Fläche. Da aber Falllinie und Spurlinie aufeinander senkrecht stehen, so durchschneiden die Erzeugenden der Fläche alle ihre Horizontalkurven rechtwinklig. Auch die ersten Projektionen dieser Horizontalkurven und der Erzeugenden durchschneiden sich rechtwinklig. Die ersten Projektionen aller Horizontalkurven besitzen das gleiche Normalensystem, es sind äquidistante Kurven als gemeinsame Evolventen der von jenen Normalen umhüllten Kurve r'. Diese Kurve ist die Projektion der Rückkehrkante r unserer Fläche. Läßt man eine Tangente der Rückkehrkante auf ihr ohne Gleiten abrollen, so beschreibt sie die Fläche und jeder ihrer Punkte eine Horizontalkurve derselben. Ein Beispiel giebt die abwickelbare Schraubenfläche (607 flg.).

Durch eine Horizontalkurve und den Neigungswinkel der Er

zeugenden ist eine Fläche von gleichförmiger Neigung bestimmt. Statt der Horizontalkurve kann auch irgend eine andere Kurve, welche auf der Fläche liegen soll, gegeben sein. Durch jeden ihrer Punkte giebt es zwei Erzeugende von der vorgeschriebenen Neigung. Man erhält sie, indem man den Punkt zur Spitze eines Rotationskegels von der gegebenen Neigung macht und durch seine Tangente die beiden Tangentialebenen an diesen Kegel legt; sie berühren denselben in den gesuchten Erzeugenden. Die Fläche kann man hierbei als Hüllfläche kongruenter Rotationskegel mit vertikaler Achse ansehen, deren Spitzen auf der gegebenen Kurve liegen. Ihre erste Spurkurve ist die Hüllkurve der ersten Spurkreise dieser Kegel; sie berührt jeden dieser Kreise in den beiden Punkten, deren Tangenten durch den Spurpunkt derjenigen Geraden gehen, welche die gegebene Kurve in der Spitze des zugehörigen Kegels berührt. Die gegebene Kurve ist Doppelkurve unserer Fläche.

719. Die Fläche von gleichförmiger Neigung, deren erste Spurkurve eine Ellipse ist (Fig. 465). Die Tangentialebenen dieser abwickelbaren Fläche berühren zwei feste Kegelschnitte, nämlich die gegebene Ellipse i und einen unendlich fernen Kreis q; dieser liegt auf dem Richtungskegel, dessen Spitze ein beliebiger Punkt S ist und dessen Mantellinien den Erzeugenden der Fläche parallel laufen. Demnach ist unsere Fläche eine abwickelbare Fläche 4. Klasse (713), für welche und q Doppelkurven sind. Es existieren also noch zwei weitere Doppelkegelschnitte und m, ihre Ebenen gehen durch die große, resp. kleine Achse der Ellipsei und stehen auf deren Ebene senkrecht. Die Ebenen der Kegelschnitte i, 1, m sind Symmetrieebenen der Fläche. Bei der Darstellung nehmen wir П, durch und П, resp. П, parallel zu 7 resp. m. Seien nun O der Mittelpunkt, 44, die große und BB, die kleine Achse der Ellipse ; ferner gebe a die Neigung der Fläche an.

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In jedem Punkte von 7 schneiden sich zwei Erzeugende der Fläche, deren erste Spurpunkte auf i symmetrisch zu A1 liegen. So schneiden sich die Erzeugenden durch B und B1 in den Endpunkten der vertikalen Achse CC1 von 1 (0"C" OC = OB tang a). In der Figur ist von den beiden Mänteln der Fläche durch nur der eine berücksichtigt. Ferner schneiden sich die beiden benachbarten Erzeugenden, deren erste Spurpunkte zu A benachbart sind, in einem Punkte T von 7, dessen erste Projektion 7' der Krümmungsmittelpunkt von i für den Punkt A ist (AT"= (OB)2:OA, LO′′ A′′T" ▲ OAT = ▲ α). Nach 714 ist T eine Spitze der Rückkehr

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kante u unserer Fläche und AT berührt in 7 sowohl / wie u. Hierdurch ist auch die horizontale Achse DD, von I bestimmt; denn A und 7′′ liegen als konjugierte Pole von 7 harmonisch zu DD1, es ist also: (OD)2 = OA. OT" = (OA)2 - (OB)2. Mithin sind D, D, die — Brennpunkte von i und es geht durch die Brennpunkte von i.

Die Kurve m ist eine Hyperbel mit der vertikalen Hauptachse EE1 (0′′E" = OE = OA tang α). Auf der Erzeugenden durch B liegt

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der Punkt V von m, dessen erste Projektion V' der Krümmungsmittelpunkt von i für den Punkt B ist (OBV = L a); V ist eine Spitze von u und BV tangiert u und m in V. Das Quadrat der imaginären Halbachse von m ist gleich: OB.OV', da B und 'konjugierte Pole von m sind. Die Erzeugende h durch den Punkt II von i trägt drei Punkte J, K, L die respective auf den Kurven l, m, u liegen; h' ist die Normale von i in H, L' der zugehörige

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