deren Ebene П die Achse XX, in M, schneidet (OM1 = M2O, аз * = 3 * 1 1 1 Sind und die Projektionen des Lichtstrahles 7, so liegt die Kurve v der Lichtgrenze auf unserer Fläche in der zur Lichtrichtung konjugierten Diametralebene. Diese schneidet auch den Asymptotenkegel der Fläche in zwei Mantellinien, die seine Lichtgrenze bilden; diese Mantellinien sind zugleich die Asymptoten von v. Ist O der Schatten des Mittelpunktes auf П1 und sind J und K1 die Berührungspunkte der von O an die Spurellipse b1 des Asymptotenkegels gelegten Tangenten, so bilden OJ, und OK, die Lichtgrenze des Kegels und die Ebene OJK1 schneidet das Hyperboloid in seiner Lichtgrenze v. Zur Konstruktion von J, und K1 benutzen wir die Affinität, indem wir an Stelle der Ellipsen a1 und b1 die Kreise a und 6o mit den Durchmessern A, B, resp. UV, einführen und zu O den affinen Punkt 0° aufsuchen. Die Verbindungslinien affiner Punkte sind zu 4B1 senkrecht; die Entfernungen affiner Punkte von B1 verhalten sich, wie: C1D1: AВ1. Die Tangenten von 0 an 6o mögen in J° und Ko berühren, dann sind die affinen Punkte J und K, die gesuchten Punkte; O'J, und O'K, sind die Asymptoten von v', O"J" und O"K," sind die von v". J°K° schneidet ao in Lo und No, die affinen Punkte L, und N, auf a, liegen auf v. Der Schatten von v auf П1 geht ebenfalls durch L1 und No1 und hat OL1 und ON zu Asymptoten; er berührt natürlich a1 in L1 und N. Hiermit sind die Kurven v', v", v bereits bestimmt, es lassen sich indessen leicht zwei konjugierte Durchmesser dieser Kurven angeben. * * * * * * Ziehen wir durch O eine Parallele zu LN1, so ist sie ein imaginärer Durchmesser von v, der dazu konjugierte reelle Durchmesser ist OQ1, wo Q1 der Mittelpunkt von I11 ist. Die Endpunkte Gleichpunkte des imaginären Durchmesser liegen auf der Ellipse mit den Achsen YY, und ZZ (vergl. 693). Benutzen wir die frühere Affinität, so ist der Kreis mit dem Durchmesser YY, zu der genannten Ellipse affin; der zu JK° parallele Durchmesser RS dieses Kreises liefert dann den affinen Durchmesser RS der Ellipse. Zu dem imaginären Durchmesser RS von v findet man den reellen TW mit Hilfe der Asymptoten. Für v ist ein reeller Durchmesser, T und W sind seine Endpunkte, der ihm konjugierte imaginäre Durchmesser ist gleich und parallel mit R'S' = RS. 1 * * * Die durch die vertikale Achse parallel zum Lichtstrahl gelegte Ebene schneidet die Fläche in einer Hyperbel h, auf der die Punkte Tund W liegen; die Tangenten in diesen Punkten sind zu 7 parallel. 1 * = * * Projiziert man nun diese Hyperbel h durch Strahlen parallel zu P1B1 (P1 = α1 × 7) auf die Ebene von u, so deckt sich diese Projektion mit u. Zugleich geht 00 in 00 über (00|| P1B1, 0'000'0) und im Aufriß l" in l und T", W" in TA, WA auf u". T und W sind dann solche Punkte von u", deren Tangenten zu parallel sind, sie liegen also auf dem zu konjugierten Durchmesser von u" und können auch hieraus konstruiert werden; aus ihnen ergeben sich dann wieder T", 7" und T. Der Schlagschatten auf die Horizontalebene ist in der Figur nur von dem einen Flächenteile angegeben, der Schatten des anderen Teiles fällt zu weit weg und ist deshalb fortgelassen. аз In die Höhlung des oberen Flächenteiles dringt das Licht ein und es entsteht deshalb in dieser Höhlung auch Schlagschatten. Die Randellipse a, trägt die Punkte Ng und L von v; der kleinere Teil der Höhlung bis zur Lichtgrenze v liegt im Eigenschatten und es wirft das kleinere Randstück NL, in das Innere der Höhlung seinen Schlagschatten a ̧*. Die Lichtstrahlen, die den Rand a, treffen, bilden einen Cylinder und dieser schneidet das Hyperboloid nach 679 in einem zweiten Kegelschnitt a,*, beide Kurven a, und a3*, sowie ihre ersten Projektionen sind zu einander affin. Die zum Lichtstrahle parallele Ebene durch die vertikale Achse schneidet die Fläche in der Hyperbel h und die Randkurve a, in F3, der Schatten F* von F2 liegt ebenfalls auf h und es ist F*F || 1. Projiziert man wieder h in u durch Parallelen zu P1B1, so geht F in A und F in F auf u über (4,F). Im Aufriß erhält man F" auf u", indem man durch A," eine Parallele zu zieht, im Grundriß ist FF* || P1B1. a,' und a* sind affine Ellipsen; N'L' ist die Affinitätsachse, F' und F* sind ein Paar affiner Punkte, dadurch ist aber die affine Beziehung bestimmt und a,* kann hiernach gezeichnet werden. 