lichen Verhältnis. In gleicher Weise findet man die andere Erzeugende h durch den Scheitel; damit ist dann Scheitel und Achse der Fläche gefunden. Die Ebenen der Hauptschnitte durch die Achse halbieren die Winkel der Erzeugenden g und h; die Hauptschnitte sind zwei Parabeln i und k.

In Fig. 462 ist П1⁄2 parallel zu i und П parallel zu k gewählt. Kennt man die Hauptebenen und eine Erzeugende des Paraboloides,

so kennt man noch drei weitere, die zu ihr symmetrisch hinsichtlich der Hauptebenen liegen. Die Fläche ist dann bestimmt, die Scheitelerzeugenden und die Hauptschnitte können unmittelbar angegeben werden. In der Figur sind vier symmetrische Erzeugende als Begrenzung der Fläche genommen.

Da hier alle Erzeugenden der einen Schar zur Ebene ag parallel sind, wo a die Achse und g eine Erzeugende im Scheitel ist, so ist die Ebene durch eine beliebige Erzeugende e, die zu ag parallel ist, auch zur benachbarten Erzeugenden parallel. Der Striktionslinie gehört also derjenige Punkt von e an, dessen Tangentialebene auf ag senkrecht steht; mit anderen Worten: alle Punkte, deren Tan

gentialebenen auf ag senkrecht stehen, gehören einer Striktionslinie an. Die Striktionslinie ist also eine Parabel p, deren Ebene durch die Achse a geht und alle zu ag normalen Sehnen der Fläche halbiert. Ist n die zu g senkrechte Tangente im Scheitel, so liegen gh'n'p' harmonisch, oder es ist: H'P' = H'N', wenn H', N', P' die Schnittpunkte von h', n', p' mit einer Erzeugenden sind. Aus dem Grundriß p' ergiebt sich der Aufriß p" und der Seitenriß p".

710. Eine Striktionslinie des Hyperboloides zu bestimmen. Die Ebene der Kehlellipse b sei zu П1 parallel und ihre

allele Ellipsen a und

c begrenzt (Fig. 463). Um auf einer beliebigen Erzeugenden e den Punkt P der Striktionslinie s zu finden, verfahren wir folgendermaßen. Die Ebene durch e und den Flächenmittelpunkt O hat in den parallelen Ebenen von b resp. a die parallelen Spuren QO resp. EJ(Q= e × b, = ex a). In Q

E1

errichten wir auf der Ebene e die Normale QN, mit N als Spurpunkt; dann ist der Berührungspunkt P der Ebene Wir benutzen hierbei die welche die großen Achsen Ziehen wir eine beliebige Eo und Eo auf ao und

eN1 ein Punkt der Striktionslinie. zu a und b affinen Kreise a° und bo, dieser Ellipsen als Durchmesser haben. Tangente eo an 6o mit den Endpunkten dazu die Normale EJ, welche die große Achse von a in J schneidet, und suchen die affinen Punkte Ę und E' zu E° und

1

1

E, so ist der Berührungspunkt von EE mit b' und es ist Q'O' || EJ. Denn in der affinen Figur stehen die entsprechenden Geraden auf e senkrecht. Q'N ist senkrecht zu JE1; QL1 ist eine Falllinie der Ebene e0, wenn L1 = JE1 × Q'N1 ist. Da nun QNQZ1 ist, so erhalten wir QEQN1 durch Umlegen dieser Geraden um LQ' N1 (QoQ′ ± 1Q', QoX′ = (C" + x)), und somit ist N1 bestimmt. E11 schneidet a noch in einem Punkte F1, er ist Spurpunkt einer Erzeugenden der zweiten Schar, die e in dem gesuchten Punkte P trifft. Gehen wir wieder zu dem affinen Punkte F° auf ao über (E,°F und EF, schneiden sich auf der großen Achse von a in K) und bestimmen Fo auf ao, so daß E°Fo E°F ° ist, dann ist der zu Po = EoE1° × F°F1° affine Punkt P′ (PoP' ■ A'B') ein Punkt der Horizontalprojektion s' der Striktionslinie. Der Aufriß P" geht unmittelbar daraus hervor. Die Striktionslinie schneidet die Kehlellipse in den Scheitelpunkten und ist symmetrisch zu den Achsen der Fläche.

1

0

1

1

0

=

ZWÖLFTES KAPITEL.

Verschiedene Flächen.

Abwickelbare Flächen.

711. In den vorausgehenden Kapiteln wurden bereits drei große Klassen von Flächen behandelt, die Rotations-, Schraubenflächen und Flächen 2. Grades. Da sie von größerer Bedeutung in der Praxis sind, wurden sie ausführlicher studiert, während wir die übrigen Flächen in ein Kapitel zusammenfassen und nur einige wichtige näher betrachten wollen. Schon die genannten Flächen konnten als Beispiele der Erzeugung von Flächen durch Bewegung von Kurven oder Flächen dienen und wir wollen hier noch eine Reihe weiterer Flächen untersuchen, die sich ebenfalls durch Bewegung erzeugen lassen. Wir beginnen zunächst mit den abwickelbaren Flächen, deren fundamentale Eigenschaften schon früher in 454-466 klar gelegt wurden. Als Ausgangspunkt wählten wir

dort die Raumkurve, deren Tangenten die abwickelbare Fläche bilden; so war dieselbe durch Bewegung einer Geraden definiert, die tangential an einer Raumkurve entlang gleitet. Wir erkannten

aber auch, daß jede Schmiegungsebene jener Raumkurve die abwickelbare Fläche längs der zugehörigen Tangente oder Erzeugenden berührt; so erschien die Fläche als Hüllfläche der Schmiegungsebenen.

