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aber auch, daß jede Schmiegungsebene jener Raumkurve die abwickelbare Fläche längs der zugehörigen Tangente oder Erzeugenden berührt; so erschien die Fläche als Hüllfläche der Schmiegungsebenen. Wir gehen nun von einer Ebene aus, die sich nach irgend einem Gesetze stetig bewegt, jedoch so, daß sie nur einfach unendlich viele Lagen annimmt, daß also durch einen Raumpunkt im allgemeinen nur eine endliche Anzahl dieser Ebenen geht. Von der Bewegung wird vorausgesetzt, daß sie stetig sei, d. h. daß es für jede Lage der Ebene eine bestimmte Gerade gebe von folgender Beschaffenheit. Nähert sich die bewegte Ebene dieser Lage von der einen oder anderen Seite, so muß sich ihre Schnittgerade mit der festen Ebene der genannten Geraden unbegrenzt nähern; letztere kann als Schnittlinie benachbarter Ebenen angesehen werden. Wir erhalten so eine stetige Folge von Geraden; je zwei benachbarte schneiden sich in einem Punkte. Die Reihe dieser Punkte erfüllt eine Raumkurve, deren Tangenten jene Geraden und deren Schmiegungsebenen jene Ebenen sind. Punkt und Schmiegungsebene spielen bei der Raumkurve eine gleichartige Rolle, drei benachbarte Punkte liefern eine Schmiegungsebene, drei benachbarte Schmiegungsebenen einen Punkt der Raumkurve. In der That entsprechen bei einer reciproken Raum verwandtschaft (vergl. 657) den Punkten einer Raumkurve die Schmiegungsebenen einer zweiten und den Schmiegungsebenen der ersten die Punkte der zweiten. 712. Legt man einer Ebene zwei Bedingungen auf, so kann sie noch unendlich viele Lagen einnehmen; alle diese Ebenen hüllen eine abwickelbare Fläche ein. Daher entsteht eine abwickelbare Fläche, wenn eine Ebene sich so bewegt, daß sie fortwährend zwei feste Flächen, die sogenannten Leitflächen, berührt. Dieser Erzeugung der abwickelbaren Fläche entspricht bei reciproker Raum verwandtschaft die Erzeugung einer Raumkurve als Durchdringung zweier Flächen. Die Tangente in einem Punkte der Durchdringungskurve ist der Schnitt der zugehörigen Tangentialebenen der beiden Flächen. Entsprechend ist die Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte, in denen die bewegliche Ebene die Leitflächen berührt, eine Erzeugende der abwickelbaren Fläche; diese berührt die Leitflächen je längs einer Kurve. An Stelle der Leitflächen, welche von der beweglichen Ebene berührt werden, können auch Raumkurven oder ebene Kurven als Leitkurven treten. Dem entspricht die Erzeugung einer Raumkurve als Durchdringung von abwickelbaren oder von Kegelflächen. Jede Hüllebene der abwickelbaren Fläche enthält die bezüglichen Tangenten der Leitkurven. Es wurde früher bemerkt, daß die Raumkurve, deren Tangenten die abwickelbare Fläche bilden, eine Rückkehrkurve dieser Fläche ist, daß also jeder ebene Schnitt dort, wo er diese Kurve trifft, Spitzen aufweist. Die abwickelbare Fläche besitzt auch im allgemeinen eine Doppelkurve, in deren Punkten sich je zwei Erzeugende treffen, da es im allgemeinen Ebenen giebt, die die Rückkehrkurve in zwei Punkten berühren. Nur bei der abwickelbaren Fläche der Raumkurve 3. Ordnung (vergl. 515flg) ist dieses unmöglich, da jede Ebene, die diese Kurve berührt, sie nur noch in einem weiteren Punkte trifft. Die Schnittpunkte der Doppelund der Rückkehrkurve sind entweder stationäre Punkte oder Spitzen für die letztere. Denn durch einen Punkt der Doppelkurve gehen zwei Tangenten der Rückkehrkurve, rückt also dieser Punkt der Rückkehrkurve unendlich nahe, so rücken auch die beiden Berührungspunkte der zugehörigen Tangenten unendlich nahe, die Ebene dieser Tangenten hat also vier unendlich nahe Punkte mit der Rückkehrkurve gemein, so daß beim Grenzübergang entweder ein stationärer Punkt oder eine Spitze erscheint. 713. Als ein Beispiel der abwickelbaren Flächen ist bereits früher die abwickelbare Schraubenfläche behandelt worden (vergl. 607–611), worauf hier hingewiesen sein mag. Hier soll besonders auf die Flächen eingegangen werden, die zu den Raumkurven 4. Ordnung (vergl. 683 flg) in reciproker Verwandtschaft stehen. Die wesentlichen Eigenschaften dieser Flächen sind zu denjenigen der Raumkurven 4. Ordnung dualistisch und können hiernach sofort ausgesprochen werden. Dabei ist zu beachten, daß bei reciproker Verwandtschaft einer Fläche 2. Grades wieder eine Fläche 2. Grades, einer Regelfläche wieder eine Regelfläche entspricht; jedem Punkt und seiner Polarebene in Bezug auf die erste Fläche entspricht eine Ebene und ihr Pol in Bezug auf die zweite und umgekehrt. Wir erhalten also die Resultate: Es giebt eine Fläche 2. Grades, die neun gegebene Ebenen berührt. Es giebt unendlich viele Flächen 2. Grades, die acht gegebene Ebenen berühren, sie werden alle von der nämlichen abwickelbaren Fläche 4. Klasse umhüllt, ihre Gesamtheit wird als Flächen schar bezeichnet. Legt man also an zwei Flächen der Schar die gemeinsame abwickelbare Fläche, so hat sie die gleiche Eigenschaft für je zwei andere Flächen der Schar. Die Fläche heißt von der 4. Klasse, weil durch jeden Raumpunkt vier Tangentialebenen derselben gehen, die natürlich alle Flächen der Schar berühren.

