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leuchtenden Punktes eine leuchtende Fläche (Scheibe, oder Kurve), so giebt es auf der belichteten Fläche dreierlei Stufen, volles Licht, Halbschatten und vollen Schatten. Liegen alle nach einem Punkte der belichteten Fläche gerichteten Lichtstrahlen auf der nämlichen Seite seiner Tangentialebene, wie seine positive Normale, so hat er volles Licht; liegen sie alle auf der anderen Seite, so hat er vollen Eigenschatten, liegen sie auf beiden Seiten, so hat er Halbschatten. Die Grenzkurve zwischen vollem und Halbschatten enthält solche Punkte, deren Tangentialebenen die leuchtende Fläche (Scheibe, oder Kurve) berühren; Gleiches gilt für die Grenzkurve zwischen Halbschatten und Licht. Im letzteren Falle liegen positive Normale und leuchtende Fläche auf der gleichen Seite der betreffenden Tangentialebene, im ersteren auf verschiedenen Seiten von ihr. Die gemeinsame abwickelbare Fläche der leuchtenden und der beleuchteten Fläche berührt diese in den erwähnten beiden Grenzkurven. Nach dem Gesagten besitzt die abwickelbare Fläche zwei verschiedenartige Teile, der eine berührt in der Grenzkurve des vollen Schattens, der andere in der Grenzkurve des vollen Lichtes.

717. Licht, Halb- und voller Schatten, sowie Schlagschatten einer Kugel, die von einer kreisförmigen Scheibe beleuchtet wird (Fig. 464). Durch den Mittelpunkt O der Kugel und den Mittelpunkt M der Scheibe legen wir eine Ebene XL senkrecht zur Ebene der Scheibe; sie ist Symmetrieebene für Kugel und Scheibe und folglich auch für ihre gemeinsame abwickelbare Fläche. Diese Symmetrieebene wollen wir parallel zur ersten Projektionsebene nehmen. Die Ebene der Scheibe sei K, und k ihr Randkreis; der Pol von K in Bezug auf die Kugel sei K; endlich seien J und L harmonische Pole sowohl für k wie für die Kugel. Dann bilden J, K, L und der in vertikaler Richtung unendlich ferne Punkt die Ecken des gemeinsamen Polartetraëders von Scheibe und Kugel. Ist AA, der horizontale Durchmesser der Scheibe und sind BB, seine reellen, oder imaginären Durchstoßpunkte mit der Kugel, so teilen J, L sowohl AA, wie BB, harmonisch. Nun wählen wir die Tangente t in einem Punkte T' von k und legen durch sie die beiden Tangentialebenen an die Kugel. Ihre Berührungspunkte Po und Q liegen entweder auf der Kurve u, die den voll belichteten Teil der Kugel begrenzt, oder auf der Kurve v, welche die Grenze des Vollschattens bildet; es hängt das von der Lage von t gegen die Kugel ab. PQ und t sind konjugierte Polaren in Bezug auf die Kugel; PQ geht also durch K. und steht auf der Ebene Ot senkrecht. Zur Konstruktion von P, Q sei bemerkt, daß sie zunächst in der Polarebene des Punktes t × X liegen, die zu X normal ist und deren Spur in X auf der Verbindungslinie dieses Punktes mit O senkrecht