Wir gehen nun von einer Ebene aus, die sich nach irgend einem Gesetze stetig bewegt, jedoch so, daß sie nur einfach unendlich viele Lagen annimmt, daß also durch einen Raumpunkt im allgemeinen nur eine endliche Anzahl dieser Ebenen geht. Von der Bewegung wird vorausgesetzt, daß sie stetig sei, d. h. daß es für jede Lage der Ebene eine bestimmte Gerade gebe von folgender Beschaffenheit. Nähert sich die bewegte Ebene dieser Lage von der einen oder anderen Seite, so muß sich ihre Schnittgerade mit der festen Ebene der genannten Geraden unbegrenzt nähern; letztere kann als Schnittlinie benachbarter Ebenen angesehen werden. Wir erhalten so eine stetige Folge von Geraden; je zwei benachbarte schneiden sich in einem Punkte. Die Reihe dieser Punkte erfüllt eine Raumkurve, deren Tangenten jene Geraden und deren Schmiegungsebenen jene Ebenen sind. Punkt und Schmiegungsebene spielen bei der Raumkurve eine gleichartige Rolle, drei benachbarte Punkte liefern eine Schmiegungsebene, drei benachbarte Schmiegungsebenen einen Punkt der Raumkurve. In der That entsprechen bei einer reciproken Raumverwandtschaft (vergl. 657) den Punkten einer Raumkurve die Schmiegungsebenen einer zweiten und den Schmiegungsebenen der ersten die Punkte der zweiten.

712. Legt man einer Ebene zwei Bedingungen auf, so kann sie noch unendlich viele Lagen einnehmen; alle diese Ebenen hüllen eine abwickelbare Fläche ein. Daher entsteht eine abwickelbare Fläche, wenn eine Ebene sich so bewegt, daß sie fortwährend zwei feste Flächen, die sogenannten Leitflächen, berührt. Dieser Erzeugung der abwickelbaren Fläche entspricht bei reciproker Raumverwandtschaft die Erzeugung einer Raumkurve als Durchdringung zweier Flächen. Die Tangente in einem Punkte der Durchdringungskurve ist der Schnitt der zugehörigen Tangentialebenen der beiden Flächen. Entsprechend ist die Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte, in denen die bewegliche Ebene die Leitflächen berührt, eine Erzeugende der abwickelbaren Fläche; diese berührt die Leitflächen je längs einer Kurve. An Stelle der Leitflächen, welche von der beweglichen Ebene berührt werden, können auch Raumkurven oder ebene Kurven als Leitkurven treten. Dem entspricht die Erzeugung einer Raumkurve als Durchdringung von abwickelbaren oder von Kegelflächen. Jede Hüll

ebene der abwickelbaren Fläche enthält die bezüglichen Tangenten der Leitkurven.

Es wurde früher bemerkt, daß die Raumkurve, deren Tangenten die abwickelbare Fläche bilden, eine Rückkehrkurve dieser Fläche ist, daß also jeder ebene Schnitt dort, wo er diese Kurve trifft, Spitzen aufweist. Die abwickelbare Fläche besitzt auch im allgemeinen eine Doppelkurve, in deren Punkten sich je zwei Erzeugende treffen, da es im allgemeinen Ebenen giebt, die die Rückkehrkurve in zwei Punkten berühren. Nur bei der abwickelbaren Fläche der Raumkurve 3. Ordnung (vergl. 515 flg.) ist dieses unmöglich, da jede Ebene, die diese Kurve berührt, sie nur noch in einem weiteren Punkte trifft. Die Schnittpunkte der Doppelund der Rückkehrkurve sind entweder stationäre Punkte oder Spitzen für die letztere. Denn durch einen Punkt der Doppelkurve gehen zwei Tangenten der Rückkehrkurve, rückt also dieser Punkt der Rückkehrkurve unendlich nahe, so rücken auch die beiden. Berührungspunkte der zugehörigen Tangenten unendlich nahe, die Ebene dieser Tangenten hat also vier unendlich nahe Punkte mit der Rückkehrkurve gemein, so daß beim Grenzübergang entweder ein stationärer Punkt oder eine Spitze erscheint.

713. Als ein Beispiel der abwickelbaren Flächen ist bereits früher die abwickelbare Schraubenfläche behandelt worden (vergl. 607-611), worauf hier hingewiesen sein mag. Hier soll besonders auf die Flächen eingegangen werden, die zu den Raumkurven 4. Ordnung (vergl. 683 flg.) in reciproker Verwandtschaft stehen. Die wesentlichen Eigenschaften dieser Flächen sind zu denjenigen der Raumkurven 4. Ordnung dualistisch und können hiernach. sofort ausgesprochen werden. Dabei ist zu beachten, daß bei reciproker Verwandtschaft einer Fläche 2. Grades wieder eine Fläche 2. Grades, einer Regelfläche wieder eine Regelfläche entspricht; jedem Punkt und seiner Polarebene in Bezug auf die erste Fläche entspricht eine Ebene und ihr Pol in Bezug auf die zweite und umgekehrt. Wir erhalten also die Resultate:

Es giebt eine Fläche 2. Grades, die neun gegebene Ebenen berührt. Es giebt unendlich viele Flächen 2. Grades, die acht gegebene Ebenen berühren, sie werden alle von der nämlichen abwickelbaren Fläche 4. Klasse umhüllt, ihre Gesamtheit wird als Flächenschar bezeichnet. Legt man also an zwei Flächen der Schar die gemeinsame abwickelbare Fläche, so hat sie die gleiche Eigenschaft für je zwei andere Flächen der Schar. Die Fläche heißt von der 4. Klasse, weil durch jeden Raum