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punkt vier Tangentialebenen derselben gehen, die natürlich alle Flächen der Schar berühren.

Die Pole einer beliebigen Ebene in Bezug auf alle Flächen der Schar liegen auf einer Geraden.

Alle Flächen 2. Grades, die einer Schar angehören, besitzen ein gemeinsames Polartetraëder. Der Schar gehören vier Kegelschnitte an, die in den Ebenen des Polartetraëders liegen. Natürlich bilden je drei Ecken dieses Tetraëders ein Polardreieck für den in dieser Ebene liegenden Kegelschnitt. Die vier Kegelschnitte sind Doppelkurven der abwickelbaren Fläche. Denn durch die reciproke Raumkurve 4. Ordnung gehen vier Kegelflächen 2. Ordnung, deren Mantellinien je zwei ihrer Punkte tragen, in deren Tangentialebenen also je zwei ihrer Tangenten liegen; mithin schneiden sich die Erzeugenden jener abwickelbaren Fläche paarweise in den Punkten der genannten vier Kegelschnitte.

714. Die vier Doppelkegelschnitte der abwickelbaren Fläche 4. Klasse sind entweder alle vier reell, oder es sind nur zwei reell; oder es ist keiner reell. Im zweiten Fall ist die Schnittlinie der Ebenen der beiden konjugiert imaginären Kegelschnitte reell, im letzten Fall giebt es zwei reelle Geraden, in denen sich die Ebenen der paarweise konjugiert imaginären Kegelschnitte schneiden.

1. Sind die vier Doppelkegelschnitte reell, so ordnen sich die Erzeugenden der abwickelbaren Fläche in Gruppen zu je acht derartig an, daß jede von ihnen von vier anderen Erzeugenden aus der Gruppe getroffen wird; diese gemeinsamen Punkte liegen natürlich auf den Doppelkegelschnitten. Jede Gruppe von acht Erzeugenden gehört einer Regelfläche der Schar an, sie zerfällt in zweimal vier windschiefe Geraden. Die abwickelbare Fläche besteht aus zwei geschlossenen Mänteln, deren jeder eine Rückkehrkurve besitzt; sie berührt deshalb jede Fläche der Schar in zwei getrennten Kurvenzügen.

Die vier Kegelschnitte teilen alle Flächen der Schar in vier Klassen, wenn man alle Flächen der nämlichen Klasse zurechnet, die man kontinuierlich d. h. stets von einer Fläche der Schar zur Nachbarfläche fortschreitend ineinander überführen kann, ohne einen der vier Kegelschnitte zu passieren. Zwei dieser vier Klassen bestehen aus Regelflächen. Die Regelflächen der einen Klasse haben lauter Erzeugende, deren beide Berührungspunkte

mit der abwickelbaren Fläche auf verschiedenen Kurvenzügen liegen; jede solche Erzeugende trägt zwei reelle Berührungspunkte, keine von ihnen gehört der abwickelbaren Fläche an. Insbesondere giebt es zwei Doppelkegelschnitte derart, daß durch jeden ihrer Punkte zwei reelle Erzeugende der abwickelbaren Fläche gehen, und zwar von jedem Mantel eine. Die Flächenmäntel durchdringen sich gegenseitig in diesen beiden Kegelschnitten.

Die Regelflächen der anderen Klasse enthalten je acht Erzeugende der abwickelbaren Fläche, berühren somit die Rückkehrkurve in acht Punkten; die Erzeugenden der Regelfläche berühren die abwickelbare Fläche entweder gar nicht, oder in zwei Punkten des nämlichen Mantels. Insbesondere sind die beiden anderen Doppelkegelschnitte so beschaffen, daß durch ihre Punkte entweder keine reellen Erzeugenden der abwickelbaren Fläche gehen, oder zwei reelle Erzeugende des gleichen Mantels. Jeder Flächenmantel besitzt je einen Teil dieser Kegelschnitte als Doppelkurve, ihre anderen Teile liegen nicht auf der Fläche, sondern verlaufen isoliert. Die Tangenten in den Endpunkten der Kegelschnittstücke, die als wirkliche Doppelkurve auftreten, liegen auf der abwickelbaren Fläche; in diesen Punkten besitzt die Rückkehrkurve Spitzen.