steht. Projiziert man nun t auf diese Polarebene, so ist KP9 zu dieser Projektion senkrecht, da die konjugierten Polaren t und P9 zu einander normal sind. Der Schatten Po“ auf u“ in der Aufrißebene liegt auf dem Lichtstrahle TP. In der Figur sind einige Hilfslinien weggelassen. Bewegt sich T' und mit ihm seine Tangente t, so beschreibt ihre konjugierte Polare in Bezug auf die Kugel einen Kegel 2. Grades (657) mit dem Scheitel K; seine Mantellinien stehen senkrecht auf den Tangentialebenen eines anderen Kegels mit O als Scheitel und k als Grundkreis. Die Kurven zu und v bilden demnach zusammen die Durchdringungskurve 4. Ordnung von der Kugel und dem Kegel mit dem Scheitel K. Die Schnittpunkte von zu und v mit dem Kugelkreise l in der Symmetrieebene X sind die Berührungspunkte C, C, D, D, der von A1 und A, an l gelegten Tangenten (CD und CD, durch K). Ebenso schneiden zu und v den in der Ebene K der Scheibe liegenden Kugelkreis m in vier Punkten E, F, E, Fo; es sind dies die Berührungspunkte der gemeinsamen Tangenten von k und m. In der Figur sind diese Punkte durch Anwendung einer zur Scheibe parallelen Seitenrißebene konstruiert. Die Tangenten in den Punkten E, F von u und E, F, von v gehen durch K. Da J und L, harmonische Pole sowohl von k wie von m sind, so bilden sie zusammen mit dem unendlich fernen Punkte der Vertikalen das gemeinsame Polardreieck der beiden Kreise k und m. Die vier gemeinsamen Tangenten dieser beiden Kreise bilden aber ein Vierseit, dessen Diagonalen nichts anderes wie die Seiten jenes Polardreieckes sind (vergl. 374). Daraus folgt, daß EE und FF durch J und BF und FE durch L gehen, daß also auch J und L harmonische Pole in Bezug auf den Kegel mit dem Scheitel K sind. Für den Büschel von Flächen 2. Grades, dessen Grundkurve in u und v zerfällt, sind K, J, L und der unendlich ferne Punkt der Vertikalen die Ecken des gemeinsamen Polartetraëders. Die Kurven zu und v liegen hiernach auch auf einem Kegel 2. Grades mit dem Scheitel L., einem Kegel mit dem Scheitel J und einem Cylinder 2. Grades mit vertikalen Mantellinien. Letzterer mag die Symmetrieebene X in dem Kegelschnitte w schneiden; u“ und v“ sind dann Stücke des Kegelschnittes w“, für den J"K"L" ein Polardreieck ist und von dem bereits genügend viele Punkte bekannt sind, um ihn zu konstruieren. Aus u. v" ergiebt sich dann der Aufriß u“, v“ entweder mit Hilfe der Kugel, oder des Kegels mit dem Scheitel K. in einfacher Weise. Sucht man zu den Mantellinien des soeben genannten Cylinders die konjugierten Polaren, so umhüllen dieselben einen Kegelschnitt z in der Ebene X. Die Tangenten von z sind die Polaren der Punkte Von w in Bezug auf den Kugelkreis l; z und w sind also reciproke

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Kegelschnitte in Bezug auf den Kreis l. Die Tangentialebenen in den Punkten von zu oder v schneiden X in den Tangenten von z; die gemeinsame abwickelbare Fläche von Kugel und Scheibe besitzt eine in X liegende Doppelkurve z. Natürlich besitzt sie auch in den Vertikalebenen durch JK und LK Doppelkurven. z geht durch die in X liegenden Schnittpunkte G. und G., der gemeinsamen Tangenten von k und m (G" Pol von E"K" in Bezug auf 1, G." Pol von