Die Pole einer beliebigen Ebene in Bezug auf alle Flächen der Schar liegen auf einer Geraden.

Alle Flächen 2. Grades, die einer Schar angehören, besitzen ein gemeinsames Polartetraëder. Der Schar gehören vier Kegelschnitte an, die in den Ebenen des Polartetraëders liegen. Natürlich bilden je drei Ecken dieses Tetraëders ein Polardreieck für den in dieser Ebene liegenden Kegelschnitt. Die vier Kegelschnitte sind Doppelkurven der abwickelbaren Fläche. Denn durch die reciproke Raumkurve 4. Ordnung gehen vier Kegelflächen 2. Ordnung, deren Mantellinien je zwei ihrer Punkte tragen, in deren Tangentialebenen also je zwei ihrer Tangenten liegen; mithin schneiden sich die Erzeugenden jener abwickelbaren Fläche paarweise in den Punkten der genannten vier Kegelschnitte.

714. Die vier Doppelkegelschnitte der abwickelbaren Fläche 4. Klasse sind entweder alle vier reell, oder es sind nur zwei reell; oder es ist keiner reell. Im zweiten Fall ist die Schnittlinie der Ebenen der beiden konjugiert imaginären Kegelschnitte reell, im letzten Fall giebt es zwei reelle Geraden, in denen sich die Ebenen der paarweise konjugiert imaginären Kegelschnitte schneiden.

1. Sind die vier Doppelkegelschnitte reell, so ordnen sich die Erzeugenden der abwickelbaren Fläche in Gruppen zu je acht derartig an, daß jede von ihnen von vier anderen Erzeugenden aus der Gruppe getroffen wird; diese gemeinsamen Punkte liegen natürlich auf den Doppelkegelschnitten. Jede Gruppe von acht Erzeugenden gehört einer Regelfläche der Schar an, sie zerfällt in zweimal vier windschiefe Geraden. Die abwickelbare Fläche besteht aus zwei geschlossenen Mänteln, deren jeder eine Rückkehrkurve besitzt; sie berührt deshalb jede Fläche der Schar in zwei getrennten Kurvenzügen.