2. Sind nur zwei Doppelkegelschnitte reell, so zerfallen die Flächen der Schar in zwei Klassen; eine unter ihnen besteht aus Regelflächen. Diese enthalten je vier Erzeugende der abwickelbaren Fläche, die zu zwei und zwei windschief sind; sie berühren die Rückkehrkurve in vier Punkten. Die abwickelbare Fläche, wie ihre Rückkehrkurve, bestehen nur aus je einem Teil. Die beiden Doppelkegelschnitte zerfallen in je zwei Teile, von denen der eine wirklich Doppelkurve des Flächenmantels ist, der andere aber isoliert verläuft. In den vier Endpunkten dieser Kegelschnittstücke bildet die Rückkehrkurve Spitzen.

3. Ist kein Doppelkegelschnitt reell, so enthält die Flächenschar nur Regelflächen. Keine Erzeugende der abwickelbaren Fläche trifft eine andere unter ihnen; deshalb giebt es auf jeder Regelfläche nur vier windschiefe Erzeugende von ihr, während alle Geraden der anderen Schar dieser Regelfläche die abwickelbare Fläche in je zwei reellen Punkten berühren. Die abwickelbare Fläche besitzt nur einen Mantel, ihre Rückkehrkurve ist einteilig und ohne Spitzen. Auch die Kurven, in denen die abwickelbare Fläche die Regelflächen der Schar berührt, sind einteilig. Diese Kurven sowohl, wie die Rückkehrkurve verlaufen notwendig in zwei Richtungen ins Unendliche.

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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715. Ganz analog wie die Durchdringungskurve 4. Ordnung zweier Flächen 2. Grades in eine Raumkurve 3. Ordnung und eine Gerade, oder in zwei Kegelschnitte die selbst wieder aus Geradenpaaren bestehen können zerfallen kann, kann auch die abwickelbare Fläche 4. Klasse zerfallen. Sie teilt sich dabei entweder in eine abwickelbare Fläche 3. Klasse und einen Ebenenbüschel, oder in zwei Kegelflächen 2. Ordnung, die selbst wieder aus zwei Ebenenbüscheln bestehen können. So zerfällt die abwickelbare Fläche zweier Kugeln in zwei Rotationskegel.

Die Rückkehrkurve der abwickelbaren Fläche 3. Klasse ist eine Raumkurve 3. Ordnung. Denn nach 682 gehen durch jeden Raumpunkt drei Schmiegungsebenen der Raumkurve 3. Ordnung, nach dem Gesetze der Dualität liegen also in jeder Ebene drei Punkte der genannten Rückkehrkurve. Die Tangenten einer Raumkurve 3. Ordnung bilden sonach die allgemeinste abwickelbare Fläche 3. Klasse.

Jede Schmiegungsebene der Raumkurve 3. Ordnung schneidet die abwickelbare Fläche ihrer Tangenten in einem Kegelschnitt. Denn alle Punkte der Kurve liefern mit irgend einem festen Punkte auf ihr verbunden einen Kegel 2. Ordnung; nach dem Prinzip der Dualität schneiden also alle Schmiegungsebenen jede einzelne unter ihnen in den Tangenten eines Kegelschnittes. Die Schnittlinie zweier Schmiegungsebenen ist für die beiden in ihnen liegenden Kegelschnitte gemeinsame Tangente. Während also die abwickelbare Fläche zweier Kegelschnitte bei allgemeiner gegenseitiger Lage von der 4. Klasse ist, wird sie von der 3. Klasse, sobald beide Kegelschnitte eine gemeinsame Tangente haben.

