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zweiten Spur einer Ebene, die durch a parallel zu c geht; ziehen wir ebenso B„H+ CC', so ist BH die Projektion der zweiten Spur einer Ebene, die durch b parallel zu c geht. Beide Ebenen schneiden sich in k; die Projektion ihres zweiten Spurpunktes ist K/=A, Gx BH (k"Ic). Machen wir BLHA, A, und CMH A, A,“, so ist J’ – B„Lx C, M die Projektion des zweiten Spurpunktes von ( |a). Nun sind von D, die beiden Tangenten an den Kegelschnitt u“ zu legen, von dem wir fünf Tangenten a, b, c, i, k“ kennen. Es schneiden aber alle Tangenten von u“ auf zwei festen Tangenten, etwa c' und k“, projektive Punktreihen aus; verbinden wir die Punkte dieser Reihen mit D, so erhalten wir zwei projektive Strahlbüschel; ihre sich selbst entsprechenden Strahlen e” und f“ sind die gesuchten Tangenten. Die Strahlen des ersten Büschels laufen von D, nach c' X a‘, c' X b, c x , die entsprechenden Strahlen des zweiten Büschels von D, nach k“ x a, k“ x b und k" X c'. Wählen wir jetzt einen Kreis, der den zweiten Strahl des ersten Büschels in D, berührt, so liefern die drei Strahlen dieses Büschels auf dem Kreise die Punkte P, D, und Q. Schneidet der Kreis den zweiten Strahl des zweiten Büschels in R, so ist das neue Strahlbüschel R. (P, D, Q, . . . ) zu dem ersten Büschel projektiv und zu dem zweiten perspektiv. Die entsprechenden Strahlen des zweiten und des dritten Strahlbüschels schneiden sich in Punkten einer Geraden s, auf der die Punkte RP× D„N=S und RQx D, O=T" liegen (N=k"><a, O= k“Xi'). s trifft den Kreis in X und Y, und D„X und DV sind die gesuchten Tangenten e und f'. Durch den Schnittpunkt U von fund c (U" =f">< c) legen wir eine Ebene parallel zu TT, und TT,; diese Ebene teilt die Geraden A, A, B, B, CC, FH, in dem nämlichen Verhältnisse, wobei F, F. die Spurpunkte von fbedeuten. Bestimmen wir also V" auf A, A, so, daß WA,: W4/=U/C: U/C" wird, so ist UWeine zu TT, und TI, parallele Gerade der Ebene af; demnach ist: A, Fi | AF" [U"W", außerdem wird B„F | B„F“ und CF | CF". Ganz analog ergeben sich die Spurpunkte E und E., von e. Die ganze Konstruktion ist in schiefer Projektion ausgeführt; will man zur orthogonalen Projektion übergehen, so hat man noch E- und F-" parallel zu D„D,“ um die Strecke D, D,“ nach E“ und F“ zu verschieben. 708. Striktionslinien der Regelflächen 2. Grades. Faßt man die eine Schar von Erzeugenden einer Regelfläche ins Auge, so giebt es auf jeder Erzeugenden einen Punkt, der von der benachbarten, unendlich nahen Erzeugenden einen kleineren Abstand hat wie jeder andere. Der Ort dieser Punkte bildet eine Kurve, die Striktionslinie; zu jeder Schar gehört eine Striktionslinie. Auf jeder Erzeugenden g gehört derjenige Punkt der Striktionslinie an, durch den