Die vier Kegelschnitte teilen alle Flächen der Schar in vier Klassen, wenn man alle Flächen der nämlichen Klasse zurechnet, die man kontinuierlich – d. h. stets von einer Fläche der Schar zur Nachbarfläche fortschreitend – ineinander überführen kann, ohne einen der vier Kegelschnitte zu passieren. Zwei dieser vier Klassen bestehen aus Regelflächen. Die Regelflächen der einen Klasse haben lauter Erzeugende, deren beide Berührungspunkte mit der abwickelbaren Fläche auf verschiedenen Kurvenzügen liegen; jede solche Erzeugende trägt zwei reelle Berührungspunkte, keine von ihnen gehört der abwickelbaren Fläche an. Insbesondere giebt es zwei Doppelkegelschnitte derart, daß durch jeden ihrer Punkte zwei reelle Erzeugende der abwickelbaren Fläche gehen, und zwar von jedem Mantel eine. Die Flächenmäntel durchdringen sich gegenseitig in diesen beiden Kegelschnitten. Die Regelflächen der anderen Klasse enthalten je acht Erzeugende der abwickelbaren Fläche, berühren somit die Rückkehrkurve in acht Punkten; die Erzeugenden der Regelfläche berühren die abwickelbare Fläche entweder gar nicht, oder in zwei Punkten des nämlichen Mantels. Insbesondere sind die beiden anderen Doppelkegelschnitte so beschaffen, daß durch ihre Punkte entweder keine reellen Erzeugenden der abwickelbaren Fläche gehen, oder zwei reelle Erzeugende des gleichen Mantels. Jeder Flächenmantel besitzt je einen Teil dieser Kegelschnitte als Doppelkurve, ihre anderen Teile liegen nicht auf der Fläche, sondern verlaufen isoliert. Die Tangenten in den Endpunkten der Kegelschnittstücke, die als wirkliche Doppelkurve auftreten, liegen auf der abwickelbaren Fläche; in diesen Punkten besitzt die Rückkehrkurve Spitzen. 2. Sind nur zwei Doppelkegelschnitte reell, so zerfallen die Flächen der Schar in zwei Klassen; eine unter ihnen besteht aus Regelflächen. Diese enthalten je vier Erzeugende der abwickelbaren Fläche, die zu zwei und zwei windschief sind; sie berühren die Rückkehrkurve in vier Punkten. Die abwickelbare Fläche, wie ihre Rückkehrkurve, bestehen nur aus je einem Teil. Die beiden Doppelkegelschnitte zerfallen in je zwei Teile, von denen der eine wirklich Doppelkurve des Flächenmantels ist, der andere aber isoliert verläuft. In den vier Endpunkten dieser Kegelschnittstücke bildet die Rückkehrkurve Spitzen. 3. Ist kein Doppelkegelschnitt reell, so enthält die Flächenschar nur Regelflächen. Keine Erzeugende der abwickelbaren Fläche trifft eine andere unter ihnen; deshalb giebt es auf jeder Regelfläche nur vier windschiefe Erzeugende von ihr, während alle Geraden der anderen Schar dieser Regelfläche die abwickelbare Fläche in je zwei reellen Punkten berühren. Die abwickelbare Fläche besitzt nur einen Mantel, ihre Rückkehrkurve ist einteilig und ohne Spitzen. Auch die Kurven, in denen die abwickelbare Fläche die Regelflächen der Schar berührt, sind einteilig. Diese Kurven sowohl, wie die Rückkehrkurve verlaufen notwendig in zwei Rich

tungen ins Unendliche. ROHN u. PAPPERITZ. II. 16

715. Ganz analog wie die Durchdringungskurve 4. Ordnung zweier Flächen 2. Grades in eine Raumkurve 3. Ordnung und eine Gerade, oder in zwei Kegelschnitte – die selbst wieder aus Geradenpaaren bestehen können – zerfallen kann, kann auch die abwickelbare Fläche 4. Klasse zerfallen. Sie teilt sich dabei entweder in eine abwickelbare Fläche 3. Klasse und einen Ebenenbüschel, oder in zwei Kegelflächen 2. Ordnung, die selbst wieder aus zwei Ebenenbüscheln bestehen können. So zerfällt die abwickelbare Fläche zweier Kugeln in zwei Rotationskegel. Die Rückkehrkurve der abwickelbaren Fläche 3. Klasse ist eine Raumkurve 3. Ordnung. Denn nach 682 gehen durch jeden Raumpunkt drei Schmiegungsebenen der Raumkurve 3. Ordnung, nach dem Gesetze der Dualität liegen also in jeder Ebene drei Punkte der genannten Rückkehrkurve. Die Tangenten einer Raumkurve 3. Ordnung bilden sonach die allgemeinste abwickelbare Fläche 3. Klasse. Jede Schmiegungsebene der Raumkurve 3. Ordnung schneidet die abwickelbare Fläche ihrer Tangenten in einem Kegelschnitt. Denn alle Punkte der Kurve liefern mit irgend einem festen Punkte auf ihr verbunden einen Kegel 2. Ordnung; nach dem Prinzip der Dualität schneiden also alle Schmiegungsebenen jede einzelne unter ihnen in den Tangenten eines Kegelschnittes. Die Schnittlinie zweier Schmiegungsebenen ist für die beiden in ihnen liegenden Kegelschnitte gemeinsame Tangente. Während also die abwickelbare Fläche zweier Kegelschnitte bei allgemeiner gegenseitiger Lage von der 4. Klasse ist, wird sie von der 3. Klasse, sobald beide Kegelschnitte eine gemeinsame Tangente haben. 716. Die Beleuchtung einer Oberfläche durch eine leuchtende Fläche, Scheibe, oder Kurve. Die Lösung dieser Aufgabe ergiebt sich mit Hilfe der abwickelbaren Fläche. Ist nur ein leuchtender Punkt vorhanden, so bildet diejenige Kurve auf der belichteten Oberfläche die Lichtgrenze, deren Punkte ihre Tangentialebenen durch den leuchtenden Punkt schicken. Ein Punkt der Fläche liegt im Lichte oder im Eigenschatten, je nachdem seine positive Normale mit dem leuchtenden Punkte auf derselben oder auf verschiedenen Seiten seiner Tangentialebene liegt. Dabei ist mit dem Worte positiv die Richtung der Normale gemeint, die nicht in den von der Oberfläche eingeschlossenen Raum eindringt. Zugleich ist zu bemerken, daß hier und auch weiterhin für das auffallende Licht auch Schlagschatten eintreten kann. Tritt an Stelle des

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