716. Die Beleuchtung einer Oberfläche durch eine leuchtende Fläche, Scheibe, oder Kurve. Die Lösung dieser Aufgabe ergiebt sich mit Hilfe der abwickelbaren Fläche. Ist nur ein leuchtender Punkt vorhanden, so bildet diejenige Kurve auf der belichteten Oberfläche die Lichtgrenze, deren Punkte ihre Tangentialebenen durch den leuchtenden Punkt schicken. Ein Punkt der Fläche liegt im Lichte oder im Eigenschatten, je nachdem seine positive Normale mit dem leuchtenden Punkte auf derselben oder auf verschiedenen Seiten seiner Tangentialebene liegt. Dabei ist mit dem Worte positiv die Richtung der Normale gemeint, die nicht in den von der Oberfläche eingeschlossenen Raum eindringt. Zugleich ist zu bemerken, daß hier und auch weiterhin für das auffallende Licht auch Schlagschatten eintreten kann. Tritt an Stelle des

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leuchtenden Punktes eine leuchtende Fläche (Scheibe, oder Kurve), so giebt es auf der belichteten Fläche dreierlei Stufen, volles Licht, Halbschatten und vollen Schatten. Liegen alle nach einem Punkte der belichteten Fläche gerichteten Lichtstrahlen auf der nämlichen Seite seiner Tangentialebene, wie seine positive Normale, so hat er volles Licht; liegen sie alle auf der anderen Seite, so hat er vollen Eigenschatten, liegen sie auf beiden Seiten, so hat er Halbschatten. Die Grenzkurve zwischen vollem und Halbschatten enthält solche Punkte, deren Tangentialebenen die leuchtende Fläche (Scheibe, oder Kurve) berühren; Gleiches gilt für die Grenzkurve zwischen Halbschatten und Licht. Im letzteren Falle liegen positive Normale und leuchtende Fläche auf der gleichen Seite der betreffenden Tangentialebene, im ersteren auf verschiedenen Seiten von ihr. Die gemeinsame abwickelbare Fläche der leuchtenden und der beleuchteten Fläche berührt diese in den erwähnten beiden Grenzkurven. Nach dem Gesagten besitzt die abwickelbare Fläche zwei verschiedenartige Teile, der eine berührt in der Grenzkurve des vollen Schattens, der andere in der Grenzkurve des vollen Lichtes.

717. Licht, Halb- und voller Schatten, sowie Schlagschatten einer Kugel, die von einer kreisförmigen Scheibe beleuchtet wird (Fig. 464). Durch den Mittelpunkt O der Kugel und den Mittelpunkt M der Scheibe legen wir eine Ebene Σ senkrecht zur Ebene der Scheibe; sie ist Symmetrieebene für Kugel und Scheibe und folglich auch für ihre gemeinsame abwickelbare Fläche. Diese Symmetrieebene wollen wir parallel zur ersten Projektionsebene nehmen. Die Ebene der Scheibe sei K, und k ihr Randkreis; der Pol von K in Bezug auf die Kugel sei K; endlich seien J und I harmonische Pole sowohl für k wie für die Kugel. Dann bilden J, K, L und der in vertikaler Richtung unendlich ferne Punkt die Ecken des gemeinsamen Polartetraëders von Scheibe und Kugel. Ist AA, der horizontale Durchmesser der Scheibe und sind BB1 seine reellen, oder imaginären Durchstoßpunkte mit der Kugel, so teilen J, L sowohl A、 wie BB1 harmonisch. Nun wählen wir die Tangente t in einem Punkte T von k und legen durch sie die beiden Tangentialebenen an die Kugel. Ihre Berührungspunkte P und Q liegen entweder auf der Kurve u, die den voll belichteten Teil der Kugel begrenzt, oder auf der Kurve v, welche die Grenze des Vollschattens bildet; es hängt das von der Lage von t gegen die Kugel ab. PQ und t sind konjugierte Polaren in Bezug auf die Kugel; PQ geht also durch K und steht auf der Ebene Ot senkrecht. Zur Konstruktion von P, Q sei bemerkt, daß sie zunächst in der Polar

ebene des Punktes tΣ liegen, die zu Σ normal ist und deren Spur in auf der Verbindungslinie dieses Punktes mit O senkrecht

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steht. Projiziert man nun t auf diese Polarebene, so ist KPQ zu dieser Projektion senkrecht, da die konjugierten Polaren t und PQ zu einander normal sind. Der Schatten P* auf u* in der Aufriß

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