die gemeinsame Normale zu ihr und der Nachbargeraden g, geht. Legt man durch g, eine erste Ebene parallel zu g und dann eine zweite senkrecht zu jener, so schneidet die letztere g in einem Punkte der Striktionslinie. Nun schneidet jede Ebene durch g, aus der Fläche noch eine Erzeugende der anderen Schar aus, die im allgemeinen g im Endlichen trifft. Ist jedoch die Ebene E durch g, parallel zu g, so muß sie eine Erzeugende der zweiten Schar enthalten, die zu g parallel ist; diese Ebene enthält also zwei parallele Erzeugende, d. h. sie berührt die Fläche in dem unendlich fernen Punkt von g. Eine Ebene A durch g, senkrecht zu E schneidet die Fläche in einer Erzeugenden der anderen Schar, die g in dem Punkte der Striktionslinie und g, in dem Berührungspunkte der Ebene trifft; beide Punkte sind aber unendlich nahe und können durch einander ersetzt werden. In jedem Punkte der Striktionslinie steht also die Tangentialebene senkrecht auf der Ebene, welche durch die bezügliche Erzeugende und die dazu parallele Erzeugende der anderen Schar geht, also den Mittelpunkt enthält. 709. Das hyperbolische Paraboloid und seine Striktionslinien. Die Achse des Paraboloides mag senkrecht zum Grundriß sein, dann projizieren sich die Erzeugenden beider Scharen als Parallelen. Ist etwa ursprünglich ein windschiefes Viereck ABCD gegeben, dessen Seiten auf dem Paraboloide liegen sollen, so erhält man den Durchmesser in A, indem man die zu CD parallele Ebene durch AB schneidet mit der zu BC parallelen Ebene durch AD. Nun ist die orthogonale Projektion des Vierecks ABCD auf eine zur Durchmesserrichtung normale Ebene TT, ein Parallelogramm AB"C"D". Im Scheitel S des Paraboloides, dem Endpunkt seiner Achse, stehen die Erzeugenden auf der Achse senkrecht, sind also zu TT, parallel. Legt man durch A und B Ebenen parallel zu TT, und schneiden diese CD in A und B, so teilt jede zu TT, parallele Ebene die Strecken AB und A, B, in dem nämlichen Verhältnis. Die Verbindungslinie dieser Teilpunkte ist eine Erzeugende der Fläche, wenn ihre Projektion zu A“D und C/B“ parallel ist, und zwar ist sie dann die eine Erzeugende durch den Scheitel. Schneiden sich also A"A", und BB“, in E" und geht g' durch E" parallel zu A“D, so ist g' die Projektion einer Erzeugenden durch den Scheitel S, d. h. S" liegt auf g/. Denn g' teilt AB“ und A, B, in dem nämlichen Verhältnis. In gleicher Weise findet man die andere Erzeugende h durch den Scheitel; damit ist dann Scheitel und Achse der Fläche gefunden. Die Ebenen der Hauptschnitte durch die Achse halbieren die Winkel der Erzeugenden g und h; die Hauptschnitte sind zwei Parabeln i und k. In Fig. 462 ist TT, parallel zu i und TT, parallel zu k gewählt. Kennt man die Hauptebenen und eine Erzeugende des Paraboloides,