EK). Ferner berührt z die Geraden AC, AD, A, C, A, D, in den

Punkten, deren Polaren in Bezug auf l die Tangenten von w in den Punkten C, D, C, D, sind. Diese Berührungspunkte liegen auch auf den Polaren von A resp. A, in Bezug auf z; die Polaren gehen aber durch K und je einen der beiden Punkte, die mit A resp. A., die Strecke GG, harmonisch teilen. Die Tangentialebene in einem Punkte P von u oder v berührt auch den Kreis k in einem Punkte To; die zugehörige Tangente mag AA, in S treffen. Dann ist S der Pol der Vertikalebene durch PK, also S'O' L PK“, so daß sich S" unmittelbar aus Po ergiebt und daraus auch T” und T' (8“T“ tangiert k“ in T“). PT" ist eine Erzeugende der abwickelbaren Fläche; ihr Schnittpunkt Po“ mit der Aufrißebene ist ein Punkt der Schlagschattenkurve u“ oder v“. Damit ist eine punktweise Konstruktion der Kurven u“ und v“ gegeben. Da die Tangentialebene in P aus der Aufrißebene die Tangente von u“ im Punkte Po“ ausschneidet, so geht diese durch den zweiten Spurpunkt S., der Geraden s, in der jene Tangentialebene die Ebene X schneidet (SS/LO/P, S„S“ L ). Je nachdem Po und T" auf der nämlichen oder auf verschiedenen Seiten von so liegen, liegen auch Po“ und T“ auf der gleichen oder auf verschiedenen Seiten von O“M“ = s”. Die abwickelbare Fläche 4. Klasse, deren Erzeugende (z. B. PT) wir soeben bestimmt haben, besitzt eine Rückkehrkurve r; die Projektionen r“ und r“ dieser Kurve werden umhüllt von den Projektionen der Erzeugenden (z. B. von PT" resp. P“T“). Die Kurve r besitzt, wie wir früher gesehen haben, acht Spitzen; von diesen liegen vier auf k und vier auf z. Die Spitzen auf k sind die Berührungspunkte der gemeinsamen Tangenten von k und m; nämlich U, U, W, W; nur die Kreisbogenstücke UV und UW liegen wirklich auf der abwickelbaren Fläche, die beiden anderen verlaufen isoliert. Die Spitzen aufz sind die Berührungspunkte der Tangenten AC, AD, A, C, A, D, nämlich X, Y, X, X; die Kurvenstücke XX und XK liegen auf der Fläche, während die Kurvenstücke XX und VX isoliert verlaufen. 718. Die Flächen von gleichförmiger Neigung. Die Fläche von gleichförmiger Neigung bildet einen besonderen Fall der abwickelbaren Flächen; sie ist dadurch definiert, daß die Tangentialebenen in allen ihren Punkten gleiche Neigung gegen die Horizontalebene zeigen. Alle Tangentialebenen einer solchen Fläche sind demnach zu denjenigen eines Rotationskegels mit vertikaler Achse parallel. Legt man also von einem beliebigen Punkte den Tangentenkegel an die Fläche, so muß er entweder in mehrere Ebenen zerfallen, oder seine Mantellinien müßten zu denen des Rotationskegels parallel sein. Das letztere ist aber unmöglich, wie man beim Betrachten der Tangentenkegel aus den Punkten einer beliebigen Geraden erkennt. Denn jede Ebene durch diese Gerade müßte die Fläche in einer Kurve schneiden, die von einem System paralleler Geraden berührt würde, nämlich den Geraden der Ebene, die zu einer Mantellinie des Rotationskegels parallel laufen. Die aus einem Punkte an die Fläche gelegten Tangentialebenen berühren sie somit längs Kurven; dieselbe erscheint also als Hüllfläche von Ebenen, die gegen die Horizontalebene gleich geneigt sind. Daraus folgt weiter, daß unsere Fläche eine abwickelbare Fläche ist, deren Erzeugende zu den Mantellinien jenes Rotationskegels parallel sind, die also ebenfalls gleiche Neigung gegen die Horizontalebene haben.

Die Erzeugenden der Fläche von gleichförmiger Neigung sind Falllinien in den zugehörigen Tangentialebenen, da das Gleiche für den genannten Rotationskegel der Fall ist. Erster Spurpunkt einer Erzeugenden und erste Spurlinie ihrer Tangentialebene bilden einen Punkt und die zugehörige Tangente der ersten Spurkurve unserer Fläche. Da aber Falllinie und Spurlinie aufeinander senkrecht stehen, so durchschneiden die Erzeugenden der Fläche alle ihre Horizontalkurven rechtwinklig. Auch die ersten Projektionen dieser Horizontalkurven und der Erzeugenden durchschneiden sich rechtwinklig. Die ersten Projektionen aller Horizontalkurven besitzen das gleiche Normalensystem, es sind äquidistante Kurven als gemeinsame Evolventen der von jenen Normalen umhüllten Kurve r“. Diese Kurve ist die Projektion der Rückkehrkante r unserer Fläche. Läßt man eine Tangente der Rückkehrkante auf ihr ohne Gleiten abrollen, so beschreibt sie die Fläche und jeder ihrer Punkte eine Horizontalkurve derselben. Ein Beispiel giebt die abwickelbare Schraubenfläche (607 flg).

Durch eine Horizontalkurve und den Neigungswinkel der Er

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