3 707. Eine Gerade zu zeichnen, die vier gegebene windschiefe Geraden trifft. Die gemeinsamen Sekanten dreier Geraden bestimmen ein einschaliges Hyperboloid, d. h. die eine Schar von Erzeugenden desselben; schneidet man also dieses mit der vierten Geraden in zwei Punkten P und Q, es geht durch jeden eine Erzeugende der genannten Schar. Diese beiden Erzeugenden treffen alle vier gegebenen Geraden. Unsere Aufgabe basiert also darauf: Die Schnittpunkte einer Geraden mit einem einschaligen Hyperboloid zu finden, wenn drei Erzeugende einer Schar von ihm bekannt sind. Zur Konstruktion bedienen wir uns zweier paralleler Pro jektionsebenen П, und ПT,. Die Geraden seien a, b, c, d, ihre Spurpunkte in den Parallelebenen seien 1, Â1⁄2; B1, B2; C1, C2; D1, D2; die orthogonalen Projektionen der zweiten Spurpunkte auf П, seien Ag", Ba", C2", D" (Fig. 461). Wir projizieren nun die Ebene П, in der Richtung von d auf ПT, und erhalten als Projektionen der zweiten Spurpunkte die Punkte A2', B2, C2 D2 = D1, die aus den orthogonalen Projektionen durch parallele Verschiebung um die 2 2 Fig. 461. 2 gleiche Strecke D,"D1 hervorgehen. In der Figur sind nur A2" und D," angegeben (4,"A, #D2"D1). Das Hyperboloid hat nun bei der schiefen, zu d parallelen Projektion einen Kegelschnitt u als scheinbaren Umriß, und jede Tangente an u' ist die Projektion zweier Erzeugenden, einer aus der einen und einer aus der anderen Schar. Die Tangenten von D1 an u sind also die schiefen Projektionen der gesuchten gemeinsamen Sekanten; denn die zugehörigen Erzeugenden des Hyperboloides aus einer der beiden Scharen treffen sowohl die Geraden a, b, c als Erzeugende der anderen Schar, als auch die Gerade d. 1 Um u' zu zeichnen, müssen wir außer seinen Tangenten a', b', c' noch zwei weitere Tangenten aufsuchen, indem wir irgend zwei gemeinsame Sekanten von a, b und c konstruieren. Wir wählen eine Gerade i a, die 6 und e trifft und eine Gerade k|| c, die a und b trifft. Ziehen wir A, GCC, so ist AG die Projektion der 2 1 zweiten Spur einer Ebene, die durch a parallel zu c geht; ziehen wir ebenso BH C1C2', so ist BH die Projektion der zweiten Spur einer Ebene, die durch b parallel zu c geht. Beide Ebenen schneiden sich in k; die Projektion ihres zweiten Spurpunktes ist K‚' = A‚'G × B‚'H (k' || c'). Machen wir ВL‡Ã‚Â1⁄2′ und C1M‡4,4,', so ist JBL× C2'M die Projektion des zweiten Spurpunktes von i (a). Nun sind von D, die beiden Tangenten an den Kegelschnitt zu legen, von dem wir fünf Tangenten a', b', é', ï, k' kennen. Es schneiden aber alle Tangenten von u auf zwei festen Tangenten, etwa e' und k', projektive Punktreihen aus; verbinden wir die Punkte dieser Reihen mit D1, so erhalten wir zwei projektive Strahlbüschel; ihre sich selbst entsprechenden Strahlen é und f' sind die gesuchten Tangenten. Die Strahlen des ersten Büschels laufen von D1 nach cxa, cx b', cx, die entsprechenden Strahlen des zweiten Büschels von D1 nach k' xa, kx b' und k' × c'. Wählen wir jetzt einen Kreis, der den zweiten Strahl des ersten Büschels in D1 berührt, so liefern die drei Strahlen dieses Büschels auf dem Kreise die Punkte P, D, und Q. Schneidet der Kreis den zweiten Strahl des zweiten Büschels in R, so ist das neue Strahlbüschel R (P, D1, Q, ...) zu dem ersten Büschel projektiv und zu dem zweiten perspektiv. Die entsprechenden Strahlen des zweiten und des dritten Strahlbüschels schneiden sich in Punkten einer Geraden s, auf der die Punkte RP× D1N=S und RQ× D10=T liegen (N=kxa', 0=kxi). s trifft den Kreis in X und Y, und D1X und D1Y sind die gesuchten Tangenten e' und f'. 