Fig. 462.

so kennt man noch drei weitere, die zu ihr symmetrisch hinsichtlich der Hauptebenen liegen. Die Fläche ist dann bestimmt, die Scheitelerzeugenden und die Hauptschnitte können unmittelbar angegeben werden. In der Figur sind vier symmetrische Erzeugende als Begrenzung der Fläche genommen. Da hier alle Erzeugenden der einen Schar zur Ebene ag parallel sind, wo a die Achse und g eine Erzeugende im Scheitel ist, so ist die Ebene durch eine beliebige Erzeugende e, die zu ag parallel ist, auch zur benachbarten Erzeugenden parallel. Der Striktionslinie gehört also derjenige Punkt von e an, dessen Tangentialebene auf ag senkrecht steht; mit anderen Worten: alle Punkte, deren Tangentialebenen auf ag senkrecht stehen, gehören einer Striktionslinie an. Die Striktionslinie ist also eine Parabel p, deren Ebene durch die Achse a geht und alle zu ag normalen Sehnen der Fläche halbiert. Ist n die zu g senkrechte Tangente im Scheitel, so liegen g/hnp" harmonisch, oder es ist: H'P“ = H'N', wenn H", N’, Po" die Schnittpunkte von h, n”, p“ mit einer Erzeugenden sind. Aus dem Grundriß p" ergiebt sich der Aufriß p“ und der Seitenriß p“. 710. Eine Striktionslinie des Hyperboloides zu bestimmen. Die Ebene der Kehlellipse b sei zu TT, parallel und ihre große Achse zu TT,; e“_A“ A7 die Fläche werde durch zwei kongruente zu TT, parallele Ellipsen a und c begrenzt (Fig.463). Um auf einer beliebigen - Erzeugenden e den Punkt P der Striktionslinie s zu finden, verfahren “– wir folgendermaßen. Die Ebene durch e und den Flächenmittelpunkt O. hat in den parallelen Ebenen von b resp. a. die parallelen SpurenQO resp. E„J (Q=e × b, E = e × a). In Q errichten wir auf der Ebene e O die Normale QN mit N, als Spurpunkt; dann ist der Berührungspunkt P der Ebene eM, ein Punkt der Striktionslinie. Wir benutzen hierbei die zu a und b affinen Kreise a’ und bo, welche die großen Achsen dieser Ellipsen als Durchmesser haben. Ziehen wir eine beliebige Tangente eo an bo mit den Endpunkten E" und E9 auf ao und dazu die Normale E"J, welche die große Achse von a in J schneidet, und suchen die affinen Punkte E und E' zu E" und E', so ist Q der Berührungspunkt von E„E“ mit b‘ und es ist (90/ | EJ. Denn in der affinen Figur stehen die entsprechenden Geraden auf e, senkrecht. QM, ist senkrecht zu JE; QL, ist eine Falllinie der Ebene eQ, wenn L,= JE x QM, ist. Da nun QM, L QL, ist, so erhalten wir Q„E, LQ„N, durch Umlegen dieser Geraden um L, QN (Q„Q“ LL, Q, QQ = (C“ – ), und somit ist M, bestimmt. E„N, schneidet a noch in einem Punkte F, er ist Spurpunkt einer Erzeugenden der zweiten Schar, die e in dem gesuchten Punkte P trifft. Gehen wir wieder zu dem affinen Punkte F" auf ao über (E"F" und E, F, schneiden sich auf der großen Achse von a in K) und bestimmen F" auf a’, so daß E"F" = EF9 ist, dann ist der zu P= E9E">< F"F0 affine Punkt P (PP LAB) ein Punkt der Horizontalprojektion so der Striktionslinie. Der Aufriß P“ geht unmittelbar daraus hervor. Die Striktionslinie schneidet die Kehlellipse in den Scheitelpunkten und ist symmetrisch zu den Achsen der Fläche.

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ZWÖLFTES KAPITEL.

Verschiedene Flächen.

Abwickelbare Flächen.

711. In den vorausgehenden Kapiteln wurden bereits drei große Klassen von Flächen behandelt, die Rotations-, Schraubenflächen und Flächen 2. Grades. Da sie von größerer Bedeutung in der Praxis sind, wurden sie ausführlicher studiert, während wir die übrigen Flächen in ein Kapitel zusammenfassen und nur einige wichtige näher betrachten wollen. Schon die genannten Flächen konnten als Beispiele der Erzeugung von Flächen durch Bewegung von Kurven oder Flächen dienen und wir wollen hier noch eine Reihe weiterer Flächen untersuchen, die sich ebenfalls durch Bewegung erzeugen lassen. Wir beginnen zunächst mit den abwickelbaren Flächen, deren fundamentale Eigenschaften schon früher in 454–466 klar gelegt wurden. Als Ausgangspunkt wählten wir dort die Raumkurve, deren Tangenten die abwickelbare Fläche bilden; so war dieselbe durch Bewegung einer Geraden definiert, die tangential an einer Raumkurve entlang gleitet. Wir erkannten

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