29 2 Durch den Schnittpunkt U von f und c (U' = f'× c') legen wir eine Ebene parallel zu П1 und П2; diese Ebene teilt die Geraden A12, B1B2, C1C2, FF, in dem nämlichen Verhältnisse, wobei F1, F2 die Spurpunkte von f bedeuten. Bestimmen wir also V' auf ÃÃ1⁄2' so, daß V'A1: V'A'' = U'C1 : U'C2 wird, so ist UV eine zu π, und П1⁄2 parallele Gerade der Ebene af; demnach ist: 41F1 || A1⁄2'F1⁄2 || U' V', außerdem wird B1F1 || B'F' und CF CF. Ganz analog ergeben sich die Spurpunkte E, und E2 von e. 2 2 2 2 Die ganze Konstruktion ist in schiefer Projektion ausgeführt; will man zur orthogonalen Projektion übergehen, so hat man noch E' und F parallel zu D,D," um die Strecke D,D," nach E," und F" zu verschieben. 2 708. Striktionslinien der Regelflächen 2. Grades. Faßt man die eine Schar von Erzeugenden einer Regelfläche ins Auge, so giebt es auf jeder Erzeugenden einen Punkt, der von der benachbarten, unendlich nahen Erzeugenden einen kleineren Abstand hat wie jeder andere. Der Ort dieser Punkte bildet eine Kurve, die Striktionslinie; zu jeder Schar gehört eine Striktionslinie. Auf jeder Erzeugenden g gehört derjenige Punkt der Striktionslinie an, durch den die gemeinsame Normale zu ihr und der Nachbargeraden 91 geht. Legt man durch g, eine erste Ebene parallel zu g und dann eine zweite senkrecht zu jener, so schneidet die letztere g in einem Punkte der Striktionslinie. Nun schneidet jede Ebene durch g, aus der Fläche noch eine Erzeugende der anderen Schar aus, die im allgemeinen g im Endlichen trifft. Ist jedoch die Ebene E durch g, parallel zu g, so muß sie eine Erzeugende der zweiten Schar enthalten, die zu g parallel ist; diese Ebene enthält also zwei parallele Erzeugende, d. h. sie berührt die Fläche in dem unendlich fernen Punkt von g. Eine Ebene A durch g, senkrecht zu E schneidet die Fläche in einer Erzeugenden der anderen Schar, die g in dem Punkte der Striktionslinie und g1 in dem Berührungspunkte der Ebene trifft; beide Punkte sind aber unendlich nahe und können durch einander ersetzt werden. In jedem Punkte der Striktionslinie steht also die Tangentialebene senkrecht auf der Ebene, welche durch die bezügliche Erzeugende und die dazu parallele Erzeugende der anderen Schar geht, also den Mittelpunkt enthält. 709. Das hyperbolische Paraboloid und seine Striktionslinien. Die Achse des Paraboloides mag senkrecht zum Grundriß sein, dann projizieren sich die Erzeugenden beider Scharen als Parallelen. Ist etwa ursprünglich ein windschiefes Viereck ABCD gegeben, dessen Seiten auf dem Paraboloide liegen sollen, so erhält man den Durchmesser in A, indem man die zu CD parallele Ebene durch AB schneidet mit der zu BC parallelen Ebene durch AD. Nun ist die orthogonale Projektion des Vierecks ABCD auf eine zur Durchmesserrichtung normale Ebene П, ein Parallelogramm A'B'C'D'. Im Scheitel S des Paraboloides, dem Endpunkt seiner Achse, stehen die Erzeugenden auf der Achse senkrecht, sind also zu П, parallel. Legt man durch A und B Ebenen parallel zu П, und schneiden diese CD in 1 und B1, so teilt jede zu П1 parallele Ebene die Strecken 4B und 4B, in dem nämlichen Verhältnis. Die Verbindungslinie dieser Teilpunkte ist eine Erzeugende der Fläche, wenn ihre Projektion zu A'D' und C'B' parallel ist, und zwar ist sie dann die eine Erzeugende durch den Scheitel. Schneiden sich also 'A'1 und B'B'1 in E' und geht g' durch E' parallel zu A'D', so ist g' die Projektion einer Erzeugenden durch den Scheitel S, d. h. S liegt auf g'. Denn g' teilt A'B' und 1⁄4 ̧Ð ́1 in dem näm 1